初中數(shù)學蘇科版八年級下冊第9章 中心對稱圖形——平行四邊形9.3 平行四邊形同步訓練題

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?2021-2022學年八年級數(shù)學下冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】
專題9.4平行四邊形的判定
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2020春?新鄉(xiāng)縣期末）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的題設(shè)是（　?。?br /> A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．根據(jù)判定定理逐項判定即可．
【解析】如圖示，根據(jù)平行四邊形的判定定理知，只有C符合條件．
故選：C．

2．（2020春?如皋市期末）下列不能判定四邊形是平行四邊形的條件是（　　）

A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和平行線的性質(zhì)判斷即可．
【解析】A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項不符合題意；
B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項不符合題意；
C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD可能是等腰梯形，故本選項符合題意；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項不符合題意．
故選：C．
3．（2020春?崇川區(qū)期末）滿足下列條件的四邊形，不一定是平行四邊形的是（　?。?br /> A．兩組對邊分別平行
B．兩組對邊分別相等
C．一組對邊平行且相等
D．一組對邊平行，另一組對邊相等
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定分別對各個選項進行判斷，即可得出結(jié)論．
【解析】A、∵兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
∴選項A不符合題意；
B、∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，
∴選項B不符合題意；
C、∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
∴選項C不符合題意；
D、∵一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形或平行四邊形，
∴選項D符合題意；
故選：D．
4．（2020春?高港區(qū)期中）下列四個選項中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br /> A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠C
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理即可可得答案．
【解析】A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項錯誤；
B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項錯誤；
C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項錯誤；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項正確；
故選：D．

5．（2020春?南京期末）下列條件中，不能確定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°
C．AD∥BC，AD＝BC
D．AB∥CD，AD＝BC
【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定逐一驗證．
【解析】A、由兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形ABCD為平行四邊形，故選項A不合題意；
B、∵∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得四邊形ABCD為平行四邊形，故選項B不合題意；
C、由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形ABCD為平行四邊形，故選項C不合題意；
D\、“AB∥CD且AD＝BC”不可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項符合題意．
故選：D．
6．（2020春?平陰縣期末）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件中不一定能判定這個四邊形是平行四邊形的是（　?。?br /> A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進行分析即可．
【解析】A、“一組對邊平行，另一組對邊相等”是四邊形也可能是等腰梯形，故本選項符合題意；
B、根據(jù)“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；
C、根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；
D、根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；
故選：A．
7．（2019?貴池區(qū)二模）已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出下列5個條件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，從以上5個條件中任選2個條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（　　）組．

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定進行選擇即可．
【解析】①與⑤根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與③根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與④，⑤與④根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與②，②與⑤根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形．
所以能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有6組．
故選：C．

8．（2020春?天心區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，有下列條件：①BE＝DF；②AE∥CF；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．其中，能使四邊形AECF是平行四邊形的條件有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，又BE＝DF，得出AF＝EC，即可得出四邊形AECF是平行四邊形，①正確；由AF∥EC，AE∥CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，②正確；由平行四邊形的性質(zhì)和∠BAE＝∠DCF證出AE∥CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，④正確；③不正確；即可得出結(jié)果．
【解析】①正確，理由如下：
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵BE＝DF，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
②正確，理由如下：
∵AF∥EC，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
④正確；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，
∵∠BAE＝∠DCF，
∴∠AEB＝∠CFD．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD．
∴∠CFD＝∠EAD．
∴AE∥CF．
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵AE＝CF不能得出四邊形AECF是平行四邊形，
∴③不正確；
能使四邊形AECF是平行四邊形的條件有3個．
故選：C．
9．（2019春?張家港市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上不同的兩點，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（　　）

A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE＝OF即可，然后根據(jù)各選項的條件分析判斷即可得解．
【解析】如圖，連接AC與BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項不符合題意；
B、若AE＝CF，則無法判斷OE＝OE，故本選項符合題意；
C、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE＝OF，故本選項不符合題意；
D、由∠BAE＝∠DCF，從而推出△DFC≌△BEA，然后得出∠DFC＝∠BEA，∴∠CFE＝∠AEF，∴FC∥AE，由全等可知FC＝AE，所以四邊形AECF是平行四邊形；故本選項不符合題意；
故選：B．

10．（2020春?江都區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，點F是CD上一個動點，以FA、FB為鄰邊作另一個?AEBF，當F點由D點向C點運動時，下列說法正確的選項是（　?。?br /> ①?AEBF的面積先由小變大，再由大變小
②?AEBF的面積始終不變
③線段EF最小值為42

A．① B．② C．①③ D．②③
【分析】過點C作CG⊥AB于點G，根據(jù)三角形的面積公式知△ABF的面積始終不變化，進而根據(jù)平行四邊形與三角形的面積關(guān)系得出?AEBF的面積始終不變，便可判斷①、②的正誤；連接EF，與AB交于點H，由于EF始終經(jīng)過AB的中點H，當FH與AB垂直時，EF的值最小，求出此時的EF的值便可．
【解析】過點C作CG⊥AB于點G，
則S△ABF=12AB?CG，
∵AB與CG的值始終不變化，
∴△ABF的面積始終不變化，
∵?AEBF的面積＝2×△ABF的面積，
∴?AEBF的面積始終不變
∴①錯誤，②正確；

