課時分層作業(yè)(二十)　橢圓的幾何性質(zhì)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，且長軸長為12，離心率為，則橢圓的方程是(　　)A．＋＝1　　　 B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1D　[由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，∴b2＝62－22＝32，∵焦點在x軸上，∴橢圓的方程為＋＝1．]2．如圖所示，底面直徑為12 cm的圓柱被與底面成30°角的平面所截，截口是一個橢圓，則這個橢圓的離心率為(　　)A．   B．C．   D．A　[由題意得2a＝＝8(cm)，短軸長即2b為底面圓直徑12 cm，∴c＝＝2 cm，∴e＝＝．故選A．]3．已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為   (　　)A．9   B．1C．1或9   D．以上都不對C　[解得a＝5，b＝3，c＝4．∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝1．]4．若橢圓＋＝1(其中a＞b＞0)的離心率為，兩焦點分別為F1、F2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為(　　)A．＋＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1D　[由題意知2a＋2c＝16．又e＝＝，所以a＝5，c＝3，則b＝4，所以橢圓方程為：＋＝1．]5．已知F1、F2為橢圓＋＝1的左右焦點，M為橢圓上一點，若滿足△MF1F2內(nèi)切圓的周長等于3π的點M恰好有兩個，則a2＝(　　)A．20   B．25C．36   D．48B　[設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑等于r，則由題意可得：2πr＝3π，∴r＝，由橢圓的定義可得|MF1|＋|MF2|＝2a，又c2＝a2－b2＝a2－16，∴c＝，由滿足條件的點恰有兩個，知M是橢圓的短軸頂點．即|yM|＝4，S△MF1F2＝·2c·|yM|＝4．又△MF1F2的面積為(|MF1|＋|MF2|＋2c)·r＝(a＋c)·r＝(a＋)，由(a＋)＝4得a2＝25．]二、填空題6．如果方程＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是        ．＜m＜5　[由題意方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，可得m－4＞0,5－m＞0，并且m－4＞5－m，解得＜m＜5．]7．已知橢圓W：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，兩點A(0，0)、B(2,0)．若橢圓W上存在點C，使得△ABC為正三角形，則橢圓W方程為        ．＋＝1　[因為A(0,0)、B(2,0)，且△ABC為正三角形，所以根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得點C(1，)或(1，－)，又∵點C在橢圓W上，∴＋＝1，∴解得∴橢圓W的方程為＋＝1．]8．若橢圓＋＝1上一點到兩焦點的距離之和為m－3，則m的值為        ．9　[若橢圓的焦點在x軸上，有4＞m，則a＝2，由題意知，2a＝m－3＝4，∴m＝7，由4＞m知m＝7(舍去)；若焦點在y軸，有m＞4，則a＝，由2a＝m－3＝2，得m＝9或m＝1(舍去)．]三、解答題9．設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)長軸的兩個頂點分別為A、B，點C為橢圓上不同于A、B的任一點，若將△ABC的三個內(nèi)角記作A、B、C，且滿足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，求橢圓的離心率．[解]　因為3tan A＋3tan B＋tan C＝0可得＋＝，即＝，而在三角形中，sin Acos B＋cos Asin B＝sin (A＋B)≠0，所以上式可得3cos (A＋B)－cos Acos B＝0而cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，所以可得2cos Acos B＝3sin Asin B，即tan A·tan B＝，由題意可得A(－a,0)，B(a,0)，設(shè)C(x0，y0)，可得＋＝1，由雙曲線的對稱性設(shè)C在第一象限，如圖所示：在△ACD中，tan A＝，在△BDC中，tan B＝，所以tan A·tan B＝·＝＝＝，所以可得＝，所以離心率e＝＝＝＝．10．如圖，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B．(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．[解]　(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以a＝c，e＝＝．(2)由題意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．其中，c＝，設(shè)B(x，y)．由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B．將B點坐標(biāo)代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2．  ①又由·＝(－c，－b)·＝?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．   ②由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2．所以橢圓方程為＋＝1．11．已知橢圓＋＝1的離心率為e＝，則m的值為(　　)A．5   B．4C．或3   D．8C　[由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，易知m＞0且m≠5．①若0＜m＜5, 則a2＝5，b2＝m．由＝1－＝，得m＝3．②若m＞5，則a2＝m，b2＝5．由＝1－＝，得m＝．所以m的值為3或．]12．(多選題)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點F1、F2在y軸上，短軸長等于2，離心率為，過焦點F1作y軸的垂線交橢圓C于P、Q兩點，則下列說法正確的是(　　)A．橢圓C的方程為＋x2＝1B．橢圓C的方程為＋y2＝1C．|PQ|＝D．△PF2Q的周長為4ACD　[由已知得2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2解得a2＝3．∴橢圓方程為x2＋＝1，又|PQ|＝＝＝．△PF2Q的周長為4a＝4．]13．(一題兩空)如圖，已知F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2＋y2＝b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為        ．若a＝3，則圓面積為        ．　4π　[由題意知OQ垂直平分PF2．所以|PO|＝|OF2|＝c．又O為F1F2的中點，Q為PF2的中點，所以PF1∥OQ，∴PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|OQ|＝2b，∴|PF2|＝＝＝2．由橢圓的定義可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2b＋2，即a－b＝，兩邊平方整理可得3b2＝2ab，∴3b＝2a，∴9b2＝4a2，∴9(a2－c2)＝4a2，即5a2＝9c2，∴a＝3c，∴e＝＝． 由a＝3結(jié)合上述解法知，3b＝2a，∴b＝2，∴圓的半徑為2，S＝π×22＝4π．]14．已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合，若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝        ．12　[如圖令MN的中點為Q，易得|AN|＝2|QF1|，|BN|＝2|QF2|，∵Q在橢圓C上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12．]15．已知橢圓G：＋＝1(a>b>0)在y軸上的一個頂點為M，兩個焦點分別是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面積為．(1)求橢圓G的方程；(2)過橢圓G長軸上的點P(t,0)的直線l與圓O：x2＋y2＝1相切于點Q(Q與P不重合)，交橢圓G于A，B兩點．若|AQ|＝|BP|，求實數(shù)t的值．[解]　(1)由橢圓性質(zhì)，知|MF2|＝a，于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a．所以△MF1F2的面積S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，解得a＝2，b＝1．所以橢圓G的方程為＋y2＝1．(2)顯然，直線l與y軸不平行，可設(shè)其方程為y＝k(x－t)．由于直線l與圓O相切，則圓心O到l的距離d＝＝1，即k2t2＝k2＋1，　①聯(lián)立化簡得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝．設(shè)Q(x0，y0)，有解得x0＝．由已知可得，線段AB，PQ中點重合，即有x1＋x2＝t＋x0．因此＝t＋，化簡得k2＝，將其代入①式，可得t＝±．   

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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