6.3 實數(shù)（知識講解）【學習目標】1. 了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2. 了解有理數(shù)的概念、運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用 .【知識要點】 要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).特別說明：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式.         （2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：    實數(shù)按與0的大小關系分：    實數(shù)   2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.要點三、實數(shù)大小的比較對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總是比左邊的點表示的實數(shù)大.正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.【典型例題】類型一、實數(shù)概念的理解1．已知：a，b均為有理數(shù)，且滿足．化簡．【答案】當x＜-2時，；當-2≤x≤1時，；當x＞1時，【分析】根據(jù)已知等式可得關于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根據(jù)x的范圍分類討論，去絕對值化簡即可．解：，a，b均為有理數(shù)，∴，∴，，∴a=-4，b=1，∴=，當x＜-2時，==；當-2≤x≤1時，==；當x＞1時，==．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，化簡絕對值，解題的關鍵是根據(jù)實數(shù)的對應形式得到a和b的值．【變式】課堂上，老師讓同學們從下列數(shù)中找一個無理數(shù)：，，，0，，，其中，甲說“”，乙說“”，丙說“”（1）甲、乙、丙三個人中，說錯的是________．（2）請將老師所給的數(shù)字按要求填入下面相應的區(qū)域內(nèi)；      【答案】（1）甲；（2）正實數(shù)為，，負分數(shù)為【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的概念即可判斷；（2）根據(jù)實數(shù)相關概念填空即可．解：（1）是負分數(shù)，即是有理數(shù)范圍內(nèi)的，不是無理數(shù)，故甲錯；（2）正實數(shù)包括正有理數(shù)與正無理數(shù)，故答案為：、；負分數(shù)為：．【點撥】本題考查了實數(shù)的分類識別，明確基本概念并準確區(qū)分是解題關鍵．類型二、實數(shù)的分類2．把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)：，，，，，，，，．（1）有理數(shù)集合                   ；（2）無理數(shù)集合                   ；（3）正實數(shù)集合                   ；（4）負實數(shù)集合                   ．【答案】（1），，，，，，；（2），，，；（3），，，，，，，；（4），，【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義進行判定即可得出答案；
（2）根據(jù)無理數(shù)的定義進行判定即可得出答案；
（3）根據(jù)正實數(shù)的定義進行判定即可得出答案；
（4）根據(jù)負實數(shù)的定義進行判定即可得出答案．解：（1），，，，，，；（2），，，；（3），，，，，，，；（4），，．【點撥】本題主要考查了實數(shù)的分類，熟練掌握實數(shù)的分類進行求解是解決本題的關鍵．【變式】將下列各數(shù)的序號填在相應的集合里．①π；②；③；④3.14； ⑤1.6； ⑥0； ⑦﹣3.3030030003…（每兩個3之間依次增加一個0）整數(shù)集合：{　   　…}；負數(shù)集合：{　   　…}；無理數(shù)集合：{　   　…}．【答案】③⑥；③⑦；①⑦【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)進行分類，分數(shù)包括小數(shù)，無理數(shù)包括無限不循環(huán)小數(shù)和開方開不盡的數(shù)，即可得出答案．解：，∴依題意得：整數(shù)集合：{③⑥…}；負數(shù)集合：{③⑦…}；無理數(shù)集合：{①⑦…}．故答案為：③⑥；③⑦；①⑦．【點撥】本題考查了實數(shù)的有關概念及性質(zhì)，熟記有理數(shù)的分類是解決本題的關鍵．類型三、實數(shù)的性質(zhì)3．若，化簡【答案】【分析】由判斷＞0，再判斷絕對值里的數(shù)的正負，由絕對值的定義去掉絕對值，再計算即可．解：∵，∴＞0，∴∴ 【點撥】本題考查二次根式的化簡，正確的對含絕對值號的代數(shù)式的化簡是解題的關鍵．