4.3.2　獨立性檢驗學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義．(重點)2．通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．(難點)1．通過2×2列聯(lián)表統(tǒng)計意義的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助χ2計算公式進(jìn)行獨立性檢驗，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)一則“雙黃連口服液可抑制新冠病毒”消息熱傳后，引起部分市民搶購．人民日報官微稱，抑制不等于預(yù)防和治療，勿自行服用．上海專家稱是否有效還在研究中．問題：如何判斷其有效？如何收集數(shù)據(jù)？收集哪些數(shù)據(jù)？1．2×2列聯(lián)表(1)定義：如果隨機事件A與B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形式． A總計Baba＋bcdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d因為這個表格中，核心數(shù)據(jù)是中間4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．(2)χ2計算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.2．獨立性檢驗任意給定一個α(稱為顯著性水平，通常取為0.05,0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對應(yīng)的分位數(shù))，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．若χ2＜k成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨立性檢驗．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．  (　　)(2)事件A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響．  (　　)(3)應(yīng)用獨立性檢驗對兩個變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的．  (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．下列選項中，哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系”(　　)A．χ2＝2.700　　 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014D　[∵5.014>3.841，故D正確．]3．若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2＝4.013，那么在犯錯誤的概率不超過__________的前提下認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系．5%　[查閱χ2表知有95%的把握認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系，故在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系．]4．(一題兩空)下面是2×2列聯(lián)表． y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a＝________，b＝________.52　54　[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]合作探究 由χ2進(jìn)行獨立性檢驗【例1】　在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用.  未感冒感冒合計使用血清258242500未使用血清216284500 合計4745261 000[思路點撥]　獨立性檢驗可以通過2×2列聯(lián)表計算χ2的值，然后和臨界值對照作出判斷．[解]　假設(shè)感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝≈7.075.χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．獨立性檢驗的具體做法1．根據(jù)實際問題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k.2．利用公式χ2＝計算隨機變量χ2.3．如果χ2≥k推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．1．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下： 患胃病未患胃病合計生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計80460540根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)？[解]　由公式得χ2＝≈9.638.∵9.638>6.635，∴有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃?。?/span>獨立性檢驗的綜合應(yīng)用[探究問題]1．利用χ2進(jìn)行獨立性檢驗，估計值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？[提示]　利用χ2進(jìn)行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本容量n越大，這個估計值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨立性檢驗的結(jié)果就不具有可靠性．2．在χ2運算后，得到χ2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時，P(χ2≥6.635)＝0.01和P(χ2≥7.879)＝0.005，哪種說法是正確的？[提示]　兩種說法均正確．P(χ2≥6.635)＝0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含義是在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān)．【例2】　為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表： 喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生 6 女生10  合計  48已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程)；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值．[思路點撥]　(1)由古典概型的概率求得2×2列聯(lián)表．(2)計算χ2，判斷P(x2＞3.841)＝0.05是否成立．(3)結(jié)合超幾何分布求解．[解]　(1)列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生22628女生101020合計321648(2)由χ2＝≈4.286.因為4.286>3.841，所以，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2.其概率分別為P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的分布列為X012PX的均值為E(X)＝0＋＋＝1.1．檢驗兩個變量是否相互獨立，主要依據(jù)是計算χ2的值，再利用該值與分位數(shù)k進(jìn)行比較作出判斷．2．χ2計算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細(xì)心．3．統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來推測全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)．因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關(guān)系，而不是因果關(guān)系．2．某中學(xué)對高二甲、乙兩個同類班級進(jìn)行“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練，對提高‘數(shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率的作用”的試驗，其中甲班為試驗班(加強語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對比班(常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練)，在試驗前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗結(jié)束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績(均取整數(shù))如下表所示： 60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人數(shù))31161218乙班(人數(shù))78101015現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分析估計兩個班級的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為加強“語文閱讀理解”訓(xùn)練對提高“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”得分率有幫助？ 優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班   乙班   合計   參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝.P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828[解]　(1)由題意知，甲、乙兩班均有學(xué)生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%.(2) 優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班302050乙班252550合計5545100因為χ2＝≈1.010<3.841，所以由參考數(shù)據(jù)知，沒有95%的把握認(rèn)為加強“語文閱讀理解”訓(xùn)練對提高“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”得分率有幫助．課堂小結(jié)1．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，該公式較準(zhǔn)確的刻畫了兩個變量相關(guān)性的可靠程度．2．χ2越大說明“兩個變量之間有關(guān)系”的可能性越大，反之越?。?/span>1．利用獨立性檢驗來考查兩個變量A，B是否有關(guān)系，當(dāng)隨機變量χ2的值(　　)A．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大B．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越小C．越小，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大D．與“A與B有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)A　[用獨立性檢驗來考查兩個分類是否有關(guān)系時，算出的隨機變量χ2的值越大，說明“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大，由此可知A正確．故選A.]2．通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表： 男女合計愛好402060不愛好203050合計6050110經(jīng)計算得χ2＝≈7.8.則正確結(jié)論是(　　)A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C　[根據(jù)獨立性檢驗的思想方法，正確選項為C.]3．在一個2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計算得χ2＝13.097，認(rèn)為“兩個變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過________．0.001　[如果χ2>10.828時，認(rèn)為“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過0.001.]4．某大學(xué)在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該收集的數(shù)據(jù)是______________________________．男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)　[由研究的問題可知，需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)．]5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù)． 總成績好總成績不好總計數(shù)學(xué)成績好478a490數(shù)學(xué)成績不好39924423總計bc913(1)計算a，b，c的值；(2)文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系嗎？[解]　(1)由478＋a＝490，得a＝12.由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.(2) χ2＝≈6.233>3.841，因為P(χ2≥3.841)＝0.05，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.3.2 獨立性檢驗

版本： 人教B版 (2019)

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