高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第二冊(cè)3.1.2 排列與排列數(shù)第1課時(shí)教案設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

3.1.2　排列與排列數(shù)第1課時(shí)　排列與排列數(shù)學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解排列的概念，能正確寫(xiě)出一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列．(重點(diǎn))2．會(huì)用排列數(shù)公式進(jìn)行求值和證明．(難點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)排列的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)教師節(jié)當(dāng)天，市委領(lǐng)導(dǎo)到學(xué)?？疾欤?tīng)完一節(jié)課后與老師們座談，有12位教師參加，面對(duì)市委領(lǐng)導(dǎo)坐成一排．問(wèn)題：這12位老師的坐法共有多少種？1．排列的概念(1)一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m(m≤n)個(gè)對(duì)象，按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列．(2)特別地，m＝n時(shí)的排列(即取出所有對(duì)象的排列)稱(chēng)為全排列．思考：兩個(gè)排列相同的條件是什么？[提示]　兩個(gè)排列相同則應(yīng)具備排列的對(duì)象及排列的順序均相同．2．排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)的定義從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)排列數(shù)的表示A(n，m∈N，m≤n)排列數(shù)公式乘積式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)階乘式A＝階乘A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！規(guī)定0?。?/span>1，A＝1性質(zhì)A＋mA＝A拓展：排列與排列數(shù)的區(qū)別“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，“排列”是指“從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象，按照一定的順序排成一列，它不是數(shù)，而是具體的一件事；而“排列數(shù)”是上述完成這件事所有不同的排列個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)a，b，c與b，a，c是同一個(gè)排列． (　　)(2)從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列． (　　)(3)同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)． (　　)(4)在同一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．89×90×91×92×…×100可表示為(　　)A．A　　　　 B．AC．A D．AC　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.]3．甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有(　　)A．3種　　　 B．4種C．6種　　　 D．12種C　[由排列的定義可知，共有A＝3×2×1＝6種排列方法．]4．(教材P14A組T2改編)＝________.　[＝＝.]合作探究排列的概念【例1】　判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題．(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．[思路點(diǎn)撥]　判斷是否為排列問(wèn)題關(guān)鍵是選出的元素在被安排時(shí)，是否與順序有關(guān)．若與順序有關(guān)，就是排列問(wèn)題，否則就不是排列問(wèn)題．[解]　(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題．(2)植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(3)(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題．(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．(6)A給B寫(xiě)信與B給A寫(xiě)信是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．所以在上述各題中，(2)(5)(6)屬于排列問(wèn)題．1．解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是“取出元素不重復(fù)”，二是“與順序有關(guān)”．2．判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題，就看取出元素后排列是有序的還是無(wú)序的，而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問(wèn)題，無(wú)變化就不是排列問(wèn)題．1．判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題．(1)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場(chǎng)有四個(gè)大門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)去，購(gòu)買(mǎi)物品后再?gòu)牧硪粋€(gè)門(mén)出來(lái)，不同的出入方式共有多少種？[解]　(1)由于取出的兩數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一個(gè)數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一個(gè)數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題．(2)因?yàn)閺?/span>10名同學(xué)中抽取兩人去學(xué)校開(kāi)座談會(huì)的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問(wèn)題．(3)因?yàn)閺囊婚T(mén)進(jìn)，從另一門(mén)出是有順序的，所以是排列問(wèn)題．綜上，(1)、(3)是排列問(wèn)題，(2)不是排列問(wèn)題．排列的列舉問(wèn)題【例2】　(教材P10例1改編)寫(xiě)出下列問(wèn)題的所有排列．(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)寫(xiě)出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列．[思路點(diǎn)撥]　(1)直接列舉數(shù)字．(2)先畫(huà)樹(shù)形圖，再結(jié)合樹(shù)形圖寫(xiě)出．[解]　(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù)．(2)由題意作樹(shù)形圖，如圖．故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個(gè)．在排列個(gè)數(shù)不多的情況下，樹(shù)形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個(gè)元素，再按此元素分類(lèi)，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能不重不漏，然后按樹(shù)形圖寫(xiě)出排列.2．(1)北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有________種機(jī)票．(2)A，B，C，D四名同學(xué)排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________種不同的排列方法．(1)12　(2)14　[(1)列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示．故符合題意的機(jī)票種類(lèi)有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．(2)因?yàn)?/span>A不排第一，排第一位的情況有3類(lèi)(可從B，C，D中任選一人排)，而此時(shí)兼顧分析B的排法，列樹(shù)形圖如圖．所以符合題意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14種．]排列數(shù)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用[探究問(wèn)題]　1．排列數(shù)A中，n，m滿(mǎn)足什么條件？[提示]　n，m∈N且m≤n.2．等式A＝nA成立嗎？[提示]　∵A＝，A＝，∴A＝＝nAm－1n－1.【例3】　(1)計(jì)算：；(2)求3A＝4A中的x.[思路點(diǎn)撥]　(1)可直接運(yùn)算，也可采用階乘式；(2)借助階乘式求解，注意x的范圍．[解]　(1)法一：＝＝＝.法二：＝＝＝＝.(2)原方程3A＝4A可化為＝，即＝，化簡(jiǎn)，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由題意知解得x≤8.所以原方程的解為x＝6.1．排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫(xiě)成某個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．2．應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí)，一般寫(xiě)出它們的式子后，再提取公因式，然后計(jì)算，這樣往往會(huì)減少運(yùn)算量．3．(1)(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n＜55)用排列數(shù)可表示為________；(2)不等式A＞6A的解集為________．(1)A　(2){2,3,4,5,6,7}　[(1)由(69－n)－(55－n)＋1＝15可知，(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.(2)原不等式可化為＞，化簡(jiǎn)得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13.又得2≤x≤9且x∈N，∴原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}．]課堂小結(jié)1．判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的關(guān)鍵是看該問(wèn)題中的元素是否與順序有關(guān)，有關(guān)為排列問(wèn)題，否則，不是排列問(wèn)題．2．排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適合已知m的排列數(shù)計(jì)算，而A＝常用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等．求解時(shí)務(wù)必注意隱含條件：n，m∈N，m≤n.1．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問(wèn)題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問(wèn)題(　　)A．1 B．2　　　　C．3　 D．4B　[因?yàn)榧臃ê统朔M(mǎn)足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無(wú)關(guān)，故不是排列問(wèn)題．而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問(wèn)題．]2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)A．A B．AC．n?。?/span>4! D．AD　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3個(gè)因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.]3．5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有________種．120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120種．]4．A－6A＋5A＝________.120　[原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.]5．從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)中，每次取3個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，寫(xiě)出其中大于200的所有三位數(shù)．[解]　大于200的三位數(shù)的首位是2或3，所以共有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.

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