第二章2.5.2　橢圓的幾何性質(zhì)A級 必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]下列與橢圓C:=1焦點(diǎn)相同的橢圓是(　　)A.=1 B.=1C.=1 D.=12.[探究點(diǎn)一]曲線=1與=1(0<k<9)的關(guān)系是(　　)A.有相等的焦距,相同的焦點(diǎn)B.有相等的焦距,不同的焦點(diǎn)C.有不等的焦距,不同的焦點(diǎn)D.以上都不對3.[探究點(diǎn)二]已知橢圓C:=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,b),且橢圓C的離心率為,則橢圓C的方程是(　　)A.=1 B.=1C.=1 D.=14.[探究點(diǎn)二](多選題)已知橢圓E:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,下列選項(xiàng)中給出的條件,能夠求出橢圓E標(biāo)準(zhǔn)方程的選項(xiàng)是(　　)A.△BF1F2是等腰直角三角形B.橢圓E的離心率為,短軸長為2C.△BF1F2是等邊三角形,且橢圓E的離心率為D.設(shè)橢圓E的焦距為4,點(diǎn)B在圓(x-c)2+y2=9上5.[探究點(diǎn)三]已知F1,F2是橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),△POF2為正三角形,則橢圓C的離心率為　　　　　. 6. [探究點(diǎn)四]2020年12月,“嫦娥五號”月球探測器首次實(shí)現(xiàn)從月球無人采樣返回,這標(biāo)志著中國航天又向前邁出一大步.我校航天社團(tuán)利用計(jì)算機(jī)模擬探測器某段飛行軌跡,如圖,探測器在環(huán)月橢圓軌道上運(yùn)動(dòng),月球的球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),探測器在近月點(diǎn)“制動(dòng)”后,進(jìn)入距離月球表面n千米的環(huán)月圓形軌道.已知兩軌道相切于近月點(diǎn),遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為m千米,月球半徑為r千米,則橢圓軌道的長軸長為　　　　　;離心率為　　　　　.  7.[探究點(diǎn)三·北師大版教材習(xí)題]根據(jù)下列條件,求橢圓的離心率:(1)焦距和短軸長相等;(2)長軸長是焦距的2倍;(3)焦距等于橢圓相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離;(4)經(jīng)過一個(gè)焦點(diǎn),且與長軸垂直的弦的弦長與焦距相等.            8.[探究點(diǎn)一、二]已知橢圓的方程為9x2+4y2=36.(1)求它的長軸長、短軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有多少個(gè)?試寫出其中的兩個(gè)橢圓方程.             9.[探究點(diǎn)二](1)求與橢圓=1有相同的焦點(diǎn),且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8,兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-6,0),(6,0),求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.           B級 關(guān)鍵能力提升練10.已知橢圓+y2=1,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為(　　)A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4]11.已知F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),過F2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若|AF1|∶|AB|∶|BF1|=3∶4∶5,則該橢圓的離心率為(　　)A. B.2- C. D.12.(多選題)設(shè)橢圓C:+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.|PF1|+|PF2|=2B.離心率e=C.△PF1F2面積的最大值為D.以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-=0相切13.設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與E交于P,Q兩點(diǎn).若△PF1F2為直角三角形,則E的離心率為(　　)A.-1 B. C. D.+114.已知F1,F2是橢圓C:=1(0<b<4)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,線段PF1與y軸交于點(diǎn)M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OM為△PF1F2的中位線,且|OM|=1,則|PF1|=　　　　　. 15.已知橢圓C:=1(a>b>0)的長半軸長為2.(1)若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(),求橢圓C的方程;(2)A為橢圓C的右頂點(diǎn),B(1,0),橢圓C上存在點(diǎn)P,使得,求橢圓C的離心率的取值范圍.            C級 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),∠F1PF2=60°.(1)求橢圓的離心率的取值范圍;(2)求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).          