連接EF，與AB交于點H，
∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴AH＝BH，EH＝FH，
當FH⊥AB時，F(xiàn)H的值最小，EF＝2FH的值也最小，
此時，F(xiàn)H＝CG，
∵∠ABC＝45°，CG⊥AB，
∴BG＝CG，
∵BG2+CG2＝BC2＝16，
∴CG=22，
∴FH=22，
∴線段EF最小值為EF＝2FH＝42．
∴③正確，
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2020春?建湖縣期中）如圖，BD是?ABCD的對角線，點E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個條件是　BE＝DF（答案不唯一）?。?br />
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定添加條件即可．
【解析】
如圖，連接AC交BD于點O，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴當BE＝DF時，可得OE＝OF，則四邊形AECF為平行四邊形，
∴可增加BE＝DF，
故答案為：BE＝DF（答案不唯一）．

12．（2020春?珠海校級期中）如圖，在平面直角坐標系中．已知點A（3，0），B（﹣1，0），C（0，2），則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為?。?，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）?。?br />
【分析】當平行四邊形的一組對邊平行于x軸時，可得可能的2個點；當平行于x軸的一邊為平行四邊形的對角線時，利用平移的性質(zhì)可得另一點．
【解析】①如圖1，以AB為邊時，A（3，0）、B（﹣1，0）兩點之間的距離為：3﹣（﹣1）＝4，
∴第四個頂點的縱坐標為2，橫坐標為0+4＝4，或0﹣4＝﹣4，即D（4，2）或D′（﹣4，2）；
②如圖2，以AB為對角線時，∵從C（0，2）到B（﹣1，0），是橫坐標減1，縱坐標減2，
∴第四個頂點D的橫坐標為：3﹣1＝2，縱坐標為0﹣2＝﹣2，即D（2，﹣2）
綜上所述，第四個頂點D的坐標為（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
故答案為：（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．

13．（2020春?昆明期末）四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形還需滿足的條件是　AD＝BC（或AB∥CD）?。M線只需填一個你認為合適的條件即可）
【分析】在已知一組對邊平行的基礎(chǔ)上，要判定是平行四邊形，則需要增加另一組對邊平行，或平行的這組對邊相等，或一組對角相等均可．
【解析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，知
需要增加的條件是AD＝BC或AB∥CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
故答案為AD＝BC（或AB∥CD）．

14．（2019春?秦淮區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，有一Rt△ABC，∠C＝90°且A（﹣1，3）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的．若點Q在x軸上，點P在直線AB上，要使以Q、P、A1、C1為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的點Q的坐標為　（﹣1.5，0）或（﹣3.5，0）或（6.5，0）?。?br />
【分析】要使以Q、P、A1、C1為頂點的四邊形是平行四邊形，則PQ＝A1 C1＝2，在直線AB上到x軸的距離等于2 的點，就是P點，因此令y＝2或﹣2求得x的值即可．
【解析】∵點Q在x軸上，點P在直線AB上，以Q、P、A1、C1為頂點的四邊形是平行四邊形，
當A1C1為平行四邊形的邊時，
∴PQ＝A1C1＝2，
∵P點在直線y＝2x+5上，
∴令y＝2時，2x+5＝2，解得x＝﹣1.5，
令y＝﹣2時，2x+5＝﹣2，解得x＝﹣3.5，
∴點Q的坐標為（﹣1.5，0），（﹣3.5，0），
當A1C1為平行四邊形的對角線時，
∵A1C1的中點坐標為（3，2），
∴P的縱坐標為4，
代入y＝2x+5得，4＝2x+5，
解得x＝﹣0.5，
∴P（﹣0.5，4），
∵A1C1的中點坐標為：（3，2），
∴直線PQ的解析式為：y=?47x+267，
當y＝0時，即0=?47x+267，
解得：x＝6.5，
故Q為（﹣1.5，0）或（﹣3.5，0）或（6.5，0）．
故答案為（﹣1.5，0）或（﹣3.5，0）或（6.5，0）．
15．（2019春?無錫期中）在平面直角坐標系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（3m，4m+1），D在x軸上，若以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標?。?54，0）或（34，0）或（?94，0）　．
【分析】需要以已知線段AB為邊和對角線分類討論，AB為邊時，利用對邊的平行且相等的性質(zhì)，AB為對角線時，利用對角線互相平分，對角線的交點也是對角線的中點，從而求出點D坐標．
【解析】由點C的坐標可以判斷出點C在直線y=43x+1上
已知A、B兩點，所以以AB為邊和對角線分類討論
當AB為邊時，AB∥CD，AB＝CD，如圖
可證得△ABE≌△CDF
∴FC＝BE＝2，AE＝DF＝3
若點D在x軸正半軸時
∴點C坐標為（?94，﹣2）
∴點D坐標為（34，0）

