專題5.9 《相交線與平行線》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．   熟練掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2. 區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3. 了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過(guò)證明或舉反例判定命題的真假；4. 了解平移的概念及性質(zhì). 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表： 圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°要點(diǎn)詮釋：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線．⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語(yǔ)言記作： AB⊥CD，垂足為O.要點(diǎn)詮釋：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).     要點(diǎn)詮釋：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)二、平行線1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.要點(diǎn)詮釋：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長(zhǎng)度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長(zhǎng)度, 平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解 “垂線段”與 “距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量，它們之間不能等同.知識(shí)點(diǎn)三、命題及平移1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).2.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移．要點(diǎn)詮釋：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或共線）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.【典型例題】類型一、相交線 1.  a、b、c是平面上任意三條直線，交點(diǎn)可以有（　　）　 A．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) B． 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)　 C．1個(gè)或2個(gè) D． 都不對(duì)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三條直線兩兩平行，三條直線交于一點(diǎn)，兩條直線平行與第三條直線相交，三條直線兩兩相交不交于同一點(diǎn)，可得答案．【答案】B【解析】解：三條直線兩兩平行，沒(méi)有交點(diǎn)；三條直線交于一點(diǎn)，有一個(gè)交點(diǎn)；兩條直線平行與第三條直線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交不交于同一點(diǎn)，有三個(gè)交點(diǎn)，故選B.【總結(jié)升華】本題考查了相交線，分類討論是解題關(guān)鍵：①三條直線兩兩平行，②三條直線交于一點(diǎn)，③兩條直線平行與第三條直線相交，④三條直線兩兩相交不交于同一點(diǎn)，注意不要漏掉任何一種情況．舉一反三：【變式】如圖所示，已知∠AOD=∠BOC，請(qǐng)?jiān)趫D中找出∠BOC的補(bǔ)角,鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角.【答案】解：   因?yàn)?/span>∠BOC＋∠AOC=180o（平角定義）,       所以∠AOC是∠BOC的補(bǔ)角.       因?yàn)?/span>∠AOD＋∠BOD=180o（平角定義）,       ∠AOD=∠BOC（已知）,       所以∠BOC＋∠BOD=180o.   所以∠BOD是∠BOC的補(bǔ)角．所以∠BOC的補(bǔ)角有兩個(gè)：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的鄰補(bǔ)角只有一個(gè)∠AOC，且∠BOC沒(méi)有對(duì)頂角.2.  已知：如圖，直線a、b、c兩兩相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度數(shù).【答案與解析】解：根據(jù)對(duì)頂角相等,∴∠1＝∠2＝86°.又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°,又∠3與∠4對(duì)頂角，所以∠3=∠4＝43°.【總結(jié)升華】涉及到角的運(yùn)算時(shí)，充分利用已知條件和隱含條件（對(duì)頂角）是解題的關(guān)鍵．性質(zhì)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.類型二、平行線的性質(zhì)與判定3.如圖，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG嗎？并說(shuō)明理由.【答案與解析】解：平行，理由如下：因?yàn)?/span>∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），所以∠1=∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又因?yàn)?/span>∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，兩直線平行）.【總結(jié)升華】反復(fù)應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)，見(jiàn)到角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想到判斷直線是否平行，見(jiàn)到直線平行就應(yīng)先想到角相等或角互補(bǔ). 舉一反三：【變式】如圖，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠ACB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．       【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.∴AB∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.∴∠5＝∠3.又∠3=∠B,∴∠5＝∠B.∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.∴∠AED=∠ACB(兩直線平行,同位角相等).類型三、命題及平移4. 如圖所示，請(qǐng)你填寫一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：________，使AD∥BC．【思路點(diǎn)撥】欲證AD∥BC，結(jié)合圖形，故可按同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行來(lái)補(bǔ)充條件．【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.【解析】 解：本題答案不唯一，如：利用“同位角相等，兩直線平行”，可添加條件∠FAD＝∠FBC；利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可添加條件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，可添加條件∠ABC+∠BAD＝180°．【總結(jié)升華】這是一道開(kāi)放性試題，分清題設(shè)和結(jié)論：結(jié)論： AD∥BC，題設(shè)可根據(jù)平行線的判定方法，逐一尋找即可.舉一反三：【變式】 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>（1）在同一平面內(nèi)，a、b、c是直線，a∥b，b∥c，則a∥c（2）在同一平面內(nèi)，a、b、c是直線，a⊥b，b⊥c，則a⊥c（3）在同一平面內(nèi)，a、b、c是直線，a∥b，a⊥c，則b⊥c（4）在同一平面內(nèi)，a、b、c是直線，a⊥b，b⊥c，則a∥c．　 A．1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】C5.如圖(1)，線段AB經(jīng)過(guò)平移有一端點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C，畫出線段AB平移后的線段CD．    【思路點(diǎn)撥】連接AC或BC便得平移的方向和距離．【答案與解析】解：如圖(2)，線段CD有兩種情況：(1)當(dāng)點(diǎn)A平移到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方，因此下邊線段CD即為所求；(2)當(dāng)點(diǎn)B平移到點(diǎn)C時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方，上邊線段CD即為所求．【總結(jié)升華】平移是由平移的方向和距離決定的．本題中未指明哪一端點(diǎn)(A還是B)移動(dòng)到點(diǎn)C，故應(yīng)有兩種情況：即點(diǎn)A平移到點(diǎn)C或點(diǎn)B平移到點(diǎn)C．舉一反三：【變式】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．平移不改變圖形的形狀和大小B．平移中圖形上每個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的距離可以不同C．經(jīng)過(guò)平移，圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等D．經(jīng)過(guò)平移，圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段相等【答案】B類型四、實(shí)際應(yīng)用6.如圖，107國(guó)道上有一個(gè)出口M，想在附近公路旁建一個(gè)加油站，欲使通道最短，應(yīng)沿怎樣的線路施工？      【答案與解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥，垂足為N，欲使通道最短，應(yīng)沿線路MN施工.     【總結(jié)升華】靈活運(yùn)用垂線段最短的性質(zhì)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

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