5.1.2  垂 線（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)； 理解并運用“垂線段最短”解決實際問題；3.理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；4.能依據(jù)對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質(zhì)，進行簡單的計算.【要點梳理】1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．特別說明：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；         直線AB和CD垂直于點O，記作：AB⊥CD于點O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．特別說明： (1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段． 3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．特別說明：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．4．點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．特別說明：（1） 點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．【典型例題】類型一、垂線定義的理解 1．【答案】130°或50°【分析】作圖分析，若兩個角的邊互相垂直，那么這兩個角必相等或互補，可據(jù)此解答．解：如圖∵β的兩邊與α的兩邊分別垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情況下，若反向延長∠β的一邊，那么∠β的補角的兩邊也與∠α的兩邊互相垂直，故此時∠β=50；綜上可知：∠β=50°或130°，故正確答案為：【點撥】本題考核知識點：四邊形內(nèi)角和. 解題關(guān)鍵點：根據(jù)題意畫出圖形，分析邊垂直的2種可能情況.舉一反三：【變式1】 如圖，直線AB、CD相交于點O，∠COE為直角，∠AOE=60°，則∠BOD=__________°．【答案】150解：試題分析：首先根據(jù)直角定義可得∠COE=90°，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，根據(jù)對頂角相等可得∠BOD=∠AOC=150°．【變式2】如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，O為垂足，∠EOD=30°，則∠AOC=_______【答案】60°【分析】首先根據(jù)OE⊥AB，可得∠EOB＝90°，然后根據(jù)∠EOD＝30°，求出∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等，即可判斷出∠AOC的度數(shù)是多少．解：∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°．∵∠EOD＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°．∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝60°．故答案為60°．【點撥】（1）此題主要考查了垂線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是要明確：垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）此題還考查了對頂角的特征和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：對頂角相等．類型二、畫垂線 2．如圖所示，直線AB，CD相交于點O，P是CD上一點．（1）過點P畫AB的垂線段PE．（2）過點P畫CD的垂線，與AB相交于F點．（3）說明線段PE，PO，FO三者的大小關(guān)系，其依據(jù)是什么？【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）PE＜PO＜FO，其依據(jù)是“垂線段最短”【分析】前兩問尺規(guī)作圖見詳解,第（3）問中利用垂線段最短即可解題.解：（1）（2）如圖所示．（3）在直角△FPO中,PO＜FO,在直角△PEO中,PE＜PO,∴PE＜PO＜FO，其依據(jù)是“垂線段最短”．【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖和垂線段的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉尺規(guī)作圖的方法和步驟,垂線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】 如圖：點C是∠AOB的邊OB上的一點，按下列要求畫圖并回答問題．（1）過C點畫OB的垂線，交OA于點D；（2）過C點畫OA的垂線，垂足為E；（3）比較線段CE，OD，CD的大?。ㄕ堉苯訉懗鼋Y(jié)論）；（4）請寫出第（3）小題圖中與∠AOB互余的角（不增添其它字母）．【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）CE＜CD＜OD；（4）與∠AOB互余的角是∠OCE與∠ODC【分析】(1)作DC⊥OB即可；(2)作CE⊥OA即可；(3)根據(jù)垂線段最短及直角三角形的斜邊大于任一直角邊即可得出結(jié)論；(4)根據(jù)兩角互余的定義即可得出結(jié)論．解：解：(1)、(2)如圖所示；(3)∵CE⊥OA，∴CE＜CD.