?《平行四邊形》全章復習與鞏固（基礎篇）
（真題專練）
一、單選題
1．下列命題正確的是（ ）
A．每個內角都相等的多邊形是正多邊形
B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線
D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分
2．如圖所示，四邊形是平行四邊形，點在線段的延長線上，若，則（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設，那么（ ）

A． B． C． D．
4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．點E、F分別是AB，AO的中點，且AC＝8，則EF的長度為（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
5．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD中點，連接OE，則下列結論中不一定正確的是（　　）

A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
6．一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形：

a.兩組對邊分別相等 b.一組對邊平行且相等
c.一組鄰邊相等 d.一個角是直角
順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
則正確的是：（ ）
A．僅① B．僅③ C．①② D．②③
7．將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
8．如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、PB為邊在AB同側作正方形APCD、正方形PBEF,設,則 為（　　）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
9．如圖，將矩形紙片沿折疊后，點D、C分別落在點、的位置，的延長線交于點G，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
10．如圖，四邊形是菱形，點E，F分別在邊上，添加以下條件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
11．如圖，的頂點A，B，C的坐標分別是，則頂點D的坐標是（ ）

A． B． C． D．
12．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O做ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）

A．1 B． C．2 D．
13．如圖，在邊長為的等邊中，分別取三邊的中點，，，得△；再分別取△三邊的中點，，，得△；這樣依次下去，經過第2021次操作后得△，則△的面積為（ ）

A． B． C． D．


二、填空題
14．如圖，在矩形中，點分別在上，．只需添加一個條件即可證明四邊形是菱形，這個條件可以是______________（寫出一個即可）．

15．如圖，在平面直角坐標系中，菱形對角線的交點坐標是，點的坐標是，且，則點的坐標是___________．

16．在平面直角坐標系中，的對稱中心是坐標原點，頂點、的坐標分別是、，將沿軸向右平移3個單位長度，則頂點的對應點的坐標是___．
17．如圖所示，線段為等腰的底邊，矩形的對角線與交于點，若，則__________．


18．如圖，在中，對角線，相交于點O，點E是邊的中點．已知，則_____．

19．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形是矩形．．

20．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OA在y軸上，，點B在第一象限．標記點B的位置后，將沿x軸正方向平移至的位置，使經過點B，再標記點的位置，繼續(xù)平移至的位置，使經過點，此時點的坐標為__________．


21．如圖，正方形的邊在正五邊形的邊上，則__________．

22．如圖，在矩形中，對角線相交于點，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______，使矩形是正方形．


23．如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點E在BC的延長線上，若，則的度數為_________度．

24．如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個作為條件，補充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．


三、解答題
25．如圖，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：四邊形是矩形．


26．如圖，的對角線，相交于點，是等邊三角形，．
（1）求證：是矩形；
（2）求的長．

27．如圖，在菱形中，點、分別在、上，且，求證：．



28．如圖，矩形的對角線，交于點，且，，連接．求證：．


29．如圖，四邊形是菱形，點、分別在邊、的延長線上，且．連接、．
求證：．





參考答案
1．B
【分析】
分別根據正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質逐項進行判斷即可得到結論．
【詳解】
解：A.每個內角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項A的說法錯誤，不符合題意；
B. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說法正確，故選項B符合題意；
C. 過線段中點且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項C的說法錯誤，不符合題意；
D. 三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項D的說法錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點撥】此題主要考查了對正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質的認識，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關鍵．
2．B
【分析】
根據補角的定義求，再利用平行四邊形對角相等的性質求解即可．
【詳解】
∵
∴
∵四邊形是平行四邊形
∴．
故選：B．
【點撥】本題考查了補角的定義和平行四邊形的性質．平行四邊形的性質，對邊相等，對角相等，對角相互相平分．
3．C
【分析】
延長EG交AB于H，根據平行四邊形與三角板的性質，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定義，計算出結果．
【詳解】
解：如圖，延長EG交AB于H，

∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四邊形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴，
故選：C．
【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質與一副特殊三角形板的性質，關鍵在于作出輔助線，利用平行四邊形的性質進行求解．
4．A
【分析】
根據矩形的性質可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根據三角形中位線定理可得EF＝BO＝2．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵點E、F是AB，AO的中點，
∴EF是△AOB的中位線，
∴EF＝BO＝2，
故選：A．
【點撥】本題考查了矩形的性質和三角形中位線定理，難度不大，關鍵熟練掌握知識點，并靈活運用．
5．C
【分析】
由菱形的性質可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性質可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故選項A不合題意，
∵點E是CD的中點，
∴OE=DE=CE=CD=AB，故選項B不合題意；
∴∠EOD=∠EDO，故選項D不合題意；
故選：C．
【點撥】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，掌握菱形的性質是是解題的關鍵．
6．C
【分析】
根據題意及正方形的判定定理可直接進行排除選項．
【詳解】
解：①由兩組對邊分別相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一組鄰邊相等可得該四邊形是菱形，再添加一個角是直角則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
②由一組對邊平行且相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一個角是直角可得該四邊形是矩形，再添加一組鄰邊相等則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
③a、b都為平行四邊形的判定定理，故不能判定該四邊形是正方形，故錯誤，不符合題意；
∴正確的有①②；
故選C．
【點撥】本題主要考查正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關鍵．
7．D
【分析】
此題是有關剪紙的問題，此類問題應親自動手折一折，剪一剪．
【詳解】
解：由題可知，AD平分,折疊后與重合，故全等，所以EO=OF;
又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；
由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；
又AD⊥EF，所以平行四邊形AEDF為菱形．

故選：
【點撥】本題主要考察學生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉換能力，與課程標準中“能以實物的形狀想象出幾何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形”的要求相一致，充分體現了實踐操作性原則．
8．B
【分析】
根據題意可得 ，從而 即可．
【詳解】
∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB，，
∴，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴，
故選：B．
【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
9．A
【分析】
由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由與折疊的性質得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性質求出答案即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形紙片沿折疊，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64?，
∵是△EFG的外角，
∴=∠GEF+∠EFG=128?
故選：A．
【點撥】本題考查了矩形的性質與折疊的性質，關鍵在于折疊得出角相等，再由平行得到內錯角相等，由三角形外角的性質求解．
10．C
【分析】
根據三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【詳解】
解: ∵四邊形是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴(SAS)，
故選項A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(ASA)；
故選項B可以；
C. 添加不可以，條件是邊邊角故不能判定；
故選項C不可以；
D. 添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(SAS)．
故選項D可以；
故選擇C．
【點撥】本題考查添加條件判定三角形全等，菱形性質，掌握三角形全等判定定理，菱形性質是解題關鍵．
11．C
【分析】
根據平行四邊形性質以及點的平移性質計算即可．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
點B的坐標為(-2，-2)，點C的坐標為(2，-2)，
∴點B到點C為水平向右移動4個單位長度，
∴A到D也應向右移動4個單位長度，
∵點A的坐標為(0，1)，
則點D的坐標為(4，1)，
故選:C．
【點撥】本題主要考查平行四邊形的性質，以及平移的相關知識點，熟知點的平移特點是解決本題的關鍵．
12．C
【分析】
先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據此解題．
【詳解】
解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，




又


四邊形MOND的面積是1，

正方形ABCD的面積是4，


故選：C．
【點撥】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
13．D
【分析】
先根據三角形中位線定理計算，再總結規(guī)律，根據規(guī)律解答即可得．
【詳解】
解：點，分別為，的中點，
，
點，分別為，的中點，
，
，

