2021屆銀川一中、昆明一中強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合高三5月高考猜題卷數(shù)學(xué)（文）試題  一、單選題1．集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合,再求并集.【詳解】由可得 所以所以故選：B2．已知，則（    ）A．1 B． C．3 D．9【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)相等求得，然后由復(fù)數(shù)模的定義求得模．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，．故選：C．3．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．（清）陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方形邊長為，可求得陰影部分面積和正方形面積，根據(jù)幾何概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方形邊長為，則其面積，陰影部分面積，所求概率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型面積型的概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將所求式子化為，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可，涉及二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題型.5．函數(shù)的圖象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用排除法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)在處的函數(shù)值大小，可得結(jié)果.【詳解】由，則所以，即函數(shù)是偶函數(shù)故排除A，C，當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷大致圖象，針對這種題型常常從定義域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、值域、特殊值入手，考驗(yàn)分析問題的能力，屬中檔題.6．設(shè)直線：，與圓：交于，，且，則的值是（    ）A．10或－30 B．10 C．－30 D．10或30【答案】A【分析】根據(jù)得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】∵圓：的圓心為，半徑為，，由垂徑定理得，∴圓心到直線的距離為4.∴，解得或.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測得如下數(shù)據(jù)：(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，設(shè)．可得．于是可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為．則，．故選：C8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（    ）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點(diǎn)，可得.【詳解】依題意可得，設(shè)，由得，所以，，所以，，因?yàn)?/span>為拋物線上一點(diǎn)，所以，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.9．圓臺上?下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上?下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意先求出圓臺的高，再由圓臺的體積公式求解即可.【詳解】由題意球的半徑為5，圓臺的下底面的圓的半徑為5,即圓臺下底面為球的大圓.所以圓臺的下底面圓的圓心即為球心. 如圖,圓臺的高為 所以圓臺的體積為 故選：B10．在中，若，則（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】由正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式變形可得．【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理得，，因?yàn)?/span>，所以，所以，而B為三角形內(nèi)角，故．故選：A．11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且是的一個(gè)四等分點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是（    ）A． B． C． D．5【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)，且是的一個(gè)四等分點(diǎn)可知，，，，再利用雙曲線的定義可得，即，且，然后解出，則可解得離心率的值.【詳解】如圖所示，連接，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則，所以，得，又，且，所以，所以，即，故，即所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義運(yùn)用，焦點(diǎn)弦長的計(jì)算、離心率計(jì)算問題，難度一般，根據(jù)幾何條件得出，的關(guān)系即可.12．平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求函數(shù)最值即可.【詳解】根據(jù)題意，畫出的圖象如下所示：令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是單調(diào)遞增函數(shù)，且，關(guān)于在成立，在成立，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故.即的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)圖象求出交點(diǎn)坐標(biāo)，可得，是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，屬于中檔題.  二、填空題13．設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是______.【答案】【分析】由約束條件畫出可行域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃來求解最小值【詳解】由題意約束條件作出可行域，用陰影部分表示，如圖所示當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最小值最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃，解題步驟為：畫出可行域、改寫目標(biāo)函數(shù)、運(yùn)用幾何意義求出最值，注意在判定可行域時(shí)的方法．14．設(shè)在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，若 ，則__________【答案】【分析】把，作為基底，直接表示出，得到，再利用向量相等得到m，n的值即可求出.【詳解】由題意，，，，.故答案為：.15．如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】連接與底面圓周交于點(diǎn)，由對稱性可得，即為與所成角，求角的余弦值即可.【詳解】如圖所示：連接與底面圓周交于點(diǎn)，由對稱性可得四邊形為長方形，故，所以即為與所成角，由，底面直徑，，可得，，所以，即與所成角的余弦值為，故答案為：.16．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③在有四個(gè)零點(diǎn)；④的值域是；⑤的周期為.其中所有正確結(jié)論的編號是___________.【答案】②③⑤【分析】對于①，利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；對于②，由于，再利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性的方法判斷；對于③，由，直接解方程即可；對于④，，由于，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，從而可求出函數(shù)的值域；對于⑤. 由可判斷.【詳解】選項(xiàng)①. 因?yàn)?/span>，所以，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，①不正確；選項(xiàng)②. ，令，則，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②正確；選項(xiàng)③. 當(dāng)時(shí)，由，得，或，或，或，所以在有四個(gè)零點(diǎn)，③正確；選項(xiàng)④. ，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以④不正確.選項(xiàng)⑤. 所以是的周期，故⑤正確故答案為：②③⑤ 三、解答題17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等差中項(xiàng).（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到，根據(jù)是的等差中項(xiàng)，得到的值，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用等比數(shù)列的求和，得到，由恒成立，得到的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故，所以；所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，因?yàn)?