高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第二冊(cè)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2 隨機(jī)變量4.2.2 離散型隨機(jī)變量的分布列教案設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

4.2.2　離散型隨機(jī)變量的分布列學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的分布列及兩點(diǎn)分布的概念及表示．(重點(diǎn))2．掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)．(重點(diǎn))3．會(huì)求某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列(含兩點(diǎn)分布)．(難點(diǎn))1．通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量及兩點(diǎn)分布的概念、表示及性質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助離散型隨機(jī)變量的分布列求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)人員的流動(dòng)性給傳播性疾病的確診帶來了一定的難度，而病毒核酸檢驗(yàn)試劑盒的量產(chǎn)，大大縮短了疑似病人的確診時(shí)間．在某疑似病人的確診中，令X＝問題：如果檢驗(yàn)成陽性的概率為P，你能寫出隨機(jī)變量X的分布列嗎？1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)一般地，當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}時(shí)，如果對(duì)任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的．離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱為X的概率分布或分布列．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(2)離散型隨機(jī)變量X的概率分布還可以用圖(1)或圖(2)來直觀表示，其中，圖(1)中，xk上的矩形寬為1、高為pk，因此每個(gè)矩形的面積也恰為pk；圖(2)中，xk上的線段長(zhǎng)為pk.圖(1)圖(2)(3)離散型隨機(jī)變量的分布列必須滿足：①pk≥0，k＝1,2，…，n；②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.思考1：如何求離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率？[提示]　離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．2．兩點(diǎn)分布(1)一般地，如果隨機(jī)變量X的分布列能寫成如下表格的形式：X10Pp1－p則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布．(2)一個(gè)所有可能結(jié)果只有兩種的隨機(jī)試驗(yàn)，通常稱為伯努利試驗(yàn)．不難看出，如果將伯努利試驗(yàn)的結(jié)果分別看成“成功”與“不成功”，并設(shè)“成功”出現(xiàn)的概率為p，一次伯努利試驗(yàn)中“成功”出現(xiàn)的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，因此兩點(diǎn)分布也常稱為伯努利分布，兩點(diǎn)分布中的p也常被稱為成功概率．思考2：分布列X25P0.30.7是兩點(diǎn)分布嗎？[提示]　不是．因?yàn)?/span>X的取值不是0和1.1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中，每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù)． (　　)(2)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)． (　　)(3)隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)是人為的，但又是客觀存在的． (　　)(4)兩點(diǎn)分布就是變量只取兩個(gè)值的分布． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．下列表中可以作為離散型隨機(jī)變量的分布列的是(　　) D　[本題考查分布列的概念及性質(zhì)，即ξ的取值應(yīng)互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，P(ξi)＝1.A中ξ的取值出現(xiàn)了重復(fù)性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；C中P(ξi)＝＋＋＝＞1.]3．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.0.8　[由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.]4．(一題兩空)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X012P2a3a5a則a＝________，P(X≥1)＝________.　　[由2a＋3a＋5a＝1得a＝.∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.]合作探究分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用【例1】　設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P.[思路點(diǎn)撥]　先由分布列的性質(zhì)求a，再根據(jù)X＝1或X＝2，<X<的含義，利用分布列求概率．[解]　(1)∵i＝＋＋＋＝1，∴a＝10，則P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.(2)由a＝10，可得P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.利用分布列及其性質(zhì)解題時(shí)要注意兩個(gè)問題1．X的各個(gè)取值表示的事件是互斥的．2．不僅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.1．(一題兩空)若隨機(jī)變量X的概率分布如表所示，則表中的a的值為________，P(X≥3)＝________.X1234Pa　　[由題意可知＋＋＋a＝1，∴a＝.P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.]求離散型隨機(jī)變量的分布列角度一　求離散型隨機(jī)變量y＝f(ξ)的分布列【例2】　已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－2－10123P分別求出隨機(jī)變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．[解]　由η1＝ξ知，對(duì)于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3時(shí)，η1的值分別為－1，－，0，，1，，所以η1的分布列為η1－1－01P由η2＝ξ2知，對(duì)于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?/span>2與2的概率，即與的和，η2取1這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?/span>1與1的概率，即與的和，所以η2的分布列為η20149P已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列，求離散型隨機(jī)變量η＝f?ξ?的分布列的關(guān)鍵是弄清楚ξ取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的η的值，再把η取相同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可.2．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－2－10123P分別求出隨機(jī)變量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列．[解]　由η1＝－ξ＋，對(duì)于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相應(yīng)的概率值為，，，，，.