6.2 立方根（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解立方根的含義； 2. 會表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，會用計(jì)算器求立方根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.特別說明：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù). 開立方和立方互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.特別說明：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號與這個(gè)非零數(shù)的符號相同. 兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點(diǎn)三、立方根的性質(zhì)特別說明：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.要點(diǎn)四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根概念的理解1．填表：相反數(shù)等于它本身絕對值等于它本身倒數(shù)等于它本身平方等于它本身立方等于它本身平方根等于它本身算術(shù)平方根等于它本身立方根等于它本身最大的負(fù)整數(shù)絕對值最小的數(shù)          解：試題分析：（1）根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，相反數(shù)等于它本身的數(shù)只能是0；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答．非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身；（3）根據(jù)倒數(shù)的定義可知，±1的倒數(shù)等于它本身；（4）根據(jù)平方的性質(zhì)解答；
（5）根據(jù)立方的性質(zhì)解答；（6）-1沒有平方根，1的平方根是±1，0的平方根是0；
（7）由于一個(gè)非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根．所以結(jié)果必須為正數(shù)，算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是只能是0和1，由此即可求解；
（8）直接利用立方根的性質(zhì)得出符合題的答案；
（9）根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義可知；
（10）根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答，一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．試題解析：填表如下【變式1】 簡答：(1)設(shè)+|b3-27|=0,求(a+b)2的值;(2)已知225的算術(shù)平方根是a,-512的立方根是b,求的值.【答案】(1)1;(2)6.【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性可求出a及b的值，進(jìn)而可得出答案；（2）首先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求得a、b的值，然后將a、b的值代入化簡即可．解：(1)  由題意知:a3+64=0,b3-27=0, 解得a=-4,b=3. ∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (2)  ∵=15=a,=-8=b, ∴=6.【點(diǎn)撥】本題主要考查的是算術(shù)平方根、立方根的定義.根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求得a、b的值是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知的平方根是，實(shí)數(shù)的立方根是，求的立方根.【答案】【分析】利用平方根及立方根定義列出方程組，求出方程組的解得到a與b的值，代入原式計(jì)算求出立方根即可．解：∵實(shí)數(shù)a+b的平方根是±4，實(shí)數(shù)的立方根是-2，∴a+b=16，=-8，∴a=-24，b=40，∴∴的立方根是.【點(diǎn)撥】此題考查了立方根，以及平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．類型二、求一個(gè)數(shù)的立方根1．正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x這個(gè)數(shù)的立方根．【答案】(1) a＝﹣10;(2) 4－x的立方根是﹣5【分析】（1）理解一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根及其兩個(gè)平方根間關(guān)系：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，求出a的值；根據(jù)a的值得出這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，即可得出這個(gè)正數(shù)，計(jì)算出44-x的值，再根據(jù)立方根的定義即可解答.解：（1）由題意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10, （2）由（1）可知x＝169，則44－x＝﹣125，∴44－x的立方根是-5.【點(diǎn)撥】此題考查了立方根，平方根，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．舉一反三：【變式1】 計(jì)算：【答案】．【分析】先算平方根、立方根、乘方和絕對值，再加減．解：，=，=．【點(diǎn)撥】本題考查了乘方、立方根、平方根和絕對值的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相關(guān)法則，準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算．【變式2】我們知道a＋b＝0時(shí)，a3＋b3＝0也成立，若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我們能否得出這樣的結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù)．(1)試舉一個(gè)例子來判斷上述猜測結(jié)論是否成立；(2)若與互為相反數(shù)，求1－的值．【答案】（1）成立；（2）-1解：【試題分析】舉例：8和-8的立方根分別為2和-2.  2和-2互為相反數(shù)，則8和-8也互為相反數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,則=1-2=-1.【試題解析】（1）8和-8的立方根分別為2和-2；2和-2互為相反數(shù)，則8和-8也互為相反數(shù)（舉例符合題意即可），成立.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,則=1-2=-1.故答案為-1.【方法點(diǎn)撥】本題目是一道關(guān)于立方根的拓展題目，根據(jù)立方根互為相反數(shù)得到這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；反之也成立.運(yùn)用了從特殊的到一般的數(shù)學(xué)思想.類型三、已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)3．已知x+12的算術(shù)平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2．    （1）求x，y的值；    （2）求3xy的平方根．【答案】（1）x=1，y=12；（2）±6．