2022屆重慶市巴蜀中學(xué)高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考（八）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，利用交集和補集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，則或，因此，.故選：B.2．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由觀測的數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程可能為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)變量正相關(guān)排除AB，再利用線性回歸方程過點判斷CD即可.【詳解】因為變量x與y正相關(guān)，所以，故排除AB；又線性回歸方程過點，代入CD檢驗，可知C正確，D錯誤.故選：C3．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換可得出，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由題意可知，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，則.故選：B.4．已知O為坐標原點，直線上存在一點P，使得，則k的取值范圍為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得坐標原點到直線距離，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】點到直線的距離為，由題意得坐標原點到直線距離，，所以，解得所以k的取值范圍為.故選：C.5．如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則以下結(jié)論錯誤的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，寫出需要點的坐標，然后利用向量加法的坐標運算、向量的數(shù)量積坐標運算及向量的坐標運算即可求解.【詳解】由題意可知，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為正八邊形ABCDEFGH，所以作，則,因為，所以，所以，同理可得其余各點坐標， ，對于A ，，故A正確；對于B ，，故B正確；對于C，，，所以，故C正確；對于D ,，，，故D不正確.故選：D.6．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（　?。?/span>A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)變形得，進而轉(zhuǎn)化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.7．從編號分別為1、2、3、4、5、6、7的七個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球，則至少有兩個小球編號相鄰的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用組合數(shù)算出基本事件的總數(shù)，再用排異法求出任意兩個小球編號都不相鄰的事件的個數(shù)，進而得出至少有兩個小球編號相鄰的事件的個數(shù)，然后用古典概型的計算公式即可求解.【詳解】隨機取出三個小球共有種情況，任意兩個小球編號都不相鄰的基本事件有：共有10種，故所求概率為.故選：A.8．已知點，若曲線上存在點P滿，則下列選項一定正確的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義知，點在雙曲線的右支上，求得雙曲線的方程為和漸近線方程為，轉(zhuǎn)化為曲線與雙曲線相交，得到，即可求解.【詳解】由題意，點且，根據(jù)雙曲線的定義知，點在雙曲線的右支上，且，所以，所以雙曲線的方程為，其漸近線方程為，又點在曲線，即，即點在曲線，若曲線上存在點滿，即曲線與雙曲線相交，所以，即.故選：D.二、多選題9．設(shè)，β為兩個平面，下列選項中是“”的充分條件的是（　　）A．異面直線a，b滿足∥，∥B．α內(nèi)有兩條相交直線與平面β均無交點C．α，β與直線l都垂直D．α內(nèi)有無數(shù)個點到β的距離相等【答案】BC【分析】AD選項可舉出反例，BC選項可以通過，面面平行的判定及線面垂直的性質(zhì)進行證明.【詳解】A選項，如圖，直線BC為a，直線EF為b，平面ADHE為，平面CDHG為β，滿足∥，∥，而，β為相交平面，A錯誤；B選項，設(shè)α內(nèi)兩條相交直線為均與平面β無交點，即∥β，n∥β，又，且為相交直線，故α∥β，B正確；C選項，α，β與直線l都垂直，不妨設(shè)l與α內(nèi)有兩條相交直線均垂直，則在平面β內(nèi)存在相交直線與l都垂直，且m∥a，n∥b，因為α，所以m∥α，同理可知n∥α，由于為相交直線，故可知α∥β，C正確；D選項，α內(nèi)有無數(shù)個點到β的距離相等，這無數(shù)個點可能來自于同一條直線，此時不能推導(dǎo)出α∥β，D錯誤.故選：BC10．已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用湊角的方式，將角看成整體，但要注意角的范圍，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和差的余弦公式及解方程即可求解.【詳解】因為，，所以，故A正確；因為，所以所以，故B正確；，，由得，，解得；故C不正確；由得，，解得；，故D不正確.故選：AB.11．能被7整除，則整數(shù)a的值可以是（　?。?/span>A．4 B．6 C．11 D．13【答案】BD【分析】將化成，問題轉(zhuǎn)化為能被7整除，再利用二項式定理計算推理作答.【詳解】依題意，顯然能被7整除，因此能被7整除，當且僅當能被7整除，而，又能被7整除，從而得能被7整除，則整數(shù)a的值可以是6或13.故選：BD12．