，

△的面積，
故選D．
【點撥】本題考查了三角形中位線定理，解題的關鍵是掌握三角形中位線定理．
14．（答案不唯一）
【分析】
由題意易得四邊形是平行四邊形，然后根據菱形的判定定理可進行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
若要添加一個條件使其為菱形，則可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
故答案為（答案不唯一）．
【點撥】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩形的性質及平行四邊形的判定是解題的關鍵．
15．（2，0）
【分析】
根據菱形的性質，可得OA=OC，結合勾股定理可得OA=OC=2，進而即可求解．
【詳解】
解：∵菱形對角線的交點坐標是，點的坐標是，
∴OB=1，OA=OC，
∵，
∴OC=，
∴OA=2，即：A的坐標為：（2，0），
故答案是：（2，0）．
【點撥】本題主要考查菱形的性質，勾股定理以及點的坐標，熟練掌握菱形的性質，是解題的關鍵．
16．（4，-1）
【分析】
根據平行四邊形的性質得到點C坐標，再根據平移的性質得到C1坐標．
【詳解】
解：在平行四邊形ABCD中，
∵對稱中心是坐標原點，A（-1，1），B（2，1），
∴C（1，-1），
將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個單位長度，
∴C1（4，-1），
故答案為：（4，-1）．
【點撥】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．
17．4
【分析】
先求出矩形的對角線的長，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值．
【詳解】
解：∵矩形 ADBE 的對角線 AB 與 DE 交于點 O ，
∴AB=DE，OE=OD，
∴AB=DE=2OD=4，
∵線段 BC 為等腰 △ABC 的底邊，
∴AC=AB=4，
故答案為：4．
【點撥】本題考查了矩形的性質和對等腰三角形概念的理解，解決本題的關鍵是理解相關概念與性質，能靈活運用題干信息，將它們用數學符號進行表示，本題較基礎，考查了學生的幾何語言表述的能力以及基本功．
18．5
【分析】
直接利用平行四邊形的性質結合三角形中位線定理得出EO的長．
【詳解】
解：∵在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，
∴點O是AC的中點，
又∵點E是AB的中點，
∴EO是△ABC的中位線，
∴EO＝BC＝5．
故答案為：5．
【點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質以及三角形中位線定理，正確得出EO是△ABC的中位線是解題關鍵．
19．
【分析】
根據矩形的判定方法即可得出答案．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴當時，四邊形ABCD為矩形．
故答案為：．
【點撥】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關鍵．
20．
【分析】
根據已知條件結合等腰直角三角形的性質先求出點B ，點，即可得出點向右每次平移個單位長度，而為點B向右平移2個單位后的點，根據點平移規(guī)律即可得到答案
【詳解】
如圖過點B作，

為等腰直角三角形，斜邊在軸上，
，

向右平移至，點B在上，同理可得點的坐標為
每次向右平移1個單位，即點向右每次平移個單位，
為點B向右平移2個單位后的點
點的坐標為
故答案為：
【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質，以及坐標與圖像變換—平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖像上某點的平移相同，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減，縱坐標上移加，下移減．
21．18
【分析】
由正方形的性質及正五邊形的內角可直接進行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是正方形，五邊形是正五邊形，
∴，
∴；
故答案為18．
【點撥】本題主要考查正多邊形的性質，熟練掌握正多邊形的定義是解題的關鍵．
22．AC⊥BD（答案不唯一）
【分析】
根據正方形的判定定理可直接進行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴根據“一組鄰邊相等的矩形是正方形”可添加：或或或，
根據“對角線互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案為AC⊥BD（答案不唯一）．
【點撥】本題主要考查正方形的判定定理，熟練掌握正方形的判定是解題的關鍵．
23．64
【分析】
根據菱形的性質可以求得和，再應用三角形外角的性質即可求解．
【詳解】
解：∵BD是菱形ABCD的一條對角線，，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：64．
【點撥】本題考查菱形的性質和三角形外角的性質，熟練掌握以上知識點是解題關鍵．
24．①
【分析】
根據菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質即可得．
【詳解】
解：①時，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
②時，平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；
③由平行四邊形的性質可知，，則不能作為構成菱形的條件；
故答案為：①．
【點撥】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質，熟練掌握菱形的判定方法是解題關鍵．
25．（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）由平行四邊形的性質以及點C是BE的中點，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵點C是BE的中點，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴四邊形ACED是矩形．
【點撥】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
26．（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）先根據平行四邊形的性質可得，再根據等邊三角形的性質可得，從而可得，然后根據矩形的判定即可得證；
（2）先根據等邊三角形的性質可得，從而可得，再根據矩形的性質可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
是等邊三角形，
，
，
是矩形；
（2）是等邊三角形，，
，
，
由（1）已證：是矩形，
，
則在中，．
【點撥】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質等知識點，熟練掌握矩形的判定與性質是解題關鍵．
27．見解析
【分析】
菱形中，四邊相等，對角相等，結合已知條件，可利用三角形全等進行證明，得到，再線段之差相等即可得證．
【詳解】
四邊形是菱形

在和中

(ASA)



即．
【點撥】本題考查了三角形全等的證明，菱形的性質，根據題意找準三角形證明的條件，利用角邊角進行三角形全等的證明是解題的關鍵．
28．證明見解析．
【分析】
先根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，再根據矩形的性質可得，然后根據菱形的判定與性質即可得證．
【詳解】
證明：，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，
平行四邊形是菱形，
．
【點撥】本題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質等知識點，熟練掌握菱形的判定與性質是解題關鍵．
29．見解析
【分析】
根據菱形的性質得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【點撥】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是根據菱形得到判定全等的條件．

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