4.2.5　正態(tài)分布學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1．了解二項分布與正態(tài)曲線的關系，能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的性質．(重點)2．掌握正態(tài)分布的定義，會利用正態(tài)分布解決實際問題．(重點)3．了解正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的轉換，能利用標準正態(tài)分布表求得標準正態(tài)分布在某一區(qū)間內取值的概率．(難點)1．通過學習正態(tài)分布和標準正態(tài)分布，體會數(shù)學抽象與直觀想象的素養(yǎng)．2．借助正態(tài)分布中的“3σ原則”解題及標準正態(tài)分布函數(shù)φ(x)的函數(shù)值計算正態(tài)分布X～N(μ，σ2)在某一區(qū)間內取值的概率，提升數(shù)學運算的素養(yǎng).情境導學小概率事件是指發(fā)生的概率小于3%的事件．對于這類事件來說，在大量重復試驗中，平均每試驗大約33次，才發(fā)生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．某廠生產的圓柱形零件的外徑尺寸(單位：cm)X～N(4,0.25)．質檢人員從該廠生產的1 000件零件中隨機抽查一件，測得它的外徑為5.7 cm，試問該廠生產的這批零件是否合格？1．正態(tài)曲線及其性質(1)正態(tài)曲線的定義一般地，函數(shù)φμ，σ(x)＝e對應的圖像稱為正態(tài)曲線，其中μ＝E(X)，σ＝.(2)正態(tài)曲線的性質①正態(tài)曲線關于x＝μ對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”．2．正態(tài)分布(1)一般地，如果隨機變量X落在區(qū)間[a，b]內的概率，總是等于φμ，σ(x)對應的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時φμ，σ(x)稱為X的概率密度函數(shù)．(2)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%.P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)與P(x≥μ)之間存在怎樣的等量關系？[提示]　P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝.3．標準正態(tài)分布(1)定義：μ＝0且σ＝1的分布稱為標準正態(tài)分布，記作X～N(0,1)．(2)概率計算方法：如果X～N(0,1)，那么對于任意a，通常記Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)對應的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)內所圍的面積．特別地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.思考2：正態(tài)分布Y～N(μ，σ2)化為標準正態(tài)分布的變換是什么？[提示]　借助X＝實現(xiàn)轉換．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線．  (　　)(2)正態(tài)曲線可以關于y軸對稱．  (　　)(3)正態(tài)曲線與x軸圍成的面積隨參數(shù)μ，σ的變化而變化． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝e－，x∈R，其中μ＞0的圖像是下圖中的(　　)A　　　　　　BC　　　　　　DD　[因為正態(tài)曲線函數(shù)f(x)關于直線x＝μ對稱，又μ＞0，故選D.]3．(一題兩空)如圖是三個正態(tài)分布X～N(0,0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量中X，Y對應曲線分別是圖中的________、________.①　②　[在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”．]4．若隨機變量X～N(0,1)，則P(x＜0)＝________.　[由標準正態(tài)曲線關于y軸對稱可知P(x＜0)＝.]合作探究 利用正態(tài)分布的對稱性求概率【例1】　設X～N(10,1)．(1)求證：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．[解]　(1)證明：∵X～N(10,1)，∴正態(tài)曲線φμ，σ(x)關于直線x＝10對稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關于直線x＝10對稱，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，μ＝10，∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，∴2a＋2P(10<X<18)＝1，即P(10<X<18)＝＝－a.充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質求解.?1?熟記正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.?2?P?X<a?＝1－P?X≥a?；, P?X<μ－a?＝P?X>μ＋a?.1．(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2<ξ<2)＝(　　)A．0.477　　　　 B．0.625C．0.954　 D．0.977(2)設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，則P(ξ>4－c)等于(　　)A．a　　 B．1－aC．2a　  D．1－2a(1)C　(2)B　[(1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.(2)對稱軸x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.]“3σ原則”的應用【例2】　某廠生產的產品，質量要求服從正態(tài)分布N(100,4)，現(xiàn)從產品中抽取了10件，測得質量分別為102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，則該生產線是否要停產檢修？[思路點撥]　由題意可知產品質量服從正態(tài)分布，又由于質量在區(qū)間[100－2,100＋2]，即[98,102]內的概率為68.3%，在區(qū)間[96,104]內的概率為95.4%，在區(qū)間[94,106]內的概率為99.7%，所以據(jù)此可以判斷結論．[解]　由題意知產品質量X服從正態(tài)分布N(100,22)，產品質量在區(qū)間[100－3×2,100＋3×2]，即[94,106]內的概率為99.7%，而在這個區(qū)間外的概率僅為0.3%，在抽測的10件產品中有2件(分別是92,108)不在這個區(qū)間內，小概率事件竟然發(fā)生了，說明生產線有問題，故應停產檢修．假設檢驗是就正態(tài)總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統(tǒng)計假設，統(tǒng)計假設里的變量服從正態(tài)分布N?μ，σ2?.②確定一次試驗中的取值a是否落入?yún)^(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內.③作出判斷：如果a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，則接受統(tǒng)計假設.如果a?[μ－3σ，μ＋3σ]，則拒絕統(tǒng)計假設.2．