分類的標準應按正實數(shù)，負實數(shù)，零分類考慮．掌握好分類標準，不斷加強分類討論的意識．【變式】我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此可知：如果，其中a，b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么．運用上述知識，解決下列問題：（1）若，其中a，b為有理數(shù)，求a，b的值；（2）若，其中a，b為有理數(shù)，求的值．【答案】（1）a=2，b=3；（2）【分析】（1）a，b是有理數(shù)，則a-2，b+3都是有理數(shù)，根據(jù)如果ax+b=0，其中a、b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么a=0且b=0．即可確定；（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b為有理數(shù)，x為無理數(shù)）的形式，根據(jù)a=0，b=0即可求解．解：（1）由，得a-2=0，b-3=0，解得：a=2，b=3；（2）整理，得，∵a、b為有理數(shù)，∴，解得：，∴==．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，正確理解題意是關鍵．類型四、實數(shù)與數(shù)軸4．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”連接．，，，，．【答案】見解析，【分析】根據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的表示方法和數(shù)軸上的數(shù)比較大小的方法求解即可．解：如圖所示，從小到大排列為：．【點撥】此題考查了實數(shù)在數(shù)軸上的表示方法，比較數(shù)軸上數(shù)的大小，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)在數(shù)軸上的表示方法，比較數(shù)軸上數(shù)的大小的方法．【變式】．如圖，已知實數(shù)，－1，，4，其在數(shù)軸上所對應的點分別為點A，B，C，D．（1）點B表示的數(shù)為          ，點D表示的數(shù)為          ；（2）點C與點D之間的距離為          ；（3）記點A與點B之間距離為a，點C與點D之間距離為b，求a+b的值．【答案】（1），；（2）4；（3）3【分析】（1）先將無理數(shù)估算，然后根據(jù)所給的數(shù)值，在數(shù)軸上進行分析判斷即可；（2）點C對應的數(shù)軸上數(shù)值減去點D對應的數(shù)軸上數(shù)值即可；（3）分別計算出的值，代入計算即可．解：（1）∵，∴點B表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)為（2）∵點C表示的數(shù)為4，點D表示的數(shù)為∴點C與點D之間的距離為： （3）由題意得，點A表示的數(shù)為－1，點C表示的數(shù)為4，點D表示的數(shù)為所以點A和點B之間距離為a=點C和點D之間的距離為b=則a+b=【點撥】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離以及無理數(shù)的估算，牢記相關內(nèi)容并能結合數(shù)軸靈活應用是解題關鍵．類型五、實數(shù)的大小比較5．例如：比較與2的大?。?/span>，，則，，．請根據(jù)上述方法解答以下問題：（1）比較大小：_______3；（2）比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）＞；（2）＜，理由見解析【分析】（1）由＜＜，可得：3＜＜4，從而可得答案；（2）由＜＜，可得4＜＜5，從而可得：0＜，即0＜，從而可得答案．解：（1）＜＜，＜＜4；（2）＜＜，＜＜5，＜，＜，＜， ＜．【點撥】本題考查的是實數(shù)的大小比較，掌握實數(shù)的大小比較的方法是解題的關鍵．【變式】通過估算，比較與的大?。?/span>【答案】．【分析】要比較與的大小，只要比較與的大小，即與的大小，再根據(jù)無理數(shù)的比較方法即可得．解：，，，．【點撥】本題考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)的大小比較方法是解題關鍵．類型六、實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分6．已知的平方根是，的立方根是2，是的整數(shù)部分，求的算術平方根．【答案】【分析】直接利用平方根以及立方根和估算無理數(shù)的大小得出a，b，c的值進而得出答案．解：∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，解得：a=5，∵3a+b-9的立方根是2，∴15+b-9=8，解得：b=2，∵4＜＜5，c是的整數(shù)部分，∴c=4，∴a+2b+c=5+4+4=13，∴a+2b+c的算術平方根為【點撥】此題主要考查了平方根以及立方根和估算無理數(shù)的大小，正確得出a，b，c的值是解題關鍵．