如圖甲，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，點M是AD上靠近A的四等分點. 現(xiàn)將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P，連接PB，如圖乙所示，則下列說法正確的是（       ）A．PB//平面EFMB．C．平面EFM與平面BFDE所成角的余弦值為D．點P到平面BFDE的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面平行的判定可判斷A，證明PD⊥平面PEF可判斷B，由∠MGD是二面角的平面角，利用余弦定理可判斷C，根據(jù)點P，M到面的距離的關(guān)系求解可判斷D.【詳解】如圖，連接BD與EF相交于G; PB//平面EFM，故A正確；由PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P知PD⊥平面PEF，平面PEF=P，故PD與PB不垂直，故B錯誤;平面EFM與平面BFDE所成角即為∠MGD，在△MGD中，，，由余弦定理得，故C正確；由知，作，則點到平面BFDE的距離等于點M到平面BFDE的距離的，又，故D正確.故選：ACD三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)，是共軛復(fù)數(shù)，且，則=___________.【答案】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，進而得出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出，再利用復(fù)數(shù)的摸公式即可求解.【詳解】設(shè),則，因為，所以即，解得，所以，所以.故答案為：.14．函數(shù)的值域為___________.【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出在上、在上函數(shù)值集合，再求并集作答.【詳解】依題意，在上單調(diào)遞減，則當時，，在上單調(diào)遞增，則當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：15．已知P為拋物線上任意一點，則點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和的最小值為___________.【答案】【分析】將點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離與點P到直線的距離之和，再借助拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，拋物線上的點P到y軸的距離等于它到準線距離減去1的差，由拋物線定義知，，令點P到直線的距離為，于是得點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和為，過P作于M，連PF，MF，過點F作于Q，交拋物線于點，如圖，顯然，，當點P與點不重合時，有：，則當點P是過焦點F作直線l的垂線與拋物線交點時，點P到y軸的距離與點P到直線的距離之和取得最小值，此最小值為.故答案為：16．設(shè)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)正項數(shù)列{}滿足），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為，且，則[]=___________.【答案】5【分析】由的關(guān)系可推出{}為等差數(shù)列，求出通項公式代入，利用放縮法及裂項相消法可求出的范圍，即可得解.【詳解】由可得，兩式相減得： ，化簡得，又由正項數(shù)列{}可知，，所以 ，又，解得所以{}是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，故，，，又，，, .故答案為：5四、解答題17．如圖，在中，點在線段上，且，.(1)若是正三角形，求的長；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得的長；（2）利用兩角差的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可求得的長，可得出的長，再利用三角形的面積公式及可求得結(jié)果.【詳解】(1)解：因為，，由余弦定理可得.(2)解：因為，則為銳角，則，則，由正弦定理得，則，因此，.18．美國職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA聯(lián)賽）分為常規(guī)賽和季后賽，常規(guī)賽共82場比賽，以全明星假期為界，分為前半賽季和后半賽季，東、西部排名前8的球隊進入季后賽，季后賽共四輪，最后一輪總決賽采用七場四勝制（“七場四勝制”是指在七場比賽中先勝四場者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是A隊在常規(guī)賽的前80場比賽中的比賽結(jié)果記錄表階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)前半賽季52254323后半賽季28151712 (1)根據(jù)表中信息完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關(guān)？ 勝場數(shù)負場數(shù)總計主場比賽   客場比賽   總計    (2)已知A隊與B隊在季后賽的總決賽中相遇，假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨立，A隊每場比賽獲勝的概率等于A隊常規(guī)賽前80場比賽獲勝的頻率，求總決賽五場結(jié)束的概率.附∶P（K2≥k0）0.1000.0500.025k02.7063.8415.024 【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)信息填寫列聯(lián)表，計算進行獨立性檢驗；（2）總決賽五場結(jié)束意味著前場中隊（或隊）勝3場敗1場，第五場隊（或隊）獲勝，再由概率公式計算即可.