3.1.2　函數(shù)的單調(diào)性第2課時學習目標1.理解斜率的含義及平均變化率的概念.2.掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的充要條件.自主預習閱讀課本第97頁~101頁”2.函數(shù)的平均變化率”,并完成下列問題(1)完成課本這一部分的填空題目.(2)思考課本第98頁“嘗試與發(fā)現(xiàn)”.(3)直線斜率.(4)平均變化率.(5)平均變化率與函數(shù)單調(diào)性.課堂探究問題探究任務一　閱讀課本第97頁~101頁完成下列問題.1.直線的斜率定義.2.函數(shù)平均變化率.3.函數(shù)單調(diào)性的充要條件.4.平均變化率的物理意義.        任務二　簡單應用例1　利用平均變化率證明函數(shù)f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù).       例2　判斷直線y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性.        　　要點歸納一次函數(shù)單調(diào)性與k的關(guān)系:       例3　證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數(shù),在[-1,+∞)上是增函數(shù).       要點歸納二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性.        　　評價反饋1.(多選題)若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則下列關(guān)系式不恒成立的是(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)2.一高為H、滿缸水量為V的魚缸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸水深為h時的水的體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖像可能是圖中的(　　)課后作業(yè)　課本第102頁第6題,第103頁B組第1,2題核心素養(yǎng)專練函數(shù)f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　.  參考答案自主預習略課堂探究任務一　略任務二　簡單應用例1　解:設(shè)x1≠x2,那么=-,如果x1,x2∈(-∞,0),則x1x2>0,此時<0,所以函數(shù)在(-∞,0)上是減函數(shù),同理函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù).例2　解:設(shè)x1≠x2,那么==k.因此一次函數(shù)的單調(diào)性取決于k的符號.當k>0時一次函數(shù)在R上是增函數(shù);當k<0時一次函數(shù)在R上是減函數(shù).要點歸納　略例3　證明:設(shè)x1≠x2,則==x2+x1+2,因此當x1,x2∈(-∞,-1]時,x2+x1+2<0,從而<0,因此函數(shù)在(-∞,-1]上是減函數(shù).因此當x1,x2∈[-1,+∞)時,x2+x1+2>0,從而>0,因此函數(shù)在[-1,+∞)上是增函數(shù).要點歸納　略評價反饋1.ABC2.B核心素養(yǎng)專練10　-2學習目標1.了解函數(shù)的平均變化率,理解函數(shù)單調(diào)性與平均變化率的關(guān)系.2.會用函數(shù)單調(diào)性的充要條件證明簡單函數(shù)的單調(diào)性.在運用函數(shù)單調(diào)性充要條件過程中,提升數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).3.會根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決一些實際問題,提升學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).自主預習1.函數(shù)的平均變化率一般地,當x1≠x2時,稱=為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率.2.函數(shù)單調(diào)遞增、遞減的充要條件一般地,若I是函數(shù)y=f(x)的定義域的子集,對任意x1,x2∈I且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),=,則:(1)y=f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是　　　　　　在I上恒成立; (2)y=f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是　　　　　　在I上恒成立. 課前檢測判斷.1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)滿足Δy=kΔx.(　　)2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率=.(　　)3.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖像上一點(-1,-2)及鄰近一點(-1+Δx,-2+Δy),則=(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　A.3 B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2 D.3-Δx新課導入　科考隊對“早穿棉襖午穿紗,圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進行科學考察,如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.請根據(jù)曲線圖思考下列問題:問題1　在區(qū)間[6,17]對應的曲線上任取不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),=一定大于零嗎?   問題2　如果在區(qū)間[2,10]對應的曲線上任取不同兩點C(x3,y3),D(x4,y4),=一定大于零嗎? 　　合作　如下圖所示,觀察函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,并總結(jié)出一般規(guī)律.(1)(2) 函數(shù)單調(diào)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都大于0,函數(shù)單調(diào)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都小于0.課堂探究題型一　函數(shù)單調(diào)遞增、遞減充要條件的應用例1　證明函數(shù)f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是減函數(shù),在[-1,+∞)上是增函數(shù),并求出這個函數(shù)的最值.  引申　判斷二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性,并求出相應的最值.    跟蹤訓練1　證明f(x)=是定義域上的增函數(shù).   題型二　利用單調(diào)性解求參數(shù)范圍例2　(1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),試比較f(a2-a+1)與f的大小;(2)已知函數(shù)f(x)=若f(x)在R上是減函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.   跟蹤訓練2　(1)函數(shù)f(x)=滿足:對任意的實數(shù)x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B.C.[1,2] D.[1,+∞)(2)已知g(x)是定義在[-2,1]上的減函數(shù),且g(t-1)>g(1-3t),求t的取值范圍.    