若點D在x軸負半軸時
點C坐標為（34，2）
點D坐標為（?94，0）

當AB為對角線時
AB與CD相交于AB的中點（12，2）
設(shè)點D（m，0）可得點C坐標為（1﹣m，4）
將點C坐標代入解析式可得m=?54
點D坐標為（?54，0）

故點D的坐標為（?54，0）或（34，0）或（?94，0）．
16．（2019春?鹽湖區(qū)期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6cm，動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C向B運動，則　2　秒后四邊形ABQP為平行四邊形．

【分析】由運動時間為x秒，則AP＝x，QC＝2x，而四邊形ABQP是平行四邊形，所以AP＝BQ，則得方程x＝6﹣2x求解．
【解析】∵運動時間為x秒，
∴AP＝x，QC＝2x，
∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AP＝BQ，
∴x＝6﹣2x，
∴x＝2．
答：2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．
故答案為：2．
17．（2019春?莆田期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標平面內(nèi)確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標為　（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）?。?br />
【分析】需要分類討論：以AB為邊的平行四邊形和以AB為對角線的平行四邊形．
【解析】如圖，①當BC為對角線時，易求M1（3，2）；
②當AC為對角線時，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；
③當AB為對角線時，AC∥BM，且AC＝BM．則|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．
綜上所述，符合條件的點D的坐標是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
故答案為：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．

18．（2018秋?環(huán)翠區(qū)期末）在平面直角坐標系里，A（1，0），B（0，2），C（﹣4，2），若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為?。ī?，0）或（5，0）或（﹣5，4）　．
【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的三種情況，根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、A、B、C的坐標求出即可．
【解析】
如圖有三種情況：①平行四邊形AD1CB，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（﹣4，2），
∴AD1＝BC＝4，OD1＝3，
則D的坐標是（﹣3，0）；
②平行四邊形AD2BC，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（﹣4，2），
∴AD2＝BC＝4，OD2＝1+4＝5，
則D的坐標是（5，0）；
③平行四邊形ACD3B，
∵A（1，0），B（ 0，2），C（﹣4，2），
∴D3的縱坐標是2+2＝4，橫坐標是﹣（4+1）＝﹣5，
則D的坐標是（﹣5，4），
故答案為：（﹣3，0）或（5，0）或（﹣5，4）．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2020春?鹽都區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BO＝DO，點E、F分別在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．
求證：四邊形ABCD為平行四邊形．

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行四邊形的判定即可得到結(jié)論．
【解析】證明：∵BE∥DF，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO與△DFO中，∠BEO=∠DFOBO=DO∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
20．（2020春?高新區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中AC、BD相交于點O，延長AD至點E，連接EO并延長交CB的延長線于點F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求證：O是線段AC的中點：
（2）連接AF、EC，證明四邊形AFCE是平行四邊形．

【分析】（1）證明四邊形ABCD是平行四邊形，則結(jié)論得出；
（2）證明△OAE≌△OCF（ASA）．則OE＝OF，可得出結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC，BD互相平分；
即O是線段AC的中點．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
21．（2020春?清江浦區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以2cm/s的速度由C向B運動．問幾秒后直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形？

【分析】分別利用①當BQ＝AP時以及②當CQ＝PD時，列方程得出答案．
【解析】設(shè)點P，Q運動的時間為ts．依題意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，
PD＝9﹣t．
∵AD∥BC，
①當BQ＝AP時，四邊形APQB是平行四邊形．
即6﹣2t＝t，
解得t＝2．
②當CQ＝PD時，
四邊形CQPD是平行四邊形，即2t＝9﹣t，
解得：t＝3．
所以經(jīng)過2秒或3秒后，直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形．
22．（2019春?常熟市期中）如圖，AB＝CD，E，F(xiàn)分別為AB、CD上的點，連接BC，分別與AF、ED相交于點G，H．∠B＝∠C，BH＝CG．
（1）求證：AG＝DH；
（2）求證：四邊形AFDE是平行四邊形．

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可得到結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵BH＝CG，
∴BH+HG＝CG+HG，
∴BG＝CH，
在△ABG與△CDH中AB=CD∠B=∠CBG=CH，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴AG＝DH；
（2）∵△ABG≌△CDH，
∴∠AGB＝∠CHD，
∴AF∥DE，
∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴四邊形AFDE是平行四邊形．
23．（2020?錦江區(qū)模擬）在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的點，且AE＝CF，連接DE，BF，AF．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的長．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A＝∠C，AD＝CB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，AD=CB∠A=∠CAE=CF
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF=AB2+BF2=82+42=45．

24．（2020?江陰市二模）已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN．
（1）求證：△AEM≌△CFN；
（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形．

【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及補角的性質(zhì)得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，從而利用ASA可作出證明；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及（1）的結(jié)論可得BM＝DN，BM∥DN，則由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
【解析】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAM＝∠FCN，
又∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
∵在△AEM與△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD
又由（1）得AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四邊形BMDN是平行四邊形．