4.2　隨機(jī)變量4.2.1　隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．理解隨機(jī)變量的含義．(重點(diǎn))2．能寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的可能取值，并能解釋其意義．(難點(diǎn))3．會(huì)借助隨機(jī)變量間的關(guān)系解題．(易錯(cuò)點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)隨機(jī)變量，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助隨機(jī)變量間的關(guān)系解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)姚明每次罰球具有一定的隨機(jī)性，那么他三次罰球的得分結(jié)果可能是什么？(1)投進(jìn)零個(gè)球——0分；(2)投進(jìn)1個(gè)球——1分；(3)投進(jìn)2個(gè)球——2分；(4)投進(jìn)3個(gè)球——3分．1．隨機(jī)變量(1)定義：一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對(duì)于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對(duì)應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值，就稱X為一個(gè)隨機(jī)變量．(2)表示：用大寫(xiě)英文字母X，Y，Z，…或小寫(xiě)希臘字母ξ，η，ζ，…表示．(3)取值范圍：隨機(jī)變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個(gè)隨機(jī)變量的取值范圍．思考：隨機(jī)變量的取值由什么決定？[提示]　隨機(jī)變量的取值由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果決定．2．隨機(jī)變量與事件的聯(lián)系一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：(1)當(dāng)a≠b時(shí)，事件X＝a與X＝b互斥；(2)事件X≤a與X＞a相互對(duì)立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1.3．隨機(jī)變量的分類(1)離散型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量的所有可能取值都是可以一一列舉出來(lái)的，那么其是離散型隨機(jī)變量．(2)連續(xù)型隨機(jī)變量：與離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的是連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量的取值范圍包含一個(gè)區(qū)間．4．隨機(jī)變量之間的關(guān)系如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè)． (　　)(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．  (　　)(3)隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量． (　　)(4)在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)隨機(jī)變量，它有6個(gè)取值．  (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√2．下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是(　　)A．到2020年10月1日止，我國(guó)發(fā)射的衛(wèi)星B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．某人在車站等出租車的時(shí)間D．某人投籃10次，可能投中的次數(shù)D　[離散型隨機(jī)變量的取值是可以一一列舉的，結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．]3．如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)且a≠0，那么Y(　　)A．不一定是隨機(jī)變量B．一定是隨機(jī)變量，不一定是離散型隨機(jī)變量C．可能是定值D．一定是離散型隨機(jī)變量D　[由于X是離散型隨機(jī)變量且Y＝aX＋b，故Y與X成線性關(guān)系，所以Y一定是離散型隨機(jī)變量．]4．(教材P65練習(xí)BT3改編)若P(X≤1)＝0.7，則P(X＞1)＝________.0.3　[∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1，∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3.]合作探究 隨機(jī)變量的判斷【例1】　判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．(1)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度；(2)王老師在某天內(nèi)接電話的次數(shù)；(3)在一次繪畫(huà)作品評(píng)比中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，你的一件作品獲得的獎(jiǎng)次；(4)體積為64 cm3的正方體的棱長(zhǎng)．[解]　(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度是100 ℃，是常量，故不是隨機(jī)變量；(2)王老師在某天內(nèi)接電話的次數(shù)是不確定的，因此是隨機(jī)變量；(3)作品獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)次的可能性不確定，可能是一，二或三，因此是隨機(jī)變量；(4)體積是64 cm3的正方體的棱長(zhǎng)是4 cm，因此不是隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的辨析方法1．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同．2．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量．1．指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由．(1)某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X；(2)某超市5月份每天的銷售額；(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；(4)江西九江市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測(cè)水位ξ.[解]　(1)車輛數(shù)X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機(jī)變量．(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機(jī)變量．(3)實(shí)際測(cè)量值與規(guī)定值之間的差值無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量．(4)不是離散型隨機(jī)變量，水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉．隨機(jī)變量的取值范圍及其應(yīng)用【例2】　寫(xiě)出下列隨機(jī)變量的取值范圍．