3.1不等式的性質(zhì)新課程標準解讀核心素養(yǎng)理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)數(shù)學抽象、邏輯推理 清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手撫摸著短裙，眼里閃爍著倔強和自信的目光．只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值在0.57～0.6之間．設(shè)人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由變成了，這個比值非常接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活中的應(yīng)用．[問題]　你還能列舉出不等式在實際生活中的其它例子嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　實數(shù)大小比較的基本事實文字敘述如果a－b是正數(shù)，那么ab；如果a－b等于0，那么ab；如果a－b是負數(shù)，那么ab.反過來也成立．在比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b兩數(shù)是任意實數(shù)嗎？提示：是．1．設(shè)M＝x2，N＝2x－1，則M與N的大小關(guān)系是________．答案：M≥N2．如果a＞b，那么c－2a與c－2b中較大的是________．答案：c－2b知識點二　不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：如果a>b，且b>c，那么a＞c.性質(zhì)2：如果a>b，那么a＋cb＋c.性質(zhì)3：(1)如果a>b，c＞0，那么acbc；(2)如果a>b，c＜0，那么acbc.性質(zhì)4：如果a>b，c＞d，那么a＋cb＋d.性質(zhì)5：(1)如果a>b＞0，c＞d＞0，那么acbd；(2)如果a>b＞0，c＜d＜0，那么acbd.特殊地，當a>b>0時，an>bn，其中n∈N＋，n≥2.性質(zhì)6：當a>b＞0時，，其中n∈N＋，n≥2.對不等式性質(zhì)的七點說明(1)性質(zhì)1(即傳遞性)，在它的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識；(2)性質(zhì)2(即可加性)是移項法則“不等式中任何一項的符號變成相反的符號后，可以把它從一邊移到另一邊”的依據(jù)；(3)性質(zhì)3(即可乘性)，在使用時要特別注意研究“乘數(shù)的符號”；(4)性質(zhì)4(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等號方向不變，不能相減”；(5)性質(zhì)5(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同向不等式，并無相除式；(6)性質(zhì)6(即可開方性)，即均為正數(shù)的不等式可兩邊同時開n次方，得同向不等式；(7)性質(zhì)2可雙向推導(dǎo)，其他是“單向”推導(dǎo)．　　　　 1．已知a＞b，c＞d，且c，d均不為0，那么下列不等式一定成立的是(　　)A．ad＞bc　　　　　　　 B．ac＞bdC．a－c＞b－d  D．a＋c＞b＋d解析：選D　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B、C.由不等式的性質(zhì)4知，D一定成立．2．下列命題中為真命題的是(　　)A．0＞a＞b?a2＞b2  B．a2＞b2?a＞b＞0C．a＞b?＜1  D．a＞b?a3＞b3解析：選D　對于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，則由性質(zhì)5可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故A為假命題；對于B，性質(zhì)5不具有可逆性，故B為假命題；對于C，只有當a＞0且a＞b時，＜1才成立，故C為假命題；對于D，因為a＞b，所以a－b＞0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，故a3＞b3，D為真命題． 作差法比較大小[例1]　(鏈接教科書第25頁例1)(1)設(shè)P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，則有(　　)A．P≥Q　　　　　　 B．P＞QC．P＜Q  D．P≤Q(2)已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，則(　　)A．M＞N  B．M＝NC．M＜N  D．不能確定[解析]　(1)P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q.(2)易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝(＋)2－()2＝2＞0，∴M＞N.[答案]　(1)A　(2)A作差法比較大小的步驟[提醒]　上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．其中變形的技巧較多，常見的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　　　 [跟蹤訓練]比較下列各式的大?。?/span>(1)當x≤1時，比較3x3與3x2－x＋1的大小；(2)當x，y，z∈R時，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。?/span>解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因為x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因為5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當且僅當x＝y＝且z＝1時取到等號．   