姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2020春?海安市期末）下列說法正確的是（ ）
A．有一組對角是直角的四邊形一定是矩形
B．對角互補的平行四邊形是矩形
C．一條對角線被另 一條對角線垂直平分的四邊形是菱形
D．對角線相等的四邊形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．
【解析】A、有一組對角是直角的平行四邊形一定是矩形，故錯誤，不符合題意；
B、對角互補的平行四邊形是矩形，故正確，符合題意；
C、一條對角線被另一條對角線垂直平分的四邊形不一定是菱形，故錯誤，不符合題意；
D、對角線相等的四邊形是矩形，故錯誤，不符合題意，
故選：B．
2．（2020春?棲霞區(qū)期中）下列條件中，不能判定?ABCD為矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
【解析】A、在?ABCD，若∠A＝∠C，
則四邊形ABCD還是平行四邊形；故選項A符合題意；
B、在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴?ABCD是矩形，故選項B不符合題意；
C、在?ABCD中，AC＝BD，
則?ABCD是矩形；故選項C不符合題意；
D、在?ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形，故選項D不符合題意；
故選：A．
3．（2020春?無錫期中）檢查一個門框（已知兩組對邊分別相等）是矩形，不能用的方法是（ ）
A．測量兩條對角線是否相等
B．用重錘線檢查豎門框是否與地面垂直
C．測量門框的三個角是否都是直角
D．測量兩條對角線是否互相平分
【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定，依次判斷可求解．
【解析】∵門框兩組對邊分別相等，
∴門框是個平行四邊形，
∵對角線相等的平行四邊形是矩形，
故A不符合題意；
∵豎門框與地面垂直，門框一定是矩形；
故B不符合題意；
∵三個角都是直角的四邊形是矩形，
故C不符合題意；
∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
故D符合題意，
故選：D．
4．（2019春?如皋市期中）在平行四邊形ABCD中添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACD＝∠CDB
【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐個判斷即可．
【解析】
A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
B、根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形和AC⊥BD不能推出四邊形ABCD是矩形，故本選項符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
D、∵∠ACD＝∠CDB，
∴OD＝OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
故選：B．
5．（2018春?邳州市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，則下面條件能判斷平行四邊形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AO＝COD．AB＝AD
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此分析判斷．
【解析】A選項是對角線相等，可判定平行四邊形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
故選：A．
6．（2018?溧水區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線，下列條件中，能判斷這個平行四邊形是矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠ACBB．∠BAC＝∠ACDC．∠BAC＝∠DACD．∠BAC＝∠ABD
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解析】A、∠BAC＝∠ACB，能判定四邊形ABCD是菱形，不能判斷四邊形ABCD是矩形；
B、∠BAC＝∠ACD，不能判斷四邊形ABCD是矩形；
C、∠BAC＝∠DAC，能判定四邊形ABCD是菱形，不能判斷四邊形ABCD是矩形；
D、∠BAC＝∠ABD，能得出對角線相等，能判斷四邊形ABCD是矩形；
故選：D．
7．（2020春?雨花區(qū)校級月考）如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是（ ）
A．AB＝BCB．∠ABC＝90°C．AC⊥BDD．∠1＝∠2
【分析】根據(jù)一個角是90°的平行四邊形是矩形進(jìn)行選擇即可．
【解析】A、AB＝BC，鄰邊相等，可判定平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；
B、一內(nèi)角等于90°，可判斷平行四邊形ABCD成為矩形，符合題意；
C、對角線互相垂直，可判定平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；
D、對角線平分對角，可判斷平行四邊形ABCD成為菱形，不符合題意；
故選：B．
8．（2020秋?太原期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC
【分析】本題考查的是矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)知識，利用矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)對選項進(jìn)行逐一判斷即可解答．
【解析】A．根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；
B．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；
C．不能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項符合題意；
D．平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意．
故選：C．
9．（2019?工業(yè)園區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，則AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】過D作DE⊥BA交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE＝1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解析】過D作DE⊥BA交BA的延長線于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD=2，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC=AD2+CD2=(2)2+12=3，
故選：B．
10．（2017春?江陰市校級期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，點P是線段BC上的一個動點，過點P分別作AB、AC的垂線交AB、AC于點M、N，連接MN，則MN的最小值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】首先證明四邊形PMAN是矩形，可得MN＝PA，根據(jù)垂線段最短即可解決問題；
【解析】∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠PMA＝∠PNA＝∠A＝90°，
∴四邊形PMAN是矩形，
∴MN＝PA，
∴當(dāng)PA⊥BC時，PA的值最小，此時∵AB＝AC，PA⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PA=12BC＝3，
∴MN的最小值為3，
故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2018春?灌云縣期中）要使?ABCD為矩形，則可以添加一個條件為 對角線相等或有一個直角 ；
【分析】根據(jù)矩形的判斷方法即可解決問題；
【解析】因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形，
故答案為對角線相等或有一個直角；
12．（2020春?雨花區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，若∠1＝∠2，則四邊形ABCD是 矩形 ．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，由等腰三角形的判定可得BO＝CO，可得AC＝BD，由矩形的判定可得平行四邊形ABCD是矩形．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為矩形．
13．（2020春?邵陽縣期末）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，需要添加一個條件，使它變?yōu)榫匦?，你添加的條件是 AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90° ．（不要添加任何字母和輔助線）
【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得出四邊形ABCD為平行四邊形，再由矩形的判定方法即可得出答案．
【解析】∵四邊形ABCD的對角線互相平分，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
添加條件：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°時，四邊形ABCD是矩形；
故答案為：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°．
14．（2020春?房山區(qū)期末）在四邊形ABCD中，有以下四個條件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
從中選取三個條件，可以判定四邊形ABCD為矩形．則可以選擇的條件序號是 ①③④ ．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解析】當(dāng)具備①③④這三個條件，能得到四邊形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，
