?考點(diǎn)33圖形的相似與位似

【命題趨勢】
圖形的相似與位似主要考查：相似三角形的性質(zhì)與判定，考查形式有：（1）判定相似三角形、判定對(duì)應(yīng)變；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求線段長；（3）利用相似比求面積比與周長比。命基礎(chǔ)題。同時(shí)也與二次函數(shù)、四邊形或圓相結(jié)合，命中檔題或較難題。
【?？贾R(shí)】
相似三角形的性質(zhì)與判定，考查形式有：（1）判定相似三角形、判定對(duì)應(yīng)變；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求線段長；（3）利用相似比求面積比與周長比。。
【奪分技巧】
1、條件中有平行線，可采用相似三角形的預(yù)備定理。2、條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找夾邊成比例來判定。3、條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等。4、條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例。5、條件中若有等藥腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對(duì)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例。
真題演練
一、單選題
1．（2021·云南·昆明市第三中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、N，AH⊥EF于點(diǎn)H，以下說法：①AH＝a；②△CEF的周長是2a；③若BE＝2，DF＝3，則a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正確的是（ ）

A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】A
【分析】
延長EB至點(diǎn)G，使BG＝DF，通過證明△AEG≌△AEF，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)判斷①和②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理判斷③，證明△AMN∽△BME，然后根據(jù)相似三角形的判斷和性質(zhì)判斷④，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得∠ABM＝∠AEN＝45°，從而判斷⑤．
【詳解】
解：如圖，延長EB至點(diǎn)G，使BG＝DF，

∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
∴△AGE≌△AFE，
∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE，
又∵AH⊥EF，AB⊥GE，
∴AH＝AB＝a，故①正確；
∵BG＝DF，GE＝FE，
△CEF的周長＝CE+EF+CF
＝CE+EG+CF
＝CE+BE+BG+CF
＝CE+BE+DF+CF
＝BC+CD
＝2a，故②正確；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5，
在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，
∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52，
解得：a＝6或a＝﹣1（負(fù)值舍去），故③正確；
∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，
∴∠EAF＝∠DBC，
又∵∠BME＝∠AMN，
∴△BME∽△AMN，
∴，
又∵∠AMB＝∠NME，
∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④錯(cuò)誤；
∵△AMB∽△NME，
∴∠ABM＝∠AEN＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，
即AN⊥NE，故⑤正確，
正確的是①②③⑤，
故選：A．
2．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）在同一時(shí)刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比．在某一時(shí)刻，有人測得一高為的竹竿的影長為，某一高樓的影長為，那么這幢高樓的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比列出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．
【詳解】
解：設(shè)這幢高樓的高度為米，依題意得：，
解得：．
故這棟高樓的高度為36米．
故選：．
3．（2021·全國·九年級(jí)期末）如圖，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心為點(diǎn)O，OA'=2AA'，則△A'B'C'和△ABC的位似比為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用位似圖形的性質(zhì)求解．
【詳解】
解：∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心為點(diǎn)O，
∴△A'B'C'和△ABC的位似比=OA′：OA，
∵OA'=2AA'，
∴OA′：OA=2：3，
即△A'B'C'和△ABC的位似比為2：3．
故選：D．
4．（2021·重慶·字水中學(xué)三模）如圖，正五邊形ABCDE與是位似圖形，O是位似中心，若正五邊形與正五邊形ABCDE的面積之比為4：1，且正五邊形ABCDE的周長為9，則正五邊形的周長是為（ ）

A．18 B．27 C．36 D．9
【答案】A
【分析】
根據(jù)面積之比得到兩個(gè)圖形的相似比，再根據(jù)正五邊形ABCDE的周長即可求解．
【詳解】
解：正五邊形ABCDE與是位似圖形，
正五邊形ABCDE與相似，
正五邊形與正五邊形ABCDE的面積之比為4：1，
可得，正五邊形ABCDE與的相似比為
正五邊形與正五邊形ABCDE的周長之比為2：1，
正五邊形ABCDE的周長為9
∴正五邊形的周長是為18
故選：A
5．（2021·河北路南·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，以某點(diǎn)為位似中心，作出與的位似比為的位似，則位似中心的坐標(biāo)和的值分別為（ ）

A．(0，0)， B．(1，1)，2 C．(2，2)， D．(1，1)，
【答案】C
【分析】
直接利用位似圖形的性質(zhì)分別得出位似中心和位似比．
【詳解】
解：如圖所示：位似中心E的坐標(biāo)為：（2，2），

k的值為：．
故選：C．
6．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根據(jù)相似三角形的判定可得，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】
解：，
，，
A、由得：，則此項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由得：，則此項(xiàng)正確；
C、由得：，
由得：，
則，此項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由得：，則此項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
7．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為（　?。?br />
A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
【答案】C
【分析】
連接OC，得到∠ACO＝90°，確定點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出點(diǎn)E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，證明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，設(shè)△CDE面積為S，由此得到當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，由此確定答案
【詳解】
解：連接OC，如圖，
∵點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），
以O(shè)A為直徑作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣3＝﹣3，則E（0，﹣3），
當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣3＝0，
解得x＝4，則D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
設(shè)△CDE面積為S，
當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，
∴S的范圍為2≤S≤7，
∴△CDE面積的最小值為2．
故選：C．

