人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.4 空間向量的應(yīng)用第三課時(shí)學(xué)案

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.4 空間向量的應(yīng)用第三課時(shí)學(xué)案，共10頁(yè)。
第三課時(shí)　空間中直線、平面的垂直新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、直觀想象2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關(guān)系邏輯推理、直觀想象 觀察圖片，都知道圖中旗桿所在直線和地面垂直．[問(wèn)題]　如何證明旗桿與地面垂直？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)　空間中直線、平面垂直的向量表示1．線線垂直的向量表示設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0．2．線面垂直的向量表示設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn．3．面面垂直的向量表示設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0．若直線l的方向向量與平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直，那么l與α垂直嗎？提示：垂直．1．(多選)下列命題中，正確的命題為(　　)A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α垂直，則n∥aD．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直解析：選BCD　A中平面α，β可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知B、C、D正確．2．若直線l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則(　　)A．l∥α　　　　　　 B．l⊥αC．l?α  D．l與α斜交解析：選B　∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.3．已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，則λ的值為_(kāi)_______．解析：由題意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，∴λ＝－1或－.答案：－1或－4．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為_(kāi)_______．解析：∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.答案：5直線和直線垂直[例1]　如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點(diǎn)．求證：EF⊥BC.[證明]　由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，因而E，F，所以＝，＝(0，2，0)，因此·＝0.從而⊥，所以EF⊥BC.利用空間向量證明兩直線垂直的常用方法及步驟(1)基向量法：①選取三個(gè)不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直；(2)坐標(biāo)法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)；③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn)．求證：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)．(1)＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴⊥，∴BD1⊥AC.(2) ＝(－1，－1，1)，＝，∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，∴⊥，∴BD1⊥EB1.直線和平面垂直[例2]　(鏈接教科書第32頁(yè)例4)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC.[證明]　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．∴＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．∵·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.用向量法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直；(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F.求證：PB⊥平面EFD.證明：由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.所以＝(1，1，－1)，＝，＝.法一：因?yàn)?/span>·＝(1，1，－1)·＝0＋－＝0，所以⊥，所以PB⊥DE，因?yàn)?/span>PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.法二：設(shè)F(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)，＝.因?yàn)?/span>⊥，所以x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①又因?yàn)?/span>∥，可設(shè)＝λ(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝，y＝，z＝，所以＝.設(shè)n＝(x1，y1，z1)為平面EFD的法向量，則有即所以取z1＝1，則n＝(－1，－1，1)．所以∥n，所以PB⊥平面EFD. 平面和平面垂直[例3]　在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]　設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E.法一：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為.易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.法二：設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．易知＝(－1，1，0)，＝，∴即取x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝(1，1，0)．∵AS⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝＝(0，0，1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明；(2)向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.證明：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，DA，DP，DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，則＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題[例4]　如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]　(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.過(guò)A作AH⊥BC于H(圖略)，則BH＝1，AH＝，CH＝3，∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF?平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Axyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)．假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，設(shè)＝λ，則0<λ<1，P.設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x，y，z)．由＝，＝(0，2，0)，得即取x＝1，則z＝，所以m＝為平面PAC的一個(gè)法向量．同理，可求得n＝為平面BCEF的一個(gè)法向量．當(dāng)m·n＝0，即λ＝時(shí)，平面PAC⊥平面BCEF，故存在滿足題意的點(diǎn)P，此時(shí)＝.解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理；(2)探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如Oxy面上的點(diǎn)為(x，y，0)；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為(0，0，z)；④直線(線段)AB上的點(diǎn)P，可設(shè)為＝λ，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算． [跟蹤訓(xùn)練]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD.(2)已知點(diǎn)G在平面PAD內(nèi)，且GF⊥平面PCB，試確定點(diǎn)G的位置．解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，∴＝，＝(0，a，0)，∴·＝·(0，a，0)＝0，∴EF⊥CD.(2)∵G∈平面PAD，設(shè)G(x，0，z)，∴＝.由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．∵GF⊥平面PCB，∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，∴x＝，z＝0.∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)．1．若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關(guān)系是(　　)A．平行　　　　　　　 B．垂直C．相交但不垂直  D．無(wú)法確定解析：選B　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程(　　)A．y－z＝0B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0D．z－1＝0解析：選D　E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，因?yàn)?/span>CF⊥B1E，所以·＝0，即2－2z＝0，即z＝1.3．已知平面α的法向量為a＝(1，2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k＝________．解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.答案：－54.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則AM與PM的位置關(guān)系是________．解析：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，依題意可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，所以＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，所以·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，所以PM⊥AM.答案：PM⊥AM5．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分別是平面α，β，γ的一個(gè)法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中兩兩垂直的有________對(duì)．解析：∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，∴α，β，γ三個(gè)平面中任意兩個(gè)都不垂直．答案：0