設X～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)；(3)P(X>5)．[解]　因為X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.(2)因為P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，所以P(3≤X≤5)＝[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]＝[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(95.4%－68.3%)＝13.55%.(3)P(X>5)＝P(X＜－3)＝[1－P(－3≤X≤5)]＝[1－P(1－4≤X≤1＋4)]≈2.3%.標準正態(tài)分布及其應用[探究問題]1．若隨機變量ξ～N(0,1)，且Φ(a)＝m，則Φ(－a)等于多少？[提示]　由Φ(a)＋Φ(－a)＝1，得Φ(－a)＝1－Φ(a)＝1－m.2．如果Y～N(μ，σ2)，令X＝，試證明X～N(0,1)．[提示]　∵E(X)＝＝＝＝0，D(X)＝＝＝＝1，∴X＝～N(0,1)．【例3】　在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N(70,100)．已知成績在90分以上(含90分)的學生有12名．(1)試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？(2)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數(shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標準正態(tài)分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)x001234567891.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93161.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857[思路點撥]　(1)先求出90分以上(含90分)的學生所占的百分比，再計算參賽學生的總數(shù)A；(2)利用P(ξ≥x)＝，結合P(ξ＜x)＝Φ求解．[解]　(1)設參賽學生的分數(shù)為ξ，因為ξ～N(70,100)，所以～N(0,1)．由條件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ＜90)＝1－Φ＝1－Φ(2)＝1－0.977 2＝0.022 8.這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，∴參賽總人數(shù)約為≈526(人)．(2)假定設獎的分數(shù)線為x分，則X～N(70,100)，故～N(0,1)．又P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x)＝1－Φ＝≈0.095 1.即Φ≈0.904 9，查表得≈1.31，解得x＝83.1.故設獎的分數(shù)線約為83分．1．任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布．即：如果X～N(μ，σ2)，則Z＝～N(0,1)．2．Φ(a)＝P(x＜a)即標準正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)上的概率，解題時要熟記該要點．3．已知某地農村務工人員年平均收入服從μ＝8 000，σ＝500的正態(tài)分布．(1)求此地農村務工人員年平均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的百分比；(2)如果要使此地農村務工人員年平均收入在(μ－a，μ＋a)內的概率不少于0.95，則a至少有多大？[解]　設X表示此地農村務工人員年平均收入，則X～N(8 000,5002)．(1)P(8 000＜X＜8 500)＝Φ－Φ＝Φ(1)－Φ(0)＝0.841 3－0.5＝0.341 3.即此地農村務工人員年平均收入在8 000～8 500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.13%.(2)∵P(μ－a＜X＜μ＋a)＝Φ－Φ＝2Φ－1≥0.95，∴Φ≥0.975，查表得≥1.96.∴a≥980，即a的值至少為980.課堂小結1．熟記P(μ－σ≤x≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)的值；2．借助正態(tài)曲線的對稱性及與x軸之間的面積為1兩個特點；3．借助線性變換使一般正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布，然后查表求得．變換方式為：Z＝～N(0,1)，其中X～N(μ，σ2)．1．設兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有(　　)A．μ1<μ2，σ1<σ2　 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2A　[根據(jù)正態(tài)分布的性質：對稱軸方程x＝μ，σ表示正態(tài)曲線的形狀．由題圖可得，選A.]2．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)(　　)A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2C　[∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對稱軸是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.]3．某種零件的尺寸X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(3,1)，則不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的________．4.6%　[屬于區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)，即區(qū)間(1,5)的取值概率約為95.4%，故不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)1－95.4%＝4.6%.]4．設隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布N(0,1)，在某項測量中，已知ξ在(－∞，－1.96]內取值的概率為0.025，則P(|ξ|＜1.96)＝________.0.95　[法一：∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.法二：因為曲線的對稱軸是直線x＝0，所以由圖知P(ξ＞1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|＜1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.]5．設隨機變量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．[解]　(1)由X～N(2,9)可知，密度函數(shù)關于直線x＝2對稱(如圖所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)≈95.4%.

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高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2.5 正態(tài)分布

版本： 人教B版 (2019)

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