2.5.2　橢圓的幾何性質(zhì)1.D　由題意得,橢圓C中,a2=9,b2=5,c2=a2-b2=4,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)和(-2,0).對于A選項(xiàng),橢圓焦點(diǎn)在y軸上,不滿足題意;對于B選項(xiàng),橢圓焦點(diǎn)在x軸上,a2=10,b2=5,c2=a2-b2=5,不滿足題意;對于C選項(xiàng),橢圓焦點(diǎn)在x軸上,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=5,不滿足題意;對于D選項(xiàng),橢圓焦點(diǎn)在x軸上,a2=10,b2=6,c2=a2-b2=4,滿足題意.故選D.2.B　曲線=1的焦距為2c=8,而曲線=1(0<k<9)表示的橢圓的焦距也是8,但焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不同.3.A　依題意可得解得故橢圓C的方程是=1.故選A.4.BD　對A,若△BF1F2是等腰直角三角形,可知c=b,沒具體數(shù)據(jù)得不出方程,故A錯(cuò)誤;對B,已知橢圓E的離心率為,短軸長為2,則,b=1,由a2=b2+c2,所以a2=,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1,故B正確;對C,△BF1F2是等邊三角形,且橢圓E的離心率為,所以2c=a,b=c,數(shù)據(jù)不足,得不到結(jié)果,故C錯(cuò)誤;對D,設(shè)橢圓E的焦距為4,點(diǎn)B在圓(x-c)2+y2=9上,所以c=2,b2=5,由a2=b2+c2,所以a2=9,所以橢圓方程為=1,故D正確.故選BD.5.-1　如圖,因?yàn)?/span>△POF2為正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,所以△F1PF2是直角三角形.因?yàn)?/span>∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,所以|PF1|=c.因?yàn)?/span>|PF2|+|PF1|=2a,所以c+c=2a,即-1,所以e=-1.6.m+n+2r　　設(shè)橢圓形軌道的長半軸長為a,焦半徑為c,由題意可得,長軸長2a=m+n+2r,且,即,1+=1+,∴e=.7.解(1)2c=2b,所以b=c,a=c,所以e=.(2)2a=2·2c,a=2c,所以e=.(3)2c=,所以5c2=2a2,所以,所以e=.(4)2·=2c,所以b2=ac=a2-c2,所以a2-ac-c2=0,所以e2+e-1=0,所以e=.8.解(1)由9x2+4y2=36?=1,即a=3,b=2?c=,所以該橢圓的長軸長為2a=6,短軸長為2b=4,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),(0,-).(2)由(1)可知,該橢圓的焦點(diǎn)在縱軸,且c=.設(shè)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a'>b'>0),所以有a'2-b'2=5(a'>b'>0),該方程有無窮多組實(shí)數(shù)解.當(dāng)a'2=6時(shí),b'2=1,所以橢圓方程為+x2=1,當(dāng)a'2=7時(shí),b'2=2,所以橢圓方程為=1,所以與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有無窮多個(gè),其中的兩個(gè)橢圓方程為+x2=1和=1(答案不唯一).9.解(1)∵c=,∴所求橢圓的焦點(diǎn)為(-,0),(,0).設(shè)所求橢圓的方程為=1(a>b>0).∵e=,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求橢圓的方程為=1.(2)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0),∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴橢圓的方程為=1.10.D　根據(jù)橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=4,設(shè)m=|PF1|,n=|PF2|,則m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-,2+],則∈[1,4].11. D　如圖所示,設(shè)|AF1|=3t,則|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°. 由橢圓定義可得|AF1|+|AB|+|BF1|=12t=4a,所以t=,所以|AF1|=3t=a,所以|AF2|=2a-|AF1|=a,所以△AF1F2為等腰直角三角形,可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以2a2=4c2,所以該橢圓的離心率為e=.故選D.12.AD　對于A,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正確;對于B,由橢圓方程知a=,b=1,c=1,所以離心率e=,故B錯(cuò)誤;對于C,|F1F2|=2c=2,當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí),△PF1F2的面積取得最大值,最大值為·2cb=cb=1,故C錯(cuò)誤;對于D,以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為c=1,圓心到直線x+y-=0的距離為=1,即圓心到直線的距離等于半徑,所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x+y-=0相切,故D正確.故選AD.13.A　不妨設(shè)橢圓E的方程為=1(a>b>0),如圖所示.∵△PF1F2為直角三角形,∴PF1⊥F1F2.又|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=2c,∴|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,∴橢圓E的離心率e=-1.14. 6　如圖所示,因?yàn)?/span>OM為△PF1F2的中位線,且|OM|=1,所以|PF2|=2, 由橢圓定義可得|PF1|=2a-|PF2|=2×4-2=6.15.解(1)由題意可得a=2.又橢圓C過(),∴=1,解得b2=1,故橢圓C的方程為+y2=1.(2)由(1)知A(2,0).設(shè)P(x,y),則=1. ①由,則|PA|2=2|PB|2,∴(x-2)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2=2. ②聯(lián)立①②,解得y2=.由-b≤y≤b,即0≤y2≤b2,故0≤≤b2,解得0<b2≤2,于是0<,即≤1-<1,即<1,即≤e<1,故橢圓C的離心率的取值范圍是[,1).16.(1)解不妨設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),由余弦定理得cos60°==,所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=.又因?yàn)?/span>|PF1|·|PF2|≤=a2,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí),等號成立.所以3a2≥4(a2-c2),所以,所以e≥.又因?yàn)闄E圓中0<e<1,所以所求橢圓的離心率的取值范圍是.(2)證明由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2,|PF1|·|PF2|sin 60°=b2×b2.所以△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)

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