5.4 平移（知識講解）【學習目標】1.理解平移的概念；2．了解圖形的平移變換，知道一個圖形進行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質(zhì)；3.能用平移變換有關(guān)知識進行簡單作圖并說明一些簡單問題及進行圖形設(shè)計.【要點梳理】1. 定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．特別說明：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2. 性質(zhì)：圖形的平移實質(zhì)上是將圖形上所有點沿同一方向移動相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來說：（1）平移后，對應線段平行且相等；（2）平移后，對應角相等；（3）平移后，對應點所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.特別說明：（1）“連接各組對應點的線段”的線段的長度實際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對應點的線段”與“對應線段”的區(qū)別，前者是通過連接平移前后的對應點得到的，而后者是原來的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3. 作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應用，在具體作圖時，應抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．   (1)定：確定平移的方向和距離；   (2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點；   (3)移：過關(guān)鍵點作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點的對應點；   (4)連：按原圖形順次連接對應點．【典型例題】類型一、生活中的平移現(xiàn)象 1．下列現(xiàn)象中：（1）將一張紙沿它的中線折疊；（2）飛碟的快速轉(zhuǎn)動；（3）電梯的上下移動；（4）翻開書中的每一頁紙張，其中是平移的是________（填序號）。【解析】【分析】根據(jù)平移的定義，可得答案． 解：（1）將一張紙沿它的中線折疊，不符合平移定義，故本選項錯誤；（2）飛蝶的快速轉(zhuǎn)動，不符合平移定義，故本選項錯誤；（3）電梯的上下移動，符合平移的定義，正確；（4）翻開書中的每一頁紙張，不符合平移的定義，故本選項錯誤．故答案為：（3）．【點撥】本題考查平移的概念，與實際生活相聯(lián)系，注意分清與旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)的區(qū)別．舉一反三：【變式1】 下面生活中的物體的運動情況可以看成平移的是______．(1)擺動的鐘擺；(2)在筆直的公路上行駛的汽車；(3)隨風擺動的旗幟；(4)投籃時運動的籃球；(5)從樓頂自由落下的球球不旋轉(zhuǎn)【答案】（2）（5）．【分析】根據(jù)平移的定義，對題中的條件進行一一分析，選出正確答案．解答：(1)擺動的鐘擺，不是沿直線運動，不屬于平移；(2)在筆直的公路上行駛的汽車沿直線運動，屬于平移；(3)隨風擺動的旗幟，形狀發(fā)生改變，不屬于平移；(4)投籃時運動的籃球方向不是沿直線運動，不屬于平移；(5) 從樓頂自由落下的球(球不旋轉(zhuǎn))沿直線運動，屬于平移． 故答案為(2) (5).【點撥】本題考查生活中的平移現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是看除了位置，其他是否發(fā)生變化是解題的關(guān)鍵.【變式2】 如圖，ABCD是一塊長方形場地，AB＝18米，AD＝11米，從A，B兩處入口的小路的寬都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為________平方米．【答案】160解：由圖可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一個新的矩形，且它的長為：（18﹣2）米，寬為（11﹣1）米．所以草坪的面積應該是長×寬=（18﹣2）（11﹣1）=160（米2）．故答案為：160．【點撥】本題考查了生活中的平移，根據(jù)圖形得出草坪正好可以拼成一個長方形是解題的關(guān)鍵．類型二、圖形的平移 2．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長．【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由見解析；（3）2．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，從而便可得到四邊形CEFB的面積；（2）由已知可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關(guān)系為垂直；（3）作BD⊥AC于D，結(jié)合三角形的面積求解．解：（1）由平移的性質(zhì)得AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC∴四邊形AFBC為平行四邊形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四邊形EFBC的面積為9；（2）BE⊥AF證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四邊形EFBA為菱形∴BE⊥AF；（3）如上圖，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD設(shè)BD=x，則AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=AC?BD=?2x?x=x2∴x2=3∵x為正數(shù)  ∴x=∴AC=2．【點撥】本題考查全等三角形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識知識是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】 如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度得到△A1B1C1（1）在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1；    （2）A1B1與AB的位置關(guān)系是________    （3）△A1B1C1的面積為________【答案】（1）見解析；（2）平行；（3）【分析】（1）將△ABC向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，畫出即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)：對應線段平行且相等，即可得出答案；（3）利用三角形的面積公式列式進行計算，即可得出答案．（1）解：將△ABC向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，如圖所示，則即為所求．（2）與是對應線段，根據(jù)平移的性質(zhì)可得：與的位置關(guān)系是平行，故答案為：平行；（3）的面積＝，故答案為：．【點撥】此題考查了作圖﹣平移、平移的性質(zhì)、三角形的面積計算，熟練掌握平移的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、利用平移的性質(zhì)求解 3．如圖,將沿方向向右平移得．若,．則__________．【答案】4【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB=DE,然后求出AD=BE,再求出AD的長即為平移的距離CF．解:∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF,