【變式】閱讀材料：∵＜＜，即2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，∴的整數(shù)部分為2，的小數(shù)部分為﹣2．解決問題：（1）填空：的小數(shù)部分是 　 　；（2）已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求a+b﹣的立方根．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根據(jù)求＜＜的取值范圍，進而得實數(shù)小數(shù)部分；（2）由9＜＜10得a的值，1＜＜2得b的值，再進行相應的計算．解：（1）∵16＜19＜25，∴ ∴的整數(shù)部分是4，∴小數(shù)部分是．故答案為：．（2）∵81＜90＜100，∴ ∴a=9∵ ∴ ∴ ∴a+b-=8，∴a+b-的立方根為2．【點撥】本題考查了實數(shù)的整數(shù)部分及小數(shù)部分，掌握無理數(shù)的取值范圍，從而求出整數(shù)部分和小數(shù)部分，求出結果是求立方根的關鍵．類型七、實數(shù)的混合運算7．計算：+++．【答案】．【分析】先化簡絕對值、計算算術平方根與立方根，再計算實數(shù)的加減法即可得．解：原式．【點撥】本題考查了算術平方根與立方根、實數(shù)的加減等知識點，熟練掌握各運算法則是解題關鍵．【變式】計算（1）               （2）【答案】（1）-2         （2）1【分析】（1）先分別計算開平方和開立方，再進行有理數(shù)的加、減混合計算即可；（2）先去絕對值，去括號，再進行實數(shù)的加、減混合計算即可；（1）解：；（2）解：．【點撥】本題考查實數(shù)的混合運算．掌握運算方法與運算順序是解出本題的關鍵．類型八、程序設計與實數(shù)運算8．任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進行計算．（1）用含m的代數(shù)式表示該程序的運算過程（2）當實數(shù)的一個平方根是時，求輸出的結果．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用運算程序即可得到關于m的代數(shù)式；（2）把已知數(shù)據(jù)帶入求解即可；解：（1）由題意可得．（2）原式，當實數(shù)的一個平方根是時，，即．所以原式．【點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，準確得出運算程序是解題的關鍵．【變式】如圖，是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)化機”的示意圖．（1）求輸出的結果；（2）計算當輸入x＝3時，輸出的值．【答案】（1）（4x﹣6）÷2；（2）3.【分析】（1）根據(jù)題中的程序框圖列出算式；（2）代入計算即可得到結果．解：（1）輸出的結果為（4x﹣6）÷2；（2）當x＝3時，（4x﹣6）÷2＝（4×3﹣6）÷2＝（12﹣6）÷2＝6÷2＝3．【點撥】此題考察有理數(shù)的計算，正確理解題意是解題的關鍵，（1）根據(jù)程序圖列出代數(shù)式，（2）中將x的值代入計算即可.類型九、新定義下的實數(shù)運算9．運算，滿足（1）求的值；    （2）求的值．【答案】（1）-10       （2）-22【解析】（1）解：（2）解：【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，利用新運算代入求值即可，關鍵在于理解新運算，代入時候看清楚符號是否正確．【變式】對于有理數(shù)a，b，定義運算：（1）計算的值； （2）填空_______：（填“＞”、“＜”或“＝”）（3）與相等嗎？若相等，請說明理由．【答案】（1）；（2）=；（3）相等，證明見詳解．【分析】（1）按照給定的運算程序，一步一步計算即可； （2）先按新定義運算，再比較大??； （3）按新定義分別運算即可說明理由．解：（1）；（2），，∴=，故答案是：=；（3）相等∵，，∴=．【點撥】此題是定義新運算題型，直接把對應的數(shù)字代入所給的式子可求出所要的結果．類型十、實數(shù)運算的實際應用10．數(shù)學閱讀是學生個體根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，通過閱讀數(shù)學材料建構數(shù)學意義和方法的學習活動，是學生主動獲取信息，汲取知識，發(fā)展數(shù)學思維，學習數(shù)學語言的途徑之一．請你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：問題情境：設a，b是有理數(shù)，且滿足，求的值．解：由題意得，∵a，b都是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)，∵是無理數(shù)，∴，∴，∴解決問題：設x，y都是有理數(shù)，且滿足，求的值．