利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假[例2]　(多選)對于實數(shù)a，b，c，下列結(jié)論正確的是(　　)A．若a＞b>0，則>B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2C．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0D．若a＜b＜0，則＞[解析]　A：由不等式性質(zhì)6可知該結(jié)論正確．B：由可得a2＞ab.因為所以ab＞b2，從而有a2＞ab＞b2.故該結(jié)論正確．C：由＞，可知－＝＞0.因為a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因為a＞b，所以a＞0，b＜0.故該結(jié)論正確．D：依題意取a＝－2，b＝－1，則＝，＝2，顯然＜.故該結(jié)論錯誤．故選A、B、C.[答案]　ABC利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．　　　　 [跟蹤訓練]1．下列命題中，正確的是(　　)A．若a＞b，c＞d，則ac＞bdB．若ac＞bc，則a＜bC．若a＞b，c＞d，則a－c＞b－dD．若＜，則a＜b解析：選D　選項A中，當a＞b＞0，c＞d＞0時，ac＞bd成立，但是當a，c均為負值時不成立，故A不正確；選項B中，當c＜0時，ac＞bc可推出a＜b.當c＞0時，ac＞bc可推出a＞b，故B不正確；選項C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正確；選項D中，式子＜成立，顯然c≠0，所以c2＞0，根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得的不等式的不等號與原不等式的不等號同向，顯然有a＜b成立，故D正確．故選D.2．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是(　　)A．ab>bc  B．ac>bcC．ab>ac  D．a|b|>|b|c解析：選C　因為a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac. 利用不等式的性質(zhì)證明不等式[例3]　(鏈接教科書第25頁例2)已知c>a>b>0，求證：>.[證明]　因為a>b>0?－a<－b?c－a<c－b.因為c>a，所以c－a>0.所以0<c－a<c－b.上式兩邊同乘，得>>0.又因為a>b>0，所以>.利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應(yīng)用；(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．　　　　 [跟蹤訓練]1．已知a＞b，e＞f，c＞0，求證：f－ac＜e－bc.證明：因為a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.2．若bc－ad≥0，bd＞0，求證：≤.證明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，∴>0，兩邊同乘得，≤.用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍[例4]　已知1＜a＜3，2＜b＜5，試求下列各式的取值范圍：(1)3a＋b；(2)2a－3b＋1.[解]　(1)∵1＜a＜3，2＜b＜5，∴3＜3a＜9，∴5＜3a＋b＜14，即3a＋b的取值范圍為(5，14)．(2)∵1＜a＜3，∴2＜2a＜6.∵2＜b＜5，∴－15＜－3b＜－6，∴－12＜2a－3b＋1＜1，即2a－3b＋1的取值范圍為(－12，1)．[母題探究]1．(變設(shè)問)在本例條件下，求的取值范圍．解：由2＜b＜5知，＜＜，而1＜a＜3，∴＜＜，即的取值范圍為.2．(變設(shè)問)在本例條件下，求的取值范圍．解：∵1＜a＜3，∴1＜＜.∵2＜b＜5，∴4＜b2＜25，∴3＜b2－1＜24，∴＜＜，∴＜＜，即的取值范圍為.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍；(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．　　　　 [跟蹤訓練]若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范圍．解：設(shè)2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，則解得因為－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1，所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，即－＜2a＋3b＜，所以2a＋3b的取值范圍是.1．設(shè)a＞1＞b＞－1，則下列不等式中恒成立的是(　　)A.＜  B．＞C．a2＞2b  D．a＞b2解析：選D　A錯，例如a＝2，b＝－時，＝，＝－2，此時，＞；B錯，例如a＝2，b＝時，＝，＝2，此時，＜；C錯，例如a＝，b＝時，a2＝，2b＝，此時，a2＜2b；由a＞1，b2＜1，得a＞b2.2．若x∈R，y∈R，則(　　)A．x2＋y2>2xy－1  B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1  D．x2＋y2≤2xy－1解析：選A　因為x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故選A.3．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。?/span>解：因為x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以當a＞b時，x－y＞0，此時x＞y；當a＝b時，x－y＝0，此時x＝y；當a＜b時，x－y＜0，此時x＜y. 

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3.1 不等式性質(zhì)

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