考點(diǎn)25投影與視圖 考點(diǎn)總結(jié)一、投影一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面 (地面、墻壁等) 上得到的影子叫做物體的投影。照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。特征：1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).
2.等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.
平行投影變化規(guī)律:1.在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).2.在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.　即：.
利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).中心投影概念：由同一點(diǎn) (點(diǎn)光源) 發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。
特征：1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).
　　　　　　　　　　　　　
2等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.
考查題型（求點(diǎn)光源的位置）點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系：正投影正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.
1.線段的正投影分為三種情況.如圖所示.
　　　　　　　　　　　　　①       線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；、②       線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；③       線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.
　　　　　　　　　　　　
①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.
③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.3.立體圖形的正投影.
　　物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.
  二、三視圖三視圖的概念：視圖概念：從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.
正面、水平面和側(cè)面概念：用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.
三視圖概念：一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
三視圖之間的關(guān)系1.位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
2.大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.畫(huà)幾何體三視圖的基本方法：
畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫(huà)法如下：
1.確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；
2.在主視圖的正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；
3.在主視圖的正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
注意：幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線應(yīng)畫(huà)成虛線.由三視圖想象幾何體的形狀
　　由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.
利用三視圖計(jì)算幾何體面積利用三視圖先想象出實(shí)物形狀，再進(jìn)一步畫(huà)出展開(kāi)圖，然后計(jì)算面積。真題演練 一、單選題1．如圖，是某幾何體的三視圖，則該幾何體是（    ）A．長(zhǎng)方體 B．正方體C．三棱柱 D．圓柱【答案】A【分析】該幾何體的主視圖為正方形，俯視圖與左視圖均為矩形，易得出該幾何體的形狀．【詳解】解：該幾何體的主視圖為正方形，左視圖為矩形，俯視圖是一個(gè)矩形，則可得出該幾何體是長(zhǎng)方體．故選：A．2．下列幾何體的主視圖和俯視圖完全相同的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形．【詳解】解：A、圓柱主視圖是矩形，俯視圖是圓，故A選項(xiàng)不合題意；B、圓錐的主視圖是等腰三角形，俯視圖是圓，故B選項(xiàng)不合題意；C、三棱柱主視圖是一行兩個(gè)矩形，中間線為虛線，俯視圖是三角形，故C選項(xiàng)不合題意；D、球的主視圖和俯視圖都是圓，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（    ）A．長(zhǎng)方體 B．三棱柱 C．三棱錐 D．圓錐【答案】B【分析】根據(jù)俯視圖判定幾何體可能是三棱柱或三棱錐，根據(jù)主視圖判定為三棱柱．【詳解】根據(jù)俯視圖判定幾何體可能是三棱柱或三棱錐，根據(jù)主視圖判定為三棱柱．故選B．4．下列幾何體的主視圖和俯視圖完全相同的是（    ）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．正方體【答案】D【分析】依題意，主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形．【詳解】A、圓錐的主視圖是等腰三角形，俯視圖是圓，故A選項(xiàng)不合題意；B、圓柱主視圖是矩形，俯視圖是圓，故B選項(xiàng)不合題意；C、三棱柱主視圖是一行兩個(gè)矩形，俯視圖是三角形，故C選項(xiàng)不合題意；D、正方體主視圖和俯視圖都為正方形，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．一張水平放置的桌子上擺放著若干個(gè)碟子，其三視圖如圖所示，則這張桌子上共有碟子的個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．10 B．12 C．14 D．18【答案】B【分析】從俯視圖看只有三列碟子，主視圖中可知左側(cè)碟子有6個(gè)，右側(cè)有2個(gè)，根據(jù)三視圖的思路可解答該題．【詳解】解：從俯視圖可知該桌子共擺放著三列碟子．主視圖可知左側(cè)碟子有6個(gè)，右側(cè)有2個(gè)，而左視圖可知左側(cè)有4個(gè)，右側(cè)與主視圖的左側(cè)碟子相同，共計(jì)12個(gè)，故選：B．6．將3個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體按如圖方式擺放，其中每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10，6，1，則這3個(gè)長(zhǎng)方體組成的圖形左視圖面積為（    ）A．10 B．18 C．30 D．60【答案】C【分析】求出左視圖為長(zhǎng)為10，寬為3的長(zhǎng)方形，即可求得面積．【詳解】解：根據(jù)幾何體可以得到，這3個(gè)長(zhǎng)方體組成的圖形左視圖為長(zhǎng)為10，寬為3的長(zhǎng)方形，左視圖的面積為故答案為C．7．下列四幅圖中，能表示兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻太陽(yáng)光下的影子的圖是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行投影的意義和性質(zhì)，得出影子與實(shí)物的位置和大小關(guān)系得出答案．【詳解】解：太陽(yáng)光下的影子，同一時(shí)刻，樹(shù)高和影長(zhǎng)成正比例，且影子的位置在物體的統(tǒng)一方向上可知，選項(xiàng)C中的圖形比較符合題意；故選C．8．矩形紙片在平行投影下的正投影不可能是（  ）A．矩形 B．平行四邊形 C．線段 D．點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)平行投影的特點(diǎn)：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行，即可得出答案．【詳解】解：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形．故長(zhǎng)方形的正投影不可能是點(diǎn)，故選：D．9．如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線重直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（    ）
