?2021屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題


一、單選題
1．設(shè)全集，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用并集運(yùn)算即求得結(jié)果.
【詳解】
依題意，，
∴，故，
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
【答案】B
【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即得結(jié)果.
【詳解】
等差數(shù)列中，，故.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
3．在中，，，，則（ ）
A．9 B． C． D．8
【答案】D
【解析】由，得到，然后由正弦定理求解.
【詳解】
∵，故，
由正弦定理得，
所以，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．在三角形中，為的中點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)為的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，然后整理與，由系數(shù)相等求解.
【詳解】
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
所以，
又，
所以，，
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5．斐波那契(約1170~1250)是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列.后來人們?cè)谘芯克倪^程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實(shí)際生活中，很多花朵(如梅花，飛燕草，萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足，，設(shè)，則（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【解析】根據(jù)滿足，偶數(shù)項(xiàng)代換后，與下一項(xiàng)結(jié)合得到下一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，依次進(jìn)行下去，即得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，
則和式中，偶數(shù)項(xiàng)代換后，與下一項(xiàng)結(jié)合得到下一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，依次進(jìn)行下去，則，則.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，結(jié)合了數(shù)學(xué)文化中的斐波那契數(shù)列，屬于中檔題.
6．已知在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】采用補(bǔ)形法，將直三棱柱上方補(bǔ)一個(gè)三棱柱變?yōu)?，取的中點(diǎn)，由將異面直線轉(zhuǎn)化到同一三角形中，結(jié)合幾何關(guān)系與余弦定理即可求解
【詳解】
如圖所示，直三棱柱向上方補(bǔ)形為直三棱柱，其中，，分別為各棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，可知，異面直線與所成角即為與所成角.設(shè)，則，，，，故異面直線與所成角的余弦值為

故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查幾何體中異面直線夾角余弦值的求解，余弦定理的使用，補(bǔ)形法將異面直線轉(zhuǎn)化為共面直線是解題關(guān)鍵，屬于中檔題
7．已知函數(shù)滿足：，函數(shù)，若，則（ ）
A． B．0 C．0 D．4
【答案】B
【解析】由已知得出是奇函數(shù)，又是奇函數(shù)，根據(jù)奇偶性可得答案
【詳解】
由知，，
令，所以，所以是奇函數(shù)，
又是奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，解得，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的奇偶性，利用奇偶性求函數(shù)值的問題.
8．設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若圓與直線交于坐標(biāo)原點(diǎn)及另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】先設(shè)交點(diǎn)，通過直線方程和已知條件解得坐標(biāo)，再代入圓的方程得，即得離心率.
【詳解】
如圖所示，，設(shè)直線上點(diǎn)，，

則，即，得，
將代入圓，得，即，故.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線與圓的交點(diǎn)，以及雙曲線離心率，屬于中檔題.

二、多選題
9．在的展開式中，下列說法正確的有（ ）
A．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128
C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第五項(xiàng) D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
【答案】BCD
【解析】由二項(xiàng)展開式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.
【詳解】
對(duì)于A，令，可知展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，B正確；
對(duì)于C，易知展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，C正確；
對(duì)于D，展開式中含的項(xiàng)為，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】
本題考查二項(xiàng)展開式的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
10．對(duì)于函數(shù)，說法正確的有（ ）
A．對(duì)，都有
B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且互為倒數(shù)
C．，使得
D．對(duì)，，都有
【答案】BD
【解析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷A錯(cuò)，B對(duì)，結(jié)合對(duì)數(shù)圖像判斷C錯(cuò)，D對(duì)
【詳解】
，，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B中，，即或，互為倒數(shù)，故選項(xiàng)B正確；
由的圖像特征知，當(dāng)時(shí)，，則，同理可證當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
如圖，由于是上凸函數(shù)，故應(yīng)為點(diǎn)對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)，應(yīng)為點(diǎn)對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)，故，故選項(xiàng)D正確

故選:BD
【點(diǎn)睛】
本題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征，屬于基礎(chǔ)題
11．如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為反射坐標(biāo)系中，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的反射坐標(biāo)，記為.在的反射坐標(biāo)系中，，.則下列結(jié)論中，正確的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影為
【答案】AD
【解析】，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；由于在上的投影為，故D正確.
【詳解】
，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；
由于，故在上的投影為，故D正確。
故選：AD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查新定義，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算，考查向量的投影的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
12．若方程和的根分別為和，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，，和，分別是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和的單調(diào)性與取值情況，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可解決問題.
【詳解】
解：由題，，和，分別是和的兩個(gè)根，
即與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，且時(shí)，；
對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，；
故作出函數(shù)，的圖像如圖所示，
注意到：當(dāng)時(shí)，，
由圖可知，，，
從而，解得，
所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
又.
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查化歸轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.