∴四邊形ABCD是矩形；
故答案為：①③④．
15．（2020春?涿鹿縣期中）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O且AC，BD互相平分，若添加一個條件使得四邊形ABCD是矩形，則這個條件可以是 AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度 （填寫一個即可）．
【分析】因為在四邊形ABCD中，對角線AC與BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定條件，可得在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形ABCD成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是一個角是直角或者對角線相等，從而得出答案．
【解析】∵對角線AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
要使四邊形ABCD成為矩形，
需添加一個條件是：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．
故答案為：AC＝BD或有個內(nèi)角等于90度．
16．（2020春?柘城縣期末）如圖，為了檢查平行四邊形書架ABCD的側(cè)邊是否與上、下邊都垂直，工人師傅用一根繩子比較了其對角線AC，BD的長度，若二者長度相等，則該書架的側(cè)邊與上、下邊都垂直，請你說出其中的數(shù)學(xué)原理 對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形的四個角都是直角 ．
【分析】根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定．
【解析】這種做法的依據(jù)是對角線相等的平行四邊形為矩形，
故答案為：對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形的四個角都是直角．（“矩形的四個角都是直角”沒寫不扣分）
17．（2020春?雄縣期末）若四邊形ABCD為平行四邊形，請補充條件 ∠A＝90° （一個即可）使四邊形ABCD為矩形．
【分析】添加條件是∠A＝90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．
【解析】添加條件∠A＝90°，
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
故答案為：∠A＝90°．
18．（2019春?江干區(qū)期末）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步驟作圖，①以A為圓心，BC長為半徑作弧，以C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點D；②連接DA，DC，則四邊形ABCD為 矩形 ．
【分析】直接利用基本作圖方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而利用矩形的判定方法得出答案．
【解析】四邊形ABCD為矩形．
理由：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
故答案為：矩形．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2020?玄武區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，點O是邊BC的中點，連接DO并延長，交AB延長線于點E，連接BD、EC．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）若∠A＝40°，則當(dāng)∠BOD＝ 80 °時，四邊形BECD是矩形．
【分析】（1）由AAS證明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠A＝40°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，證出DE＝BC，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O為BC的中點，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
∠OEB=∠ODC∠BOE=∠CODBO=CO，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四邊形BECD是平行四邊形；
（2）解：若∠A＝40°，則當(dāng)∠BOD＝80°時，四邊形BECD是矩形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四邊形BECD是平行四邊形，
∴四邊形BECD是矩形；
故答案為：80．
20．（2020春?吳中區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周長．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求證：四邊形AODE是矩形．
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠BAD＝60°，證出△ABC是等邊三角形，得出AB＝BC＝AC＝8，即可得出答案；
（2）先證四邊形AODE是平行四邊形，由菱形的性質(zhì)得出∠AOD＝90°，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠BAD＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，
∴菱形ABCD的周長＝4AB＝32；
（2）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四邊形AODE是矩形．
21．（2020春?南京期末）如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于點E，BF平分∠CBD，交CD于點F．
（1）求證：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求證：四邊形DEBF是矩形．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ADB＝∠CBD，由角平分線的定義得出∠EDB＝∠DBF，則DE∥BF，可證出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出DE⊥AB，則可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF是矩形．
22．（2020春?清江浦區(qū)期末）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，過點C作CE∥OD，過點D作DE∥AC，CE與DE相交于點E．求證：四邊形OCED是矩形．
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，求出∠DOC＝90°，根據(jù)矩形的判定得出即可．
【解析】證明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四邊形OCED是矩形．
23．（2020?玄武區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，E、G分別是AB、CD的中點，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求證：△AEH≌△CGF；
（2）連接FH，若FH＝AD，求證：四邊形EFGH是矩形．
【分析】（1）延長AH交CD于點P，延長CF交AB于Q，證明四邊形APCQ是平行四邊形，得出∠HAE＝∠FCG，由SAS即可證得△AHE≌△CFG；
（2）連接FH、EG，易證四邊形EFGH和四邊形ADGE都是平行四邊形，得出EG＝FH，即可得出結(jié)論．
【解析】證明：（1）延長AH交CD于點P，延長CF交AB于Q，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴AQ∥CP，
∵AH∥CF，
∴四邊形APCQ是平行四邊形，
∴∠HAE＝∠FCG，
∵E、G分別是AB、CD的中點，
∴AE=12AB，CG=12CD，
∴AE＝CG，
在△AHE和△CFG中，AE=CG∠HAE=∠FCGAH=CF，
∴△AHE≌△CFG（SAS）；
（2）連接FH、EG，
∵AH∥CF，
∴∠AHF＝∠HFC，
由（1）得：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，
∴∠AHF﹣∠AHE＝∠HFC﹣∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，
∴HE∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
由（1）得：AE＝DG，AB∥CD，
∴四邊形ADGE是平行四邊形，
∴AD＝EG，
又∵FH＝AD，
∴EG＝FH，
∴四邊形EFGH是矩形．
24．（2020春?鄂州期中）如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得：∠OEC＝∠ECB，根據(jù)角平分線的定義可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代換和等角對等邊得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)對角線互相平分證明四邊形AECF是平行四邊形，再由角平分線可得：∠ECF＝90°，利用有一個角是直角的平行四邊形可得結(jié)論；
【解析】（1）OE＝OF，理由如下：
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）當(dāng)O為AC中點時，四邊形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已證），
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=12（∠ACB+∠ACG）=12×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四邊形AECF是矩形．

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊電子課本 舊教材

9.4 矩形、菱形、正方形

版本： 蘇科版

年級： 八年級下冊

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