考點(diǎn)01有理數(shù)考點(diǎn)總結(jié)一、正數(shù)和負(fù)數(shù)（1）大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．（2）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．（3）用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．二、數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．     數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．三、絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)． （2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)． 一般地，a?＝1 （a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是． （2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的紐帶，正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要。倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的． ②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0 沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．3．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．四、有理數(shù)比較大小及運(yùn)算1．有理數(shù)比較大小（1）法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)．兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。?/span>（2）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)．（3）作差比較：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＜0，則a＜b；若a﹣b＝0，則a＝b．2．有理數(shù)運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）有理數(shù)混合運(yùn)算的四種技巧①轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．②湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．③分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．④巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．五、近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字． （2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對更精確一些．六、科學(xué)記數(shù)法（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)】（2）表示較大的數(shù)①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n． ②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．（3）表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．（4）用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律 x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的0）  真題演練一、單選題1．有理數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則結(jié)論正確的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可判斷A；，，知，，，可判斷B；，的相反數(shù)，而，可得，，可判斷C； 由，可判斷D．【詳解】解：由數(shù)軸可得，，A．∵，故選項(xiàng)A不正確，不符合題意；B．，，知，，∴，故選項(xiàng)B不正確，不符合題意；C．∵，∴，∵，∴，∴，，故選項(xiàng)C不正確，不符合題意；D．∵，∴故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選擇D．2．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.若實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，確定原點(diǎn)的位置，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸即可解答．【詳解】解：∵，∴原點(diǎn)在的中間，如圖，由圖可得：，，，故選：D．3．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，如果ab=c，那么實(shí)數(shù)c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置可能是(　　)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，可得a，b，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．【詳解】由數(shù)軸，得﹣1＜a＜0，0＜b＜1，∴﹣1＜ab＜0，﹣1＜c＜0．故選：B．4．在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a，2，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C．若CO=BO，則a的值為（    ）A．-3 B．-2 C．-1 D．1【答案】A【分析】根據(jù)CO=BO可得點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，據(jù)此可得a=-2-1=-3．【詳解】解：∵點(diǎn)C在原點(diǎn)的左側(cè)，且CO=BO，
∴點(diǎn)C表示的數(shù)為-2，
∴a=-2-1=-3．
故選A．5．如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是和.對于以下四個(gè)式子：①；②；③；④，其中值為負(fù)數(shù)的是（  ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)圖示，可得b＜-3，2＜a＜3，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得b＜-3，0＜a＜3，
①2a-b＞0；
②a+b＜0；
③|b|-|a|＞0；
④＜0．
故其中值為負(fù)數(shù)的是②④．
故選D．6．下列各數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最近的是（　?。?/span>A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)就是絕對值最小的數(shù)，對每個(gè)數(shù)作出判斷，即可求出答案．【詳解】∵﹣2到原點(diǎn)的距離是2個(gè)長度單位，﹣1到原點(diǎn)的距離是1個(gè)長度單位，2到原點(diǎn)的距離是2個(gè)長度單位，3到原點(diǎn)的距離是3個(gè)長度單位，∴到原點(diǎn)的距離最近的是﹣1．故選：B．7．在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，2，點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左側(cè)，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C．若CO＝BO，則a的值為（     ）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【答案】A【分析】根據(jù)CO＝BO可得點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣2，據(jù)此可得a＝﹣2﹣2＝﹣4．【詳解】解：∵點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左側(cè)，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C，∴點(diǎn)C在原點(diǎn)的左側(cè)，且CO＝BO，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣2，∴a＝﹣2﹣2＝﹣4．故選：A．8．在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且AB=2，則點(diǎn)A，點(diǎn)B表示的數(shù)分別是（    ）A．-， B．，- C．0，2 D．-2，2【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：由A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，且AB=2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，得
點(diǎn)A，點(diǎn)B表示的數(shù)分別是-，．
故選：A．9．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如下圖所示，正確的結(jié)論是(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察數(shù)軸，找出a、b、c、d四個(gè)數(shù)的大概范圍，再逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵-5＜a＜-4，∴錯(cuò)誤；B、∵-5＜a＜-4，d=4，∴正確；C、∵-2＜b＜-1，0＜c＜1，∴，∴錯(cuò)誤；D、∵b＜0，d＞0，∴bd＜0，∴錯(cuò)誤．故選：B．10．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，確定原點(diǎn)的位置，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸即可解答．【詳解】解：，
原點(diǎn)在a，b的中間，
如圖，

由圖可得：，，，，，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
故選A．二、填空題11．若，則_______．【答案】3【分析】由求解的值，再代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解： ， 故答案為：12．小云計(jì)劃戶外徒步鍛煉，每天有“低強(qiáng)度”“高強(qiáng)度”“休息”三種方案，下表對應(yīng)了每天不同方案的徒步距離（單位：）．若選擇“高強(qiáng)度”要求前一天必須“休息”（第一天可選擇“高強(qiáng)度”）．則小云5天戶外徒步鍛煉的最遠(yuǎn)距離為_______．日期第1天第2天第3天第4天第5天低強(qiáng)度86654高強(qiáng)度121315128休息00000 【答案】36【分析】如果第二天和第三天選擇低強(qiáng)度，則距離為6+6=12（km），而如果第三天選擇高強(qiáng)度的話，距離為15km，所以可得第二天休息，第三天選擇高強(qiáng)度，如果第四天和第五天選擇低強(qiáng)度，則距離為5+4=9（km），而如果第五天選擇高強(qiáng)度的話，距離為8km，所以可得第四天和第五天選擇低強(qiáng)度，為保持最遠(yuǎn)距離，則第一天為高強(qiáng)度，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如果第二天和第三天選擇低強(qiáng)度，則距離為6+6=12（km），如果第三天選擇高強(qiáng)度，則第二天休息，則距離為15km，∵12<15，∴第二天休息，第三天選擇高強(qiáng)度，如果第四天和第五天選擇低強(qiáng)度，則距離為5+4=9（km），如果第五天選擇高強(qiáng)度，則第四天休息，則距離為8km，∵9>8，∴第四天和第五天選擇低強(qiáng)度，為保持最遠(yuǎn)距離，則第一天為高強(qiáng)度，∴最遠(yuǎn)距離為12+0+15+5+4=36（km）故答案為36．13．中國人最先使用負(fù)數(shù)，數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)數(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)．根據(jù)劉微的這種表示法，圖①表示算式，則圖②表示算式__________．【答案】【分析】根據(jù)題意列出算式，利用有理數(shù)加法法則計(jì)算可得．【詳解】解：根據(jù)題意知，圖②表示的算式為．故答案為：．14．已知且，寫出一組符合條件的值__________．【答案】x= -2，y=1（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件寫出一組值即可 ．【詳解】解：∵-2+1=1，且|-2|>1，∴x=-2，y=1為符合條件的一組值，∵除了x=-2，y=1外，還有其他滿足條件的值，故答案為x= -2，y=1（答案不唯一）．15．的相反數(shù)是_____．【答案】-3【分析】此題依據(jù)相反數(shù)的概念求值．相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．【詳解】解： 相反數(shù)只是符號(hào)不同，故3的相反數(shù)為?3?3. 三、解答題16．計(jì)算：．【答案】5【分析】代入45°角的余弦函數(shù)值，結(jié)合“負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的意義及絕對值的意義”進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：原式=4+-+1．17．先化簡，再求值：，其中.【答案】，22【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】原式.因?yàn)?/span>，所以，.把，代入原式，原式.18．計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)絕對值，零次冪，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算即可【詳解】原式=． 

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