【詳解】(1)列聯(lián)表如下表所示： 勝場數(shù)負場數(shù)總計主場比賽35540客場比賽251540總計602080 故有95%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關(guān).(2)由題意可知，A隊常規(guī)賽前80場比賽獲勝的頻率，即A隊每場比賽獲勝的概率為總決賽五場結(jié)束意味著前場中隊（或隊）勝3場敗1場，第五場隊（或隊）獲勝.即總決賽五場結(jié)束的概率為.19．已知數(shù)列的首項，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）分析數(shù)列的單調(diào)性，確定的符號，由此可求得的最小值.【詳解】(1)解：因為，則，且，所以，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(2)解：由（1）知，，則.所以，，所以，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，，，，，，，故當時，；當時，.所以，的最小值為.20．如圖所示，在正三棱臺中，O為BC的中點，M為的中點，平面ABC與平面所成角的余弦值為.(1)證明：平面ABC⊥平面AOM；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）延長相交于點，則可得三棱錐為正三棱錐，可得延長也交于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可證得結(jié)論，（2）由（1）可知為平面與平面所成角，設(shè)，側(cè)棱為，然后在中利用余弦定理列方程可求出，從而可得正三棱錐為正四面體，過作垂直于平面，則為與平面所成角，然后計算即可【詳解】(1)延長相交于點，因為棱臺為正三棱臺，所以三棱錐為正三棱錐，所以延長也交于點，所以為等腰三角形，為的中點，所以，因為為正三角形，為的中點，所以，因為，所以平面，即平面，因為平面，所以平面ABC⊥平面AOM；(2)如圖，，所以為平面與平面所成角，即平面與平面所成角，設(shè)，側(cè)棱為，所以，，所以在中，，解得，所以正三棱錐為正四面體，所以與平面所成角，即為與平面所成角，即與平面所成角，過作垂直于平面，則為正的中心，連接，則為與平面所成角，因為，所以,所以，所以直線與平面所成角的正弦值為21．已知橢圓C∶經(jīng)過點P（，），O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為-.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若，求AOB面積的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過點P（，），得到，再利用點差法，根據(jù)直線l與直線OM的斜率乘積為-，得到 求解； （2）當軸時，易得，當直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，根據(jù)，得到k，t的關(guān)系，再求得和點O到直線AB的距離為d，由求解.【詳解】(1)解：因為橢圓經(jīng)過點P（，），所以，設(shè)，因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，所以，兩式相減得，因為線段AB的中點為M，且直線l與直線OM的斜率乘積為-，所以 ，解得，所以橢圓方程為：；(2)當軸時，點M在x軸上，且，由，得，所以，當直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為，由，消去y得，則，，由，得，因為，點O到直線AB的距離為，所以，，當且僅當，即時，等號成立，綜上 AOB面積的最大值是3.22．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求的極值；(2)（i）證明∶與有相同的零點；（ii）若恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】(1)的極小值為，無極大值；(2)（i）證明見解析，（ii）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可求解；（2）（i）首先利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)，的單調(diào)性，然后利用函數(shù)零點的存在性定理即可證明；（ii）先將不等式恒成立等價轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值即可，進而能夠求出整數(shù)a的最大值.【詳解】(1)由題意可知，，令，即，解得；當時，，所以在單調(diào)的遞增；當時，，所以在單調(diào)的遞減；當時，取得極小值為，無極大值；(2)（i）由知，所以在上單調(diào)遞增；由知，所以在上單調(diào)遞增；又，故必存在唯一使得，即有，故，所以與有相同的唯一零點；（ii）由，得恒成立，在恒成立，令，，則，由（i）知單調(diào)遞增且存在唯一零點；則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故；由（i）知；又，故進一步確定；故，即，解得，又；所以整數(shù)a的最大值為.【點睛】求解不等式問題的關(guān)鍵：適當變形，靈活轉(zhuǎn)化，結(jié)合題設(shè)條件，有時需要對不等式進行“除法”變形，從而分離參數(shù)，有時需要進行移項變形，可使不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，若分離參數(shù)，則直接構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解，若轉(zhuǎn)化為不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)加以求解. 

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