/span>是的等差中項(xiàng)，所以，所以，解得；數(shù)列的通項(xiàng)公式為； （2）由（1）可知，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，因?yàn)?/span>恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，求等比數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，屬于簡單題.18．.如圖，在直三棱柱中，，為上的一點(diǎn)，，.（1）若，求證：平面（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，記上面一個(gè)幾何體的體積為，下面一個(gè)幾何體的體積為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，.可證，與平面垂直后可得結(jié)論；（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，上面的是四棱錐，求出四棱錐體積和三棱柱體積后可得．【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，.在直三棱柱中∵,∴，∵,∴，∴四邊形是平行四邊形，∴.由題意側(cè)棱平面，平面，∴，又正中，， ，平面，，∴平面，又∵.∴平面.（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，記上面一個(gè)幾何體的體積為，下面一個(gè)幾何體的體積為，正三棱柱的底面積，則體積.上面一個(gè)幾何體為四棱錐，底面，面積為，因?yàn)槠矫?/span>平面，過點(diǎn)作邊上的高線，如圖，則平面，故四棱錐的高等于.則，所以，∴．【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直，考查幾何體體積公式，掌握線面垂直的判定定理是解題基礎(chǔ)．本題考查了學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．3月底，我國新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外確診病例卻持續(xù)暴增，防疫物資供不應(yīng)求.某醫(yī)療器械廠開足馬力，日夜生產(chǎn)防疫所需物品.質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了50個(gè)零件進(jìn)行測量，根據(jù)所測量的零件質(zhì)量（單位：克），得到如圖的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01)；（2）若從這50個(gè)零件中質(zhì)量位于之外的零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)零件中恰好有1個(gè)是質(zhì)量在上的概率（3）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知這批零件有10000個(gè)，某采購商提出兩種收購方案：A．所有零件均以50元/百克收購；B．質(zhì)量位于的零件以40元/個(gè)收購，其他零件以30元/個(gè)收購.請你通過計(jì)算為該廠選擇收益最好的方案.【答案】（1）中位數(shù)為71.47；（2）；（3）該廠選擇方案B；答案見解析.【分析】（1）由直方圖中的數(shù)據(jù)，依次求得零件質(zhì)量位于、的頻率，從而判斷這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為x，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，解之即可；（2）由頻數(shù)樣本容量頻率可求得質(zhì)量位于和的零件個(gè)數(shù)，再利用組合數(shù)和古典概型即可得解；（3）先根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為71.5，再求得方案A的收益；然后計(jì)算質(zhì)量位于和之外的零件個(gè)數(shù)，計(jì)算出方案B的收益，取較大者即可.【詳解】（1）零件質(zhì)量位于的頻率為，零件質(zhì)量位于的頻率為，，這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為，則，解得，故這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)為71.47.（2）質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，故這兩個(gè)零件中恰好有1個(gè)是質(zhì)量在上的概率為.（3）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方案A：收益為元；質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，質(zhì)量位于之外的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，方案B：收益為元.，該廠選擇方案B.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖、古典概型，理解中位數(shù)、平均數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生對數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于中檔題.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在直線滿足題設(shè)條件,詳見解析【分析】（1）由已知列出關(guān)于，，的方程組，解得，，，寫出結(jié)果即可；（2）由已知可得，，．所以，因?yàn)?/span>，所以可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩根之和和兩根之積的表達(dá)式，再由垂心的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）由已知可得，解得，，，所以橢圓的方程為． （2）由已知可得，，∴.∵，∴可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得.設(shè)，則，∵.即∵即，∵∴或.由，得又時(shí)，直線過點(diǎn)，不合要求，∴，故存在直線滿足題設(shè)條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，以及垂心的定義應(yīng)用．意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．21．已知函數(shù)(其中，是自然對數(shù)的底數(shù)).（1）若在點(diǎn)處的切線方程為，求；（2）若，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，從而得出切線方程；（2）問題轉(zhuǎn)化為的圖象和直線恰好有2個(gè)交點(diǎn)，求，確定的單調(diào)性，得的取值范圍，從而可得的范圍．【詳解】（1），由題意可知，解得（2），問題等價(jià)于的圖象和直線恰好有2個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，所以的極大值即最大值為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的圖象和直線恰好有2個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)．解決函數(shù)零點(diǎn)問題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而只要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與取值范圍，即可得參數(shù)范圍．屬于中檔題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與軸交點(diǎn)記為，與曲線交于，兩點(diǎn)，求．【答案】（1）,；（2）1．【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．直線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．（2）直線與軸交點(diǎn)記為，即，轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)）與曲線交于，兩點(diǎn)，把直線的參數(shù)方程代入方程．得到，所以，，則：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．23．已知是正實(shí)數(shù)，且.（1）求的最小值；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】根據(jù)是正實(shí)數(shù)，且，可得，然后利用基本不等式求出的最小值即可；由柯西不等式可得，再結(jié)合，即可證明成立.【詳解】，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.又由，，時(shí)，等號成立，即的最小值為.由柯西不等式可得即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.又由，，時(shí)，等號成立.成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用綜合法證明不等式，基本不等式和柯西不等式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題. 

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