 A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)橹行耐队拔矬w的高和影長(zhǎng)成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項(xiàng)即可找到符合題意的選項(xiàng)【詳解】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線垂直地面，光源與對(duì)角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對(duì)角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長(zhǎng)影子會(huì)更長(zhǎng)一些，故選D 10．下列現(xiàn)象中，屬于中心投影的是（　　）A．白天旗桿的影子 B．陽(yáng)光下廣告牌的影子C．舞臺(tái)上演員的影子 D．中午小明跑步的影子【答案】C【分析】根據(jù)中心投影的意義和性質(zhì)解答．【詳解】A、白天旗桿的影子為平行投影，所以A選項(xiàng)不合題意；B、陽(yáng)光下廣告牌的影子為平行投影，所以B選項(xiàng)不合題意；C、舞臺(tái)上演員的影子中心投影，所以C選項(xiàng)符合題意；D、中午小明跑步的影子平行投影，所以D選項(xiàng)不合題意．故選：C．二、填空題11．如圖，該正方體的主視圖是_______形．【答案】正方【分析】根據(jù)主視圖為正面所看到的圖形進(jìn)而得出答案．【詳解】解：正方形的主視圖為正方形，故答案為正方．12．某立體圖形的三視圖中，主視圖是矩形，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的立體圖形名稱：_________．【答案】圓柱【分析】根據(jù)三視圖的定義求解即可．【詳解】解：圓柱的主視圖是矩形，故答案為：圓柱．13．在如圖所示的幾何體中，其三視圖中有三角形的是________．（填序號(hào)）【答案】②③【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，據(jù)此作答．【詳解】①圓柱體的主視圖是矩形，左視圖是矩形，俯視圖是圓，②圓錐的主視圖、左視圖是等腰三角形，俯視圖是帶有圓心的圓，③三棱錐的主視圖、左視圖是矩形，俯視圖是三角形，④球的三視圖完全相同，都是圓．∴其三視圖中有三角形的是②③．故答案為：②③．14．從三個(gè)方向看所得到的圖形都相同的幾何體是 __________ (寫(xiě)出一個(gè)即可)【答案】球（答案不唯一）【分析】根據(jù)三視圖的特征即可確定符合題意的幾何體.【詳解】解：球體的三視圖均為圓，
故答案為：球體（答案不唯一）．15．在同一時(shí)刻，測(cè)得身高的小明同學(xué)的影長(zhǎng)為，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為，那么這根旗桿的高度為_(kāi)___________________．【答案】12【分析】根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成比例列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為xm，
由題意得，，解得：x=12．
故答案為：12．三、解答題16．如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻體或門．在點(diǎn)處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無(wú)法監(jiān)控，這部分無(wú)法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū)．（1）小紅同學(xué)進(jìn)入校史榮譽(yù)室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？（2）為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請(qǐng)你幫助學(xué)校在墻體上重新設(shè)計(jì)攝像頭安裝的位置，畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）分別求出榮譽(yù)室面積和盲區(qū)面積，再利用概率公式，即可求解；（2）把攝像頭安裝在AB的中點(diǎn)處，計(jì)算出監(jiān)控盲區(qū)的面積，然后把攝像頭安裝在AB的其他位置，表達(dá)出監(jiān)控盲區(qū)的面積，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴榮譽(yù)室面積=2×2+2×2+2×6=20，盲區(qū)面積=2×2-×2×1=3，∴站在監(jiān)控盲區(qū)的概率=3÷20=；（2）如圖所示：攝像頭安裝在AB的中點(diǎn)處，監(jiān)控盲區(qū)的面積最小，此時(shí)，監(jiān)控盲區(qū)面積=2××1×2=2，若攝像頭不安裝在AB的中點(diǎn)處，則監(jiān)控盲區(qū)面積=×(CM+2)×2＞2．17．如圖，一棵被大風(fēng)吹折的大樹(shù)在處斷裂，樹(shù)梢著地．經(jīng)測(cè)量,折斷部分與地面的夾角,樹(shù)干在某一時(shí)刻陽(yáng)光下的影長(zhǎng)米，而在同時(shí)刻身高米的人的影子長(zhǎng)為米．求大樹(shù)未折斷前的高度(精確到米)． (參考數(shù)據(jù)：)【答案】米【分析】 利用比例式求得BC的長(zhǎng)，然后在Rt△ACB中求得AB的長(zhǎng)，兩者相加即可得到鐵塔的高度．【詳解】 解：依題意，得即在中，（米）（米）答：大樹(shù)未折斷前的高度為米18．實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）若王詩(shī)嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為，則高圓柱的高度為多少？    【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm【分析】（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，設(shè)FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到AB.【詳解】解：（1）設(shè)王詩(shī)嬑的影長(zhǎng)為xcm，由題意可得：，解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，王詩(shī)嬑的的影子長(zhǎng)為120cm；（2）正確，因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，由題意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度，∴，∴設(shè)FG=4m，CG=3m，在△CFG中，，解得：m=20，∴CG=60，F(xiàn)G=80，∴BG=BC+CG=160，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB，可知四邊形HBGF為矩形，∴，∴AH==200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圓柱的高度為280cm.  

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