考點(diǎn)23圖形的相似 考點(diǎn)總結(jié)一、相似圖形及比例線段相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.相似多邊形：若兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，它們的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。特征：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。二、相似三角形相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形。相似圖形的概念：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“∽”，讀作“相似于”。相似比的概念：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.　判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（五）：斜邊和任意一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：1.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3.相似三角形的面積比等于相似比的平方．相似三角形與實(shí)際應(yīng)用：關(guān)鍵：巧妙利用相似三角形性質(zhì)，構(gòu)建相似三角形求解。三、位似位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：1.位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2.位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)，位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線。位似中心的位置：形內(nèi)、形外、形上。畫位似圖形的步驟：1.確定位似中心.2.確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).3.確定位似比.4.根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線經(jīng)過位似中心且到位似中心的距離之比等于位似比，作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再按照原圖的順序連接各點(diǎn) ( 對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在位似中心同側(cè)，或兩側(cè) ) .在直角坐標(biāo)系中的位似圖形坐標(biāo)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫一個(gè)與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：1.平移：和原圖形一模一樣 （和原圖形全等且能與原圖形重合）
2.軸對(duì)稱：面積和原圖形一樣 也是全等，和平移的不同點(diǎn)就是軸對(duì)稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋?/span>
3.旋轉(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對(duì)稱的不同點(diǎn)是軸對(duì)稱只有一個(gè)和原圖形軸對(duì)稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個(gè)。
4.位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等 邊就不一定相等了。真題演練 一、單選題1．如圖，等邊三角形ABC中，AB=3，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=1，點(diǎn)E是邊B上的一動(dòng)點(diǎn)，作射線ED．射線ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到射線EF，交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)E從B→C的運(yùn)動(dòng)過程中，CF的最大值是（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量代換可得，依據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得~，，設(shè)，，將各邊長代入相似比中可得二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求其最值即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，在中，，由題意旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴，在與中，，，∴~，設(shè)，，，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，為最大值，故選：C．2．在同一時(shí)刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為的竹竿的影長為，某一高樓的影長為，那么這幢高樓的高度是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比列出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)這幢高樓的高度為米，依題意得：，解得：．故這棟高樓的高度為36米．故選：．3．如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“”字高度為，當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，最大的“”字高度為（    ）mmA． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得、，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，通過相似比計(jì)算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得，且 ∴ ∴ ∴ 故選：C．4．如圖所示的4個(gè)三角形中，相似三角形有（　?。?/span>A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．【詳解】解：如圖：AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，∵5+20=25，∴AC2+ BC2= AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，；△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，；∴△ABC△DEF；△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，∵5+25，∴HG2+ HI2= GI2，∴△HGI不是直角三角形，綜上，只有△ABC△DEF；故選：A．5．若相似三角形的相似比為1：4，則面積比為（    ）A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答．【詳解】兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，相似三角形面積的比等于相似比的平方是1：16，故正確的答案為：A6．如圖，在中，∥，若，，則等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，∴．故選：D．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為12，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。?/span>A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）【答案】A【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出AD的長，進(jìn)而得出△OAD∽△OBG，進(jìn)而得出AO的長，即可得出答案．【詳解】∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為 ，∴，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，4），故選A．8．正方形的邊上有一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作矩形，且邊過點(diǎn)．設(shè)AE=x，矩形的面積為y，則y與x之間的關(guān)系描述正確的是（    ）A．y與x之間是函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x增大時(shí)，y先增大再減小B．y與x之間是函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x增大時(shí)，y先減小再增大C．y與x之間是函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x增大時(shí)，y一直保持不變D．y與x之間不是函數(shù)關(guān)系【答案】C【分析】設(shè)正方形的邊長為，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】設(shè)正方形的邊長為四邊形ABCD是正方形，，四邊形是矩形又，即則矩形的面積因此，y與x之間是函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x增大時(shí)，y一直保持不變故選：C．9．