【答案】8或0【分析】根據(jù)題目中例題的方法，對所求式子進行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，當x=4，y=4時，x+y=4+4=8，當x=-4，y=4時，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【點撥】本題考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是明確題目中例題的解答方法，然后運用類比的思想解答所求式子的值．【變式】（1）小明解方程去分母時，方程右邊的?3忘記乘6，因而求出的解為x=2，則原方程正確的解為多少？（2）設x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，求x-y的值．【答案】（1）x＝?13；（2）（2）x-y的值為9或-1.【分析】（1）將錯就錯把x＝2代入計算求出a的值，即可確定出正確的解；（2）根據(jù)題意可以求得x、y的值，從而可以求得x?y的值．解：（1）把x＝2代入2（2x?1）＝3（x＋a）?3中得：6＝6＋3a?3，解得：a＝1，代入方程得：，去分母得：4x?2＝3x＋3?18，解得：x＝?13；（2）∵x、y 是有理數(shù)，且 x，y 滿足等式，∴，解得，或，∴當x＝5，y＝?4時，x?y＝5?（?4）＝9，當x＝?5，y＝?4時，原式＝?5?（?4）＝?1．故x-y的值為9或-1.【點撥】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．也考查了實數(shù)．類型十一、實數(shù)的規(guī)律運算11．請觀察下列等式，找出規(guī)律并回答以下問題．，，，，……（1）按照這個規(guī)律寫下去，第5個等式是：______；第n個等式是：______．（2）①計算：．②若a為最小的正整數(shù)，，求：．【答案】（1），；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可得第5個算式；根據(jù)規(guī)律可得第n個算式；（2）①根據(jù)運算規(guī)律可得結果．②利用非負數(shù)的性質(zhì)求出與的值，代入原式后拆項變形，抵消即可得到結果．解：（1）根據(jù)規(guī)律得：第5個等式是，第n個等式是；（2）①，，，；②為最小的正整數(shù)，，，，原式，，，，．【點撥】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用規(guī)律是解答此題的關鍵．【變式】閱讀下列解題過程：；；；…（1）________．（2）按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第個等式：________．（3）利用這一規(guī)律計算：【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）仿照已知等式確定出所求即可；（2）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）原式變形后，仿照上式得出結果即可．解：（1）；故答案為：；（2）觀察上面的解題過程，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為：，故答案為：；（3）．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．
 

相關學案

初中人教版6.3 實數(shù)學案：

這是一份初中人教版6.3 實數(shù)學案，共39頁。學案主要包含了實數(shù)概念的理解，實數(shù)的分類，實數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，實數(shù)的混合運算，程序設計與實數(shù)運算，新定義下的實數(shù)運算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學人教版七年級下冊第六章 實數(shù)6.1 平方根導學案：

這是一份初中數(shù)學人教版七年級下冊第六章 實數(shù)6.1 平方根導學案，共23頁。學案主要包含了學習目標，要點梳理，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學人教版七年級下冊第五章 相交線與平行線5.4 平移導學案：

這是一份初中數(shù)學人教版七年級下冊第五章 相交線與平行線5.4 平移導學案，共13頁。學案主要包含了學習目標，要點梳理，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實，我們會補償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費重復下載
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
初中數(shù)學人教版七年級下冊電子課本 舊教材

6.3 實數(shù)

版本： 人教版

年級： 七年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務

  • 官方微信

    官方
    微信

    關注“教習網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費福利

    免費福利
返回
頂部