∵△OCD中OD是斜邊，CD是直角邊，∴CD＜OD，∴CE＜CD＜OD；(4)  ∵CE⊥OA，∴∠AOB+∠OCE=90°．∵CD⊥OB，∴∠AOB+∠ODC=90°，∴與∠AOB互余的角是∠OCE與∠ODC．【點撥】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知垂線的作法是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，，在的內(nèi)部有一條射線.（1）畫射線（2）寫出此時與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）作圖見解析（2）（1）或【解析】試題分析：（1）根據(jù)基本作圖—做已知直線的垂線即可；（2）通過圖形判斷即可.試題解析：（1）畫圖，如下圖（2）或類型三、垂線段最短 3．如圖所示，在△ABC中，AC=5，BC=6，BC邊上高AD=4，若點P在邊AC上（不含端點）移動，求BP最短時的值．【答案】【分析】根據(jù)點到直線的連線中，垂線段最短，得到當(dāng)BP垂直于AC時，BP的長最小，利用面積法即可求出此時BP的長．解：根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BP⊥AC時，BP最短．∵S△ABCBC×ADAC×BP，∴6×4=5BP，∴PB，即BP最短時的值為：．【點撥】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 如圖，在直線MN的異側(cè)有A、B兩點，按要求畫圖取點，并注明畫圖取點的依據(jù)．(1)在直線MN上取一點C，使線段AC最短．依據(jù)是______________．(2)在直線MN上取一點D，使線段AD＋BD最短．依據(jù)是______________________．【答案】垂線段最短    兩點之間，線段最短    【分析】(1)過A作AC⊥MN，AC最短；(2)連接AB交MN于D，這時線段AD+BD最短．解：(1)過A作AC⊥MN，根據(jù)垂線段最短，故答案為垂線段最短；(2)連接AB交MN于D，根據(jù)是兩點之間線段最短，故答案為兩點之間線段最短．【點撥】本題主要考查了垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線段最短；兩點之間線段最短．【變式2】火車站，碼頭分別位于A，B兩點，直線a，b分別表示鐵路與河流．(1)從火車站到碼頭怎樣走最近？(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近？請畫圖并說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】(1)從火車站到碼頭的距離是點到點的距離，即兩點間的距離，依據(jù)兩點之間線段最短解答即可；(2)從碼頭到鐵路的距離是點到直線的距離，依據(jù)垂線段最短解答即可．解：如圖所示(1)沿AB走，兩點之間線段最短；(2)沿BD走，垂線段最短.【點撥】本題考查了線段的性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)，根據(jù)具體的問題正確判斷出是點到點的距離還是點到線的距離是解答問題的關(guān)鍵．類型四、點到直線的距離 4．如圖，已知直線AB及直線AB外一點P，按下列要求完成畫圖和解答：（1）連接PA，PB，用量角器畫出∠APB的平分線PC，交AB于點C；（2）過點P作PD⊥AB于點D；（3）用刻度尺取AB中點E，連接PE；（4）根據(jù)圖形回答：點P到直線AB的距離是線段         的長度．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）PD．解：試題分析：(1)、用量角器量出∠APB的度數(shù)，然后求出一半的度數(shù)得出答案；(2)、根據(jù)垂線的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的長度，然后找出中點，從而得出答案；(4)、點到直線的距離是指點到直線垂線段的長度．解：(1)、如圖所示；(2)、如圖所示；(3)、如圖所示；(4)、PD．舉一反三：【變式1】 如圖.（1）試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；（2）點C到直線AB的距離是多少？【答案】（1）點A到直線BC的距離、點B到直線AC的距離分別是9，12；（2）【分析】根據(jù)點到直線的距離即為垂線段的距離，求解即可.解：（1）∵，∴點A到直線BC的距離、點B到直線AC的距離分別是9，12.（2）設(shè)點C到直線AB的距離為h，的面積為，∴，∴.∴點C到直線AB的距離為.【點撥】此題主要考查對垂線段的理解，熟練掌握，即可解題.【變式2】如圖，△ABC中，∠A+∠B=900.⑴根據(jù)要求畫圖：①過點C畫直線MN∥AB②過點C畫AB的垂線，交AB于點D．⑵請在⑴的基礎(chǔ)上回答下列問題：①已知∠B+∠DCB=900，則∠A與∠DCB的大小關(guān)系為__________，理由是__________.②圖中線段_________的長度表示點A到直線CD的距離.【答案】（1）作圖見解析（2）① ；∠A=∠DCB；同角的余角相等；②AD解：試題分析：（1）根據(jù)題意畫出MN∥AB，CD⊥AB于D；（2）①根據(jù)同角的余角相等可判斷∠A=∠DCB；②根據(jù)點到直線的距離的定義求解．試題解析：解：（1）①如圖，MN為所求；②如圖，CD為所求；（2）①∵∠B+∠DCB=90°，∠B+∠A=90°，∴∠A=∠DCB；②線段AD長度表示點A到直線CD的距離．故答案為∠A=∠DCB，同角的余角相等；AD．
 

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5.1.2 垂線

版本： 人教版

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