如圖，將正方形折疊，使頂點(diǎn)與邊上的一點(diǎn)重合（不與端點(diǎn)，重合），折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，邊折疊后與邊交于點(diǎn)，設(shè)正方形的周長為，的周長為，則的值為（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為a，CH=x，DE=y，則m=4a，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得∠DEH=∠CHG，可證明△DEH∽△CHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可用a、x、y表示出CG、HG的長，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周長，進(jìn)而可得答案．【詳解】設(shè)正方形ABCD的邊長為a，CH=x，DE=y，則m=4a，∵將正方形折疊，使頂點(diǎn)與邊上的一點(diǎn)重合，∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，∴DH=a-x，EH=a-y，∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，∴∠CHG=∠DEH，∵∠D=∠C=90°，∴△DEH∽△CHG，∴，即：，∴CG=，HG=，在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，∴x2=2a(x-y)，∴n=CH+HG+CG=x++==2a，∴==2，故選：D．10．把三邊的長度都擴(kuò)大為原來的倍，則銳角的余弦值（ ）A．?dāng)U大為原來的倍 B．縮小為原來的 C．?dāng)U大為原來的倍 D．不變【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，
則所得的三角形與原三角形相似，
∴銳角A的大小不變，
∴銳角A的余弦值不變，
故選：D．二、填空題11．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1，A，B，C，D均落在格點(diǎn)上．（1）____；（2）點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，分別過點(diǎn)B作BM⊥l于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥l于點(diǎn)N，則CN=____．【答案】5：1        【分析】（1）由題意得：AC=1，AD=6，CD=5，由三角形面積公式得出S△ABD：S△BAC=6：1，得出S△BDC：S△BAC=5：1即可；（2）證出CE=DE=CD=，由勾股定理求出BC=，證明△CNE∽△BAC，得出，求出CN即可．【詳解】解：（1）由題意得：AC=1，AD=6，CD=5，
∴S△ABD：S△BAC=6：1，
∴S△BDC：S△BAC=5：1；
故答案為：5：1；
（2）如圖所示：
∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，直線l∥BC，
∴PE是△BCD的中位線，CE=DE=CD=，∵四邊形BCNM是矩形，
∴∠BCN=∠CNE=90°，
∴∠ACB+∠ECN=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，BC=，∴∠ECN=∠ABC，
∴△CNE∽△BAC，∴，即，解得：CN=，故答案為：．12．已知：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在DA的延長線上，AE=AD，連接CE交BD于點(diǎn)F，則的值是________．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC、AD=BC，進(jìn)而可得出△DFE∽△BFC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DFE∽△BFC，∴，故答案為：．13．在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為2m的竹竿的影長為3m，同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長為21m，那么這根旗桿的高度為_______m．【答案】14【分析】利用同時(shí)同地物的高與影長成正比列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為xm由題意得， 解得：x=14故答案為14．14．在某一時(shí)刻，測(cè)得身高為1.8m的小明的影長為3m，同時(shí)測(cè)得一建筑物的影長為10m，那么這個(gè)建筑物的高度為______m．【答案】6【分析】首先設(shè)這棟建筑物的高度為xm，然后根據(jù)題意列出等式，求解即可.【詳解】設(shè)這棟建筑物的高度為xm，由題意得，=，解得x=6，即這棟建筑物的高度為6m．故答案為：6．15．如圖，在中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，， 則的長為________. 【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】∵，，∴，，則，，∴，∵，∴．故答案為：4．三、解答題16．如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大?。挥玫仁奖硎揪€段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．17．如圖，在中，，以為直徑作⊙，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：為⊙的切線；（2）若⊙的直徑為5，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先連接OD，證明OD∥BC，再根據(jù)，即可證明（2）先根據(jù)，利用Rt△CBD，設(shè)BD=x,得出DB、DC的值，再證明△∽△．利用相似比即可得到，從而得到EF的值【詳解】證明：連接．∵， ∴．∵，∴．∴．∴//．   ∵，∴．∵點(diǎn)在⊙上，∴是⊙的切線． （2）解：連接．∵是⊙的直徑，∴． ∵，，∴．∵，在△中，設(shè)，則．∴．∴，．即，．由面積可得: DB?DC= BC?DE∴．在△中，．∵//，∴△∽△．∴．即．∵，，∴．18．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)．①若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________ ；②若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，則的值為__________；（2）如圖2，⊙的半徑為1．若⊙上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的取值范圍；（3）是軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙的半徑為2，若⊙上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）①，②；（2）；（3）．【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的軸對(duì)稱變換規(guī)律即可得；②先求出點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)建立方程，求解即可得；（2）先根據(jù)完美點(diǎn)的定義、待定系數(shù)法求出點(diǎn)所在直線的解析式為，再找出兩個(gè)臨界位置①直線與位于軸上方的半圓相切；②直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)求出的值即可得；（3）如圖（見解析），先確定點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出與軸相切時(shí)的值即可得出答案．【詳解】解：（1）①，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱坐標(biāo)為，，故答案為：；②，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱坐標(biāo)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的完美點(diǎn)，，解得，故答案為：；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由完美點(diǎn)的定義得：點(diǎn)所在直線與點(diǎn)所在直線平行，則設(shè)點(diǎn)所在直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，將點(diǎn)代入得：，解得，則點(diǎn)所在直線的解析式為，因此，有兩個(gè)臨界位置：①直線與位于軸上方的半圓相切；②直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，①直線與位于軸上方的半圓相切，如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則，，由圓的切線的性質(zhì)得：，，在和中，，，，即，解得，②直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入得：，解得，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，不含原點(diǎn)，的值不能取，則的取值范圍為；
 （3）如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交直線于點(diǎn)，則的半徑為2，
 當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，要使點(diǎn)在軸上，則與軸相切或相交即可，，，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，當(dāng)與軸相切時(shí)，，解得或，綜上，滿足條件的的取值范圍為． 

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