故η1的分布列為η1－－－P由η2＝ξ2－2ξ，對(duì)于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝，P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝.故η2的分布列為η2830－1P角度二　借助排列、組合求離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】　口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出的最大號(hào)碼，求X的分布列．[思路點(diǎn)撥]　X的可能取值為3,4,5,6，是離散型隨機(jī)變量．可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率．[解]　隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6.從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝6”包含的基本事件總數(shù)為CC.從而有P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P1．求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2,3,4…，n)．(2)求出取每一個(gè)值的概率P(ξ＝xi)＝pi.(3)列出表格．2．求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意的問題(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率．對(duì)于隨機(jī)變量ξ取值較多時(shí)，應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡(jiǎn)化過程．(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運(yùn)算量，還可驗(yàn)證分布列是否正確．3．從裝有6個(gè)白球，4個(gè)黑球和2個(gè)黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個(gè)球，規(guī)定每取出一個(gè)黑球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，取出黃球無輸贏，以X表示贏得的錢數(shù)，隨機(jī)變量X可以取哪些值呢？求X的分布列．[解]　從箱中取兩個(gè)球的情形有以下6種：{2白}，{1白1黃}，{1白1黑}，{2黃}，{1黑1黃}，{2黑}．當(dāng)取到2白時(shí)，結(jié)果輸2元，隨機(jī)變量X＝－2；當(dāng)取到1白1黃時(shí)，輸1元，隨機(jī)變量X＝－1；當(dāng)取到1白1黑時(shí)，隨機(jī)變量X＝1；當(dāng)取到2黃時(shí)，X＝0；當(dāng)取到1黑1黃時(shí)，X＝2；當(dāng)取到2黑時(shí)，X＝4.則X的可能取值為－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.從而得到X的分布列：X－2－10124P 兩點(diǎn)分布[探究問題]1．利用隨機(jī)變量研究一類問題，如抽取的獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些問題有什么共同點(diǎn)？[提示]　這些問題的共同點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果．定義一個(gè)隨機(jī)變量，使其中一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于1，另一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于0，即得到服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量．2．只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點(diǎn)分布？[提示]　不一定．如隨機(jī)變量X的分布列由下表給出X25P0.30.7X不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)?/span>X的取值不是0或1.【例4】　袋內(nèi)有10個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記X＝求X的分布列．[思路點(diǎn)撥]　X只有兩個(gè)可能取值，屬于兩點(diǎn)分布，應(yīng)用概率知識(shí)求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．[解]　由題設(shè)可知X服從兩點(diǎn)分布．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.∴X的分布列為X01P兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布1．看取值：隨機(jī)變量只取兩個(gè)值0和1.2．驗(yàn)概率：檢驗(yàn)P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是兩點(diǎn)分布．4．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)成功的概率是失敗概率的2倍，記Y＝則P(Y＝0)＝(　　)A．0　　　B.　　　C.　　　D.C　[由題意知，可設(shè)P(Y＝1)＝p，則P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.]課堂小結(jié)1．在利用分布列的性質(zhì)解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：(1)X＝xi的各個(gè)取值所表示的事件是互斥的；(2)不僅Pi＝1，而且0≤Pi≤1，i＝1,2,3，…，n.2．離散型隨機(jī)變量的分布列，不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一個(gè)值時(shí)的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況．3．一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和．1．某一隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，則m－的值為(　　)ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2　　　　 B．0.2C．0.1 D．－0.1B　[由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.]2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y＝X－2，則P(Y＝2)等于(　　)A．0.3　　　 B．0.4 C．0.6 D．0.7A　[由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]3．(一題兩空)一批產(chǎn)品的次品率為5%，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量X來描述次品出現(xiàn)的情況，即X＝0表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，X＝1表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為次品，則X的分布列為X01Pab則a＝________，b＝________.　　[X＝0表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為合格品，概率為95%，即a＝；X＝1表示抽取的一個(gè)產(chǎn)品為次品，概率為5%，即b＝.]4．(一題兩空)設(shè)隨機(jī)變量ξ的可能取值為5,6,7，…，16這12個(gè)值，且取每個(gè)值的概率均相同，則P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.　　[P(ξ>8)＝×8＝，P(6<ξ≤14)＝×8＝.]5．將一枚骰子擲兩次，求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)ξ的分布列．[解]　由題意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，則P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝；P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝5)＝＝＝；P(ξ＝6)＝＝.所以拋擲兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的分布列為ξ123456P

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