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義解答，由算數(shù)平方根的定義，可得x+12=()2，求解可得到x的值；由立方根的定義，得到2x+y-6=23，將x的值代入2x+y=14，即可得到y的值；（2）先求出3xy的值，再結(jié)合平方根的定義即可求出3xy平方根．解：（1）∵x+12的算術(shù)平方根是 ，2x+y﹣6的立方根是2． ∴x+12= =13，2x+y﹣6=23=8，∴x=1，y=12（2）解：當(dāng)x=1，y=12時(shí)，3xy=3×1×12=36，  ∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根、立方根的定義，能熟練運(yùn)用它們的逆運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 已知x﹣2的平方根是±2，5y+32的立方根是﹣2．（1）求x3+y3的平方根．（2）計(jì)算：|2﹣|-的值．【答案】（1）無平方根；（2）﹣3．【分析】根據(jù)題意可分別得到關(guān)于x、y的方程，解方程可求得x、y的值；（1）把上面求得的x、y的值代入x3+y3進(jìn)行計(jì)算后再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可；（2）把x、y的值代入根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡后再按順序進(jìn)行計(jì)算即可.解：由題意得：x﹣2=4，5y+32=﹣8，解得：x=6，y=﹣8；（1）x3+y3=216﹣512=﹣296，-296沒有平方根，所以x3+y3無平方根；（2）原式=|2﹣|﹣|+2|+=﹣2﹣﹣2+=﹣3 ．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根與立方根的定義，根據(jù)平方根與立方根的定義求出x、y的值是解題的關(guān)鍵.【變式2】已知的平方根是±4，的立方根是-2．求的平方根．【答案】±13【分析】利用平方根、立方根的定義先求出x與y的值，再將x，y的值代入計(jì)算后可進(jìn)一步得出結(jié)果．解：∵x+2的平方根為±4，4y-32的立方根是-2，
∴x+2=16，4y-32=-8，
解得：x=14，y=6，
則x2-y2+9=169，
∴x2-y2+9的平方根是±13．【點(diǎn)撥】此題考查了平方根、立方根的定義，熟練掌握基本概念是解題的關(guān)鍵，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．類型四、立方根的實(shí)際運(yùn)用4某地氣象資料表明:當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時(shí)間t(h)可以用下面的公式來估計(jì):t2=,其中d(km)是雷雨區(qū)域的直徑.(1)如果雷雨區(qū)域的直徑為9km,那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時(shí)間?(2)如果一場雷雨持續(xù)了1h,那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少(結(jié)果精確到0.1km)?【答案】（1）0.9h  （2）9.7km【分析】（1）根據(jù)t2＝，其中d=9（km）是雷雨區(qū)域的直徑，開立方，可得答案；（2）根據(jù)t2＝，其中t=1h是雷雨的時(shí)間，開立方，可得答案．解：(1)當(dāng)d＝9時(shí)，則t2＝，因此t＝＝0.9.答：如果雷雨區(qū)域的直徑為9km，那么這場雷雨大約能持續(xù)0.9h.(2)當(dāng)t＝1時(shí)，則＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.答：如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是9.7km.【點(diǎn)撥】本題考查了立方根，注意任何數(shù)都有立方根．舉一反三：【變式1】 小軍做了兩個(gè)正方體紙盒，已知第一個(gè)正方體紙盒棱長為3厘米，第二個(gè)正方體紙盒比第一個(gè)紙盒體積大189立方厘米，試求第二個(gè)正方體紙盒的棱長．【答案】6cm【分析】根據(jù)題意列出方程，然后根據(jù)立方根的性質(zhì)進(jìn)行求解．解：設(shè)第二個(gè)紙盒的棱長為acm，∵已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長為3cm，第二個(gè)正方體紙盒的體積比第一個(gè)紙盒的體積大189cm3，∴a3-33=189，∴a3=189+27=216，a3=216=63∴a=6cm．【點(diǎn)撥】此題考查立方根的計(jì)算, 關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程．．【變式2】請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容回答下列問題．（1）求該魔方的棱長；（2）求該長方體紙盒的表面積．【答案】（1）魔方的棱長6cm；（2）長方體紙盒的長為10cm．解：試題分析：（1）由正方體的體積公式，再根據(jù)立方根，即可解答；（2）根據(jù)長方體的體積公式，再根據(jù)平方根，即可解答.試題解析：（1）設(shè)魔方的棱長為xcm，可得：x3=216，解得：x=6，答：該魔方的棱長6cm；（2）設(shè)該長方體紙盒的長為ycm，6y2=600，y2=100，y=10，答：該長方體紙盒的長為10cm．類型五、算術(shù)平方根與立方根的實(shí)際應(yīng)用5已知 x+3 的立方根為 2，3x+y-1 的平方根為±4 ，求 3x+5y 的算術(shù)平方根．【答案】5【分析】根據(jù)立方根的立方得被開方數(shù)和平方根的平方等于被開方數(shù)，可得二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得 x、y 的值，再計(jì)算 3x+5y 的值，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，可得答案．解：由 x+3 的立方根為 2，3x+y-1 的平方根為±4 ，得：∴3x+5y=15+10=25，∵25 的算術(shù)平方根為 5，∴3x+5y 的算術(shù)平方根為 5【點(diǎn)撥】本題主要考查了立方根，平方根和算術(shù)平方根，解題關(guān)鍵是利用立方根的立方和平方根的平方等于被開方數(shù)得出二元一次方程組．舉一反三：【變式1】 已知a是一64的立方根，b的算術(shù)平方根為2.(1)寫出a，b的值;    (2)求3b一a的平方根，【答案】(1)a=-4,b=4;(2) ±4.【分析】(1)根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義即可解答.(2)把a、b的值帶入求值.解：（1）因?yàn)?/span>a是一64的立方根，b的算術(shù)平方根為2，所以a=-4，b=4（2）因?yàn)?/span>a=-4，b=4，所以3a-3b=16. 所以3a-3b的平方根為士4【點(diǎn)撥】本題考查立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義和性質(zhì).【變式2】已知16的算術(shù)平方根是x-2，2x+y+7的立方根是3，求的平方根.【答案】±10．【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知x-2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代數(shù)式求解即可．解：∵16的算術(shù)平方根是4，∴x-2=4，∴x=6，∵2x+y+7的立方根是3，∴2x+y+7=27，把x=6代入解得：y=8，∴x2+y2=62+82=100，∴x2+y2的平方根是±10．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方根、立方根的概念，難易程度適中，掌握平方根、立方根的概念是解答此題的關(guān)鍵
 

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6.2 立方根

版本： 人教版

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