∴AB=DE,
∴AB-DB=DE-DB,
即AD=BE,
∵AE=11,DB=3,
∴AD=（AE-DB）=×（11-3）=4,
即平移的距離為4．
∴CF=AD=4,
故答案為：4【點撥】本題考查平移的基本性質(zhì):①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移,對應點所連的線段平行且相等,對應線段平行且相等,對應角相等．舉一反三：【變式1】 如圖，在直角三角形中，，，，將沿直線平移2.5個單位得到三角形，連接．有下列結(jié)論：①；②，；③；④．其中正確的結(jié)論有__________（填序號）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到AC∥DF，AB∥DE，AD∥CF，AD=CF=2.5，∠EDF=∠BAC=90°，則利用平行線的性質(zhì)得∠ABE=∠DEF，利用垂直的定義得DE⊥DF，于是根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷DE⊥AC． 解：∵將△ABC沿直線向右平移2.5個單位得到△DEF，∴AC∥DF，AB∥DE，AD∥CF，AD=CF=2.5，∠EDF=∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DEF，DE⊥DF，∴DE⊥AC，∴①②③④都正確．故答案為：①②③④.【點撥】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．【變式2】如圖，在中，，，將沿方向平移得到，且，．（1）求線段的長；（2）求四邊形的周長．【答案】(1)8；(2)31【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可以得到，然后可以算出AD的長； (2) 根據(jù)平移的性質(zhì)和已知條件得出四邊形的各邊邊長，即可算出四邊形的周長．解：（1）∵沿方向平移得到，∴．∵，，∴．∴．（2）∵沿方向平移得到，∴，．∴四邊形的周長．【點撥】本題考查平移的性質(zhì)和應用，熟練把握平移性質(zhì)并算出平移距離是解題關(guān)鍵．類型四、利用平移性質(zhì)解決實際問題 4．如圖，粗線①和細線②是泉州公交車從青少年宮A到僑鄉(xiāng)體育館B的兩條行駛路線．（1）判斷兩條線的長短：粗線①           細線②．（填“>”“<”或“=”）（2）小麗坐出租車由僑鄉(xiāng)體育館B到青少年宮A，假設(shè)出租車的收費標準為起步價8元，3千米以后按每千米1.2元計費，用代數(shù)式表示出租車行駛千米時的費用．（3）如果（2）中的這段路程長5千米，小麗身上的10元錢夠不夠小麗坐出租車由僑鄉(xiāng)體育館到青少年宮呢？請說明理由．【答案】（1）＝；（2）（1.2x+4.4）元；（3）小麗身上的錢不夠坐出租車由體育館到少年宮，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)收費=起步價8元+1.2×（行駛路程－3）列式整理即可；（3）把x=5代入（2）題的關(guān)系式計算，再用計算結(jié)果與10作比較即可．解：（1）如圖所示：∵BH+GF+DE=AC，HG+FE+DA=BC，∴粗線A→C→B和細線A→D→E→F→G→H→B的長相等；故答案為：＝；（2）根據(jù)題意得：出租車行駛x千米的費用=8+1.2(x﹣3)=（1.2x+4.4）元；（3）當x=5時，出租車行駛5千米的費用=1.2×5+4.4=10.4＞10，∴小麗身上的錢不夠坐出租車由體育館到少年宮．【點撥】本題考查了平移的性質(zhì)和列出實際問題中的代數(shù)式和代數(shù)式求值，屬于基本題型，熟練掌握平移的性質(zhì)是解（1）題的關(guān)鍵，弄清題意、正確列出代數(shù)式是解（2）題的的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】 如圖所示，某住宅小區(qū)內(nèi)有一塊長的長，寬方形形，想在長方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下的部分做綠化，道路的寬為米，求綠化的面積．【答案】綠化的面積為540m2【分析】把兩條”之”字路平移到長方形地塊ABCD的最上邊和最左邊，則余下部分EFCG是矩形，根據(jù)矩形的面積公式即可求出結(jié)果．解：如圖，把兩條”之”字路平移到長方形地塊ABCD的最上邊和最左邊，則余下部分EFGH是矩形．
∵CF=32-2=30（米），CG=20-2=18（米），
∴矩形EFCG的面積=30×18=540（平方米）．
答：綠化的面積為540m2．【點撥】本題主要考查了生活中平移現(xiàn)象，將長方形地塊內(nèi)部修筑的兩條”之”字路平移到長方形ABCD的最上邊和最左邊，使余下部分EFGH是一個矩形，是解決本題的關(guān)鍵．類型五、平移作圖 5.如圖所示，平移△ABC，使點A移動到點A′，畫出平移后的△A′B′C′．
 【分析】先連接AA′然后作AA′的平行線，利用平移性質(zhì)分別確定A、B、C平移后的對應點A′、B′、C′，然后再順次連接即可．解：如圖所示，
 （1）連接AA′，過點B作AA′的平行線，在上截取BB′＝AA′，則點B′就是點B的對應點．（2）用同樣的方法做出點C的對應點C′，連接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【點撥】本題主要考查了平移作圖，根據(jù)題意確定A、B、C平移后的對應點A′、B′、C′是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，將字母A按箭頭所指的方向平移，畫出平移后的圖形．【分析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出圖形即可．解：如圖所示，在字母A上找出關(guān)鍵的5個點分別過這5個點按箭頭所指的方向作5條長的線段，將所作線段的另5個端點按原來的方式連接，即可得到字母A平移后的圖形．【點撥】本題考查的是作圖-平移變換，作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應點也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：①確定平移的方向和距離，先確定一組對應點；②確定圖形中的關(guān)鍵點；③利用第一組對應點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應點；④按原圖形順序依次連接對應點，所得到的圖形即為平移后的圖形．熟知圖形平移的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，經(jīng)過平移，的頂點A移到了點D．（1）指出平移的方向和平移的距離；（2）畫出平移后的三角形．【答案】（1）平移的方向是點A到點D的方向，平移的距離是線段的長度；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知平移的方向和距離；（2）按照點到點的平移方向和距離，分別平行至，過點B，C分別作線段，使得它們與線段平行且相等，連接即可．解：（1）如圖，連接，平移的方向是點A到點D的方向，平移的距離是線段的長度．（2）如圖，過點B，C分別作線段，使得它們與線段平行且相等，連接，就是平移后的圖形．【點撥】本題考查了平移的性質(zhì)，平移作圖，理解平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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