8．（2021·河北·中考真題）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出兩個(gè)高腳杯液體的高度，再通過三角形相似，建立其對(duì)應(yīng)邊的比與對(duì)應(yīng)高的比相等的關(guān)系，即可求出AB．
【詳解】
解：由題可知，第一個(gè)高腳杯盛液體的高度為：15-7=8（cm），
第二個(gè)高腳杯盛液體的高度為：11-7=4（cm），
因?yàn)橐好娑际撬降?，圖1和圖2中的高腳杯是同一個(gè)高腳杯，
所以圖1和圖2中的兩個(gè)三角形相似，
∴，
∴（cm），
故選：C．
9．（2021·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）模擬預(yù)測）下列判斷正確的是（ ）．
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B．將一個(gè)矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似
C．如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為16∶9，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長比可能是4∶3
D．若點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，則的長為
【答案】C
【分析】
A．利用矩形的判定定理對(duì)角線相等的平行四邊形可判斷；B．一個(gè)矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似應(yīng)滿足長與寬相等時(shí)可以，而矩形的長與寬一般不等；C.利用相似圖形的性質(zhì)即可；D．利用黃金分割法可求出BC有兩個(gè)值即可．
【詳解】
解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、將一個(gè)矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形不一定相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，則兩個(gè)相似多邊形的相似比為4:3，那么這兩個(gè)相似多邊形的周長比等于相似比是4：3，故此選項(xiàng)正確；
D、若點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝6cm，則BC的長為或，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選C．
10．（2021·河南·鄭州一中國際航空港實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列形狀分別為正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．
【詳解】
A、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
B、兩圖形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；
C、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
D、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
故選：B．

二、填空題
11．（2021·江蘇無錫·中考真題）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③邊長相等的兩個(gè)菱形都相似
④對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形都相似
【答案】1
【分析】
根據(jù)多邊形的判定方法對(duì)①進(jìn)行判斷；利用菱形的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似的定義可對(duì)④進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：所有的正方形都相似，所以①正確；
所有的菱形不一定相似，所以②錯(cuò)誤；
邊長相等的兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個(gè)菱形不一定相似所以③錯(cuò)誤；
對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯(cuò)誤；
故答案是：1．
12．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為 __．

【答案】
【分析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．
【詳解】
解：如圖：

四邊形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分線，
，，又，
，
，
，
解得，，
四邊形是矩形，
，，
，
是的垂直平分線，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：．
13．（2021·江蘇射陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心，把按相似比縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】或
【分析】
根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】
解：∵以原點(diǎn)為位似中心，把按相似比縮小，，
∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是或，即或，
故答案為：或．
14．（2021·貴州黔東南·中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)O（0，0），若以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】（4，2）或（－4，－2）
【分析】
根據(jù)位似變換的定義，作出圖形，可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，觀察圖象可知，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（-4，-2）．

故答案為：（4，2）或（-4，-2）．
15．（2021·山東牡丹·三模）如圖，以點(diǎn)為位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上.則以上四種說法正確的是______．

【答案】①②④
【分析】
根據(jù)位似圖形的概念判斷即可．
【詳解】
解：∵以點(diǎn)O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，
∴，故②正確；
由位似圖形中，對(duì)應(yīng)邊平行可知：，故①正確；
∵放大2倍得到，
∴，
∴，故③錯(cuò)誤；
由位似圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，
∴點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C’三點(diǎn)在同一直線上，故④正確；
故答案為：①②④．
16．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，中，，，．四邊形是正方形，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，且．P是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)P作直線l于平行，分別交，于點(diǎn)G，H，則的長是__________．

【答案】或．
【分析】
結(jié)合勾股定理逆定理判斷是直角三角形，通過證明，，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解，然后分當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)右側(cè)時(shí)，進(jìn)行分類討論．
【詳解】
解：中，，，，
，，
，
為直角三角形，
①當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：
設(shè)直線交于點(diǎn)，

，
，，
又四邊形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖：

與①同理，此時(shí)，
，
解得：，
綜上，的長為或，
故答案為：或．
17．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)東校三模）在矩形ABCD（AB＜ BC）的邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．
（1）如圖1，若∠CBE＝15°，則＝ ________；
（2）如圖2，延長EF，與∠ABF的平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF＝AN＋FD時(shí)，＝_________．

【答案】
【分析】
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，從而可得BC=2AB，即可得結(jié)果；
（2）過N作NG⊥BF于點(diǎn)G，則易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得BG=2NG，設(shè)AN=a，F(xiàn)D=b，則在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的關(guān)系，從而可求得結(jié)果．
【詳解】
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15°
∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°
∵四邊形ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠AFB=∠FBC=30°
∵∠A=90°
∴BF=2AB
∴BC=2AB
∴
故答案為：
（2）過N作NG⊥BF于點(diǎn)G，如圖

∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF
∴AN=GN
∵BN=BN
∴Rt△ABN≌Rt△GBN
∴BG=AB
∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA
∴△NGF∽△BAF
∴
∵NF=AN+FD
∴AD=BC=2NF
∴AB=2GN
設(shè)AN=GN=a，F(xiàn)D=b，則NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b
∴FG=BF-BG=2b
在Rt△NFG中，由勾股定理得：
即
即
∴BC=
∴
故答案為:．

三、解答題
18．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；
（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；
（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】
解：（1）證明：如圖，連接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，
，
，的半徑為2，
，
，
如圖，連接，

是的直徑，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

在中，，，
，
．
19．（2021·廣東·惠州一中一模）如圖，是矩形紙片，翻折，，使，恰好落在上．設(shè)，分別是，落在上的兩點(diǎn)，，分別是折痕，與，的交點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若cm