(1)張大爺在環(huán)湖線路旁種了10棵樹(shù)苗，設(shè)成活的樹(shù)苗為ξ；(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)ξ；(3)一袋中裝有5只同樣大小的球，編號(hào)為1,2,3,4,5，現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)ξ；(4)電臺(tái)在每個(gè)整點(diǎn)都報(bào)時(shí)，報(bào)時(shí)所需時(shí)間為0.5分鐘，某人隨機(jī)打開(kāi)收音機(jī)對(duì)時(shí)間，他所等待的時(shí)間ξ分鐘．[解]　(1)ξ的取值范圍為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．(2)ξ的取值范圍為{1,2,3,4,5,6}．(3)ξ的取值范圍為{3,4,5}．(4)ξ的取值范圍為[0,59.5]．(變條件)本例(1)中，若每成活一棵樹(shù)，政府給予補(bǔ)貼5元，試寫(xiě)出張大爺獲得補(bǔ)貼Y元與成活樹(shù)苗ξ的關(guān)系，并指出Y的取值范圍．[解]　由題意可知Y＝5ξ，ξ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．故Y的取值范圍為{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}．隨機(jī)變量的取值范圍類同于函數(shù)的定義域，因此只要明確隨機(jī)變量的取值同試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求出隨機(jī)變量的取值范圍.隨機(jī)事件的關(guān)系及其應(yīng)用[探究問(wèn)題]設(shè)隨機(jī)變量X，Y間滿足Y＝|X|＋1，若P(X＝1)＝0.3，P(X＝－1)＝0.7，求：(1)隨機(jī)變量X的取值范圍是多少？(2)P(Y＝2)的值又是多少？[提示]　(1)由P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1可知，隨機(jī)變量X只取兩個(gè)值－1,1，即隨機(jī)變量X的取值范圍是{－1,1}．(2)P(Y＝2)＝P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.7＝1.【例3】　(教材P64例2改編)某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪800元，每工作1 h再獲取15元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為X h，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)X＝100時(shí)，求Y的值；(2)寫(xiě)出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若P(X≤120)＝0.8，求P(Y＞2 600)的值．[解]　(1)當(dāng)X＝100時(shí)，表示工作了100個(gè)小時(shí)，所以Y＝100×15＋800＝2 300.(2)根據(jù)題意有Y＝15X＋800.(3)因?yàn)?/span>X≤120，故15X＋800≤2 600，即Y≤2 600.所以P(Y≤2 600)＝P(X≤120)＝0.8，從而P(Y＞2 600)＝1－0.8＝0.2.1．求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的取值所表示的含義．對(duì)于變量間的關(guān)系問(wèn)題，可類比函數(shù)關(guān)系求解．2．對(duì)立事件的概率和為1，常借助此關(guān)系求對(duì)立事件的概率．2．某商場(chǎng)的促銷員是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1 500元，每工作1天再獲取100元．從該商場(chǎng)促銷員中任意抽取一名，設(shè)其月工作時(shí)間為X天，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)X＝25時(shí)，求Y的值；(2)寫(xiě)出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若P(Y＞3 500)＝0.7，求P(X≤20)的值．[解]　(1)當(dāng)X＝25時(shí)，Y＝25×100＋1 500＝4 000.(2)由題意可知Y＝100X＋1 500.(3)由Y＞3 500可知100X＋1 500＞3 500，即X＞20.∴P(X＞20)＝P(Y＞3 500)＝0.7，∴P(X≤20)＝1－0.7＝0.3.課堂小結(jié)1．隨機(jī)變量的取值是由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果決定的，可類比函數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)．2．隨機(jī)變量X，Y之間若存在線性關(guān)系，即Y＝aX＋b，則X，Y的類型相同，即要么同為離散型隨機(jī)變量，要么同為連續(xù)型隨機(jī)變量．1．給出下列四個(gè)命題：①15秒內(nèi)，通過(guò)某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機(jī)變量；②在一段時(shí)間內(nèi)，某候車室內(nèi)候車的旅客人數(shù)是隨機(jī)變量；③一條河流每年的最大流量是隨機(jī)變量；④一個(gè)劇場(chǎng)共有三個(gè)出口，散場(chǎng)后某一出口退場(chǎng)的人數(shù)是隨機(jī)變量．其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)A．1 B．2　　　　C．3　 D．4D　[由隨機(jī)變量定義可以直接判斷①②③④都是正確的．故選D.]2．某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則{ξ＝5}表示的試驗(yàn)結(jié)果是(　　)A．第5次擊中目標(biāo)B．第5次未擊中目標(biāo)C．前4次均未擊中目標(biāo)D．第4次擊中目標(biāo)C　[{ξ＝5}表示前4次均未擊中，而第5次可能擊中，也可能未擊中，故選C.]3．袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X的取值范圍是________．{2,3,4,5,6,7,8,9,10}　[由于抽球是在有放回條件下進(jìn)行的，所以每次抽取的球號(hào)均可能是1,2,3,4,5中某個(gè)．故兩次抽取球號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10.]4．甲進(jìn)行3次射擊，擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為________．0,1,2,3　[甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．]5．一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ.(1)列表說(shuō)明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的ξ的值；(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后結(jié)果都加上6分，求最終得分η的可能取值，并判定η是否為離散型隨機(jī)變量．[解]　(1)ξ0123結(jié)果取得3個(gè)黑球取得1個(gè)白球，2個(gè)黑球取得2個(gè)白球，1個(gè)黑球取得3個(gè)白球(2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，所以η對(duì)應(yīng)的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為{6,11,16,21}，顯然η為離散型隨機(jī)變量．

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4.2.1 隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系

版本： 人教B版 (2019)

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