題型三　實際應用例3　某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬元)滿足:R(x)=假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入-總成本).(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使盈利最多?     課堂練習1.向一個圓臺形的容器(如圖所示)中倒水,且任意相等的時間間隔內(nèi)所倒的水體積相等,記容器內(nèi)水面的高度y隨時間t變化的函數(shù)為y=f(t),則以下函數(shù)圖像中,可能是y=f(t)的圖像的是(　　)2.已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在[5,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)k的取值范圍是(　　)A.(-∞,40) B.(-∞,40]C.(40,+∞) D.[40,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=.(1)證明函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù);(2)求x∈[0,3]時,函數(shù)f(x)的值域.      核心素養(yǎng)專練A組1.f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a,b,總有>0,則必有(　　)A.函數(shù)f(x)先增后減B.函數(shù)f(x)先減后增C.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)2.一物體的運動方程是s=3+t2,則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)相應的平均速度為(　　)A.0.41 B.3 C.4 D.4.13.已知函數(shù)f(x)=2x-3,當x≥1時,恒有f(x)≥m成立,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)A.R B.(-∞,-1]C.[-1,+∞) D.?4.已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值、最小值分別為(　　)A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不對5.已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)在[1,2]上的值域為　　　　　. 6.f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是　　　　　. 　　7.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示,試指出哪一個廠治污效果較好?   B組設(shè)函數(shù)f(x)=,其中a∈R.(1)若a=1,函數(shù)f(x)的定義域為[0,3],求f(x)的最大值和最小值;(2)若函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),求使函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)的a的取值范圍.   參考答案自主預習　　略課堂探究題型一　函數(shù)單調(diào)遞增、遞減充要條件的應用例1　證明:設(shè)x1≠x2,則===x1+x2+2.因此:當x1,x2∈(-∞,-1]時,有x1+x2<-2,從而<0,因此f(x)在(-∞,-1]上是減函數(shù);當x1,x2∈[-1,+∞)時,有x1+x2>-2,從而>0,因此f(x)在[-1,+∞)上是增函數(shù).由函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)沒有最大值;而且,當x∈(-∞,-1]時,有f(x)≥f(-1),當x∈[-1,+∞)時,不等式也成立,因此f(-1)=-1是函數(shù)的最小值.引申用類似的方法可以證明,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性為:(1)當a>0時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)沒有最大值,但有最小值f=;(2)當a<0時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)沒有最小值,但有最大值f=.跟蹤訓練1　證明:函數(shù)f(x)=的定義域為[0,+∞),設(shè)?x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,則====>0,∴函數(shù)f(x)=在定義域[0,+∞)上是增函數(shù).題型二　利用單調(diào)性求參數(shù)范圍例2　解:(1)由a2-a+1=+≥,而函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以f(a2-a+1)≤f.(2)若f(x)=在R上是減函數(shù),則解得k∈.跟蹤訓練2　(1)C(2)解:因為g(x)是定義在[-2,1]上的減函數(shù),且g(t-1)>g(1-3t).所以所以則0≤t<.故t的取值范圍為0≤t<.題型三　實際應用例3　解:(1)由題意得G(x)=2.8+x,所以f(x)=R(x)-G(x)=(2)當x>5時,因為函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)<f(5)=3.2(萬元),當0≤x≤5時,函數(shù)f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當x=4時,f(x)有最大值為3.6萬元,所以當工廠生產(chǎn)4百臺產(chǎn)品時,可使盈利最大為3.6萬元.課堂練習1.D　2.B3.(1)證明:設(shè)任意x1,x2∈(-1,+∞)且x1≠x2,則===,∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,∴<0,∴<0,∴函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù).(2)解:由(1)的證明知,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù).∵[0,3]?(-1,+∞),∴函數(shù)f(x)在[0,3]上是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)=2,最小值是f(3)=.∴函數(shù)f(x)在[0,3]上的值域是.核心素養(yǎng)專練A組1.C　2.D　3.B　4.A　5.[21,49]　6.7.解:在t0處,雖然W1(t0)=W2(t0),但>,即<,所以,在相同時間Δt內(nèi),甲廠比乙廠的平均治污率小.所以乙廠治污效果較好.B組解:f(x)===a-.(1)當a=1時,f(x)=1-,設(shè)任意x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,則==.又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,∴函數(shù)f(x)在[0,3]上是增函數(shù).∴f(x)max=f(3)=1-=,f(x)min=f(0)=1-=-1.(2)設(shè)任意x3,x4∈(0,+∞),且x3≠x4,則x3+1>0,x4+1>0.若使f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),則只要=<0,又=,∴當a+1<0,即a<-1時,有<0.∴a的取值范圍為(-∞,-1). 

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3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性

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