三、填空題
13．若復(fù)數(shù)滿足，則______.
【答案】
【解析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合模長(zhǎng)定義求解即可
【詳解】
.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式的使用，屬于基礎(chǔ)題
14．已知，且，則______.
【答案】
【解析】先由二倍角公式，將原式化為，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】
由，得，
因?yàn)?，所以?br /> 從而，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查由三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，熟記二倍角公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.
15．?dāng)?shù)列滿足，，則的最小值是______
【答案】8
【解析】根據(jù)累加法求出，從而求出，再根據(jù)基本不等式即可求出最值．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴，
，
……
，
又∵，
上述個(gè)式子相加得，
，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．設(shè)函數(shù)，若存在的極值點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】根據(jù)題中條件，先求出，，，將問題轉(zhuǎn)化為：存在，使得，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意，令，，得，.
因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，
原問題可轉(zhuǎn)化為：存在，使得，
故只需，從而.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查由函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，涉及一元二次不等式的解法，屬于?？碱}型.

四、解答題
17．設(shè)是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為；是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，，，.
（1）求和；
（2）若，求正整數(shù)的值.
【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）由題設(shè)條件先求出公比，進(jìn)而求出和，再由與的關(guān)系求出；
（2）由（1）代換得，再化簡(jiǎn)解方程即可
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，，可得，
∴，∴.
∴.
又設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得；
由，可得，
∴，∴.
（2），
由有，
∴，解得或(舍)，
故的值為4.
【點(diǎn)睛】
本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的求解，前項(xiàng)和公式的求解，屬于中檔題
18．已知函數(shù)，將曲線向右平移個(gè)單位，得到的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（1）求；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先化簡(jiǎn)得，由題得到，即得解；
（2）根據(jù)的范圍逐步求出函數(shù)在上的值域.
【詳解】
（1）由題得，
將曲線向右平移個(gè)單位，得到.
由題得，，所以，.
因?yàn)?，所?
（2）由（1）知：，
因?yàn)?，所?
從而，
故在上的值域?yàn)?
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)圖象的變換和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的值域的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
19．2020年，全球爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，某校推遲2020年的春季線下開學(xué)，并采取了“停課不停學(xué)”的線上授課措施.為了解學(xué)生對(duì)線上課程的滿意程度，隨機(jī)抽取了該校的100名學(xué)生(男生與女生的人數(shù)之比為3：2)對(duì)線上課程進(jìn)行評(píng)價(jià)打分，若評(píng)分不低于80分視為滿意.其得分情況的頻率分布直方圖如圖所示，若根據(jù)頻率分布直方圖得到的評(píng)分不低于70分的頻率為0.85.

（1）估計(jì)100名學(xué)生對(duì)線上課程評(píng)分的平均值；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值為代表)
（2）結(jié)合頻率分布直方圖，請(qǐng)完成以下列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”；
態(tài)度
性別
滿意
不滿意
合計(jì)
男生



女生

10

合計(jì)


100

【答案】（1）平均值為；（2）列聯(lián)答案見解析，有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”.
【解析】（1）先由題中條件，求出，的值，再由頻率分布直方圖，根據(jù)組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均數(shù)；
（2）由題中先完善列聯(lián)表，再由計(jì)算公式，求出，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.
【詳解】
（1）由已知得，解得，
又，解得，
所以評(píng)分的平均值為.
（2）由題意可得，列聯(lián)表如下表：
態(tài)度
性別
滿意
不滿意
合計(jì)
男生
25
35
60
女生
30
10
40
合計(jì)
55
45
100
因此，
∴有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查完善列聯(lián)表，以及進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于常考題型.
20．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，.
（1）求角的大??；
（2）若在線段上，且，，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知和正弦定理可得答案；
（2）設(shè)，，，由余弦定理可解得x、y，再由面積公式可得答案.
【詳解】
（1）由題意及正弦定理得，所以，
又因?yàn)闉殇J角三角形，故.
（2）設(shè)，，，則，
由余弦定理有，.
兩式相加有.
在中，，
故或(舍)，所以，
故.
【點(diǎn)睛】
本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形問題.
21．，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，，是上一點(diǎn)，與軸垂直，且.
（1）求的方程；
（2）設(shè)，，，是橢圓上的四點(diǎn)，與相交于，且，求四邊形的面積的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）結(jié)合橢圓的定義以及已知條件求出，，轉(zhuǎn)化求解，得到橢圓方程．
（2）設(shè)直線的斜率為，，，，，則直線的方程為，聯(lián)立及得，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，結(jié)合直線斜率，求出，然后推出四邊形的面積，利用基本不等式求解最值即可．
【詳解】
解：（1）由于，則，，
又，得.
又，則，于是，故的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的斜率為，
，，則直線的方程為，
聯(lián)立及得，
所以，.
.
由于直線的斜率為，用代換上式中的可得.
∵，∴四邊形的面積為.
由，
所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).
當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形的面積，
綜上可得，四邊形面積的最小值為.
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．
22．已知函數(shù)，.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求；
（2）若，的極大值大于，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令求解.
（2）令，易得在上單增，由零點(diǎn)存在定理得到存在，使得，分析得到有唯一極大值，然后由的極大值大于，即，再將代入，轉(zhuǎn)化為證明即可.
【詳解】
（1），
由題，即，
解得或.
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，與題意不符，舍去.
所以.
（2）令，顯然在上單增，
而，，
∴存在，使得，
即，也即.
當(dāng)，，，；
當(dāng)，，，；
當(dāng)，，，；
所以在和上單增，在上單減.
所以有唯一極大值.
由題，
又由()得，即，
易知，在上單增，故有，
所以.
令，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單增，
故有.
所以得證.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)以及不等式證明問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題.

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