1．隨機變量的概念
隨機變量與隨機試驗的結(jié)果的關(guān)系是怎樣的？
提示：隨機變量每取一個確定的值對應(yīng)著試驗的不同結(jié)果，試驗的結(jié)果對應(yīng)著隨機變量的值，即隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)．
2．隨機變量與事件的關(guān)系
一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數(shù)，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)當a≠b時，事件X＝a與X＝b互斥；
(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤a)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X>a)) ＝1.
若a，b都是任意實數(shù)，隨機變量X0為“不得0分”，X0是對立事件，X＝300與X0)＝1－ P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；
P(X4 900)的值．
【思路導(dǎo)引】明確X與Y的含義及它們之間的關(guān)系．
【解析】(1)當X＝120時Y＝120×30＋1 000＝4 600.
(2)X與Y之間的關(guān)系式為Y＝30X＋1 000.
(3)X≤130?30X＋1 000≤4 900，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤130)) ＝0.6
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 900)) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝1－0.6＝0.4.
兩個隨機變量關(guān)系問題的關(guān)注點
(1)衍生關(guān)系：若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是隨機變量．
(2)相等關(guān)系：P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝t)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y＝at＋b)) .
在本例已知條件下，若P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，求P(X≤100)的值．
【解析】Y>4 000?30X＋1 000>4 000?X>100，
所以P(X>100)＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤100)) ＝1－P(X>100)＝1－0.27＝0.73.
一個袋中裝有除顏色外完全相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，每抽到一個白球加5分，抽到白球的個數(shù)為X，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果如何都加上6分，最終得分為Y.
(1)求X的取值范圍；
(2)求最終得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) .
【解析】(1)由題意得，X可能的取值為0，1，2，3，
所以X的取值范圍是{0，1，2，3}．
(2)由題意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值為0，1，2，3，所以Y對應(yīng)的值為5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值為6，11，16，21.顯然，Y為離散型隨機變量．
(3)因為X>2，所以Y＝5X＋6>16，
所以P(Y>16)＝P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) ＝1－ P(Y>16)＝1－ eq \f(1,12) ＝ eq \f(11,12) .
1．下列變量中，不是隨機變量的是( )
A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)
B．標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度
C．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和
D．某電話總機在時間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)
【解析】選B.水沸騰時的溫度是一個確定值，不是隨機變量，其他都是隨機變量．
2．已知隨機變量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，則P(Y＝2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．無法確定
【解析】選A.因為隨機變量Y＝2X，當X＝1時，Y＝2，所以P(Y＝2)＝ P(X＝1)＝0.1.
3．(教材二次開發(fā)：例題改編)拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為ξ，那么ξ＝4表示的事件是( )
A．一枚是3點，一枚是1點
B．兩枚都是2點
C．兩枚都是4點
D．一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點
【解析】選D.ξ＝4可能出現(xiàn)的結(jié)果是一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點．
4．一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6.現(xiàn)從中隨機取出2個球，以X表示取出的球的最大號碼，則“X＝6”表示的事件的樣本點是______________________________________．
答案：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)
5．寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果：
(1)拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)之和Y.
(2)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中任意取出3支，其中所含白粉筆的支數(shù)X，所含紅粉筆的支數(shù)Y.
(3)在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件，所含有次品的件數(shù)X.
【解析】(1)Y的可能取值為2，3，4，…，12，
若以(i，j)表示拋擲甲、乙兩枚骰子后，骰子甲得i點且骰子乙得j點，則{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6).
(2)X可取1，2，3.{X＝i}表示“取出i支白粉筆，3－i支紅粉筆”，其中i＝1，2，3.Y可取0，1，2.{Y＝j(luò)}表示“取出j支紅粉筆，3－j支白粉筆”，其中j＝0，1，2.
(3)隨機變量X可能的取值為0，1，2，3，4.
{X＝i}表示“取出的4件產(chǎn)品中有i件次品”，
其中i＝0，1，2，3，4.概念
一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應(yīng)有唯一確定的實數(shù)值，就稱X為一個隨機變量．
表示
隨機變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ，…表示．
取值
隨機變量的取值由隨機試驗的結(jié)果決定．
取值
范圍
隨機變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍．
分類
離散型隨機變量
隨機變量的所有可能取值可以一一列舉出來．
連續(xù)型隨機變量
隨機變量的取值范圍包含一個區(qū)間，不能一一列舉出來．

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4.2.1 隨機變量及其與事件的聯(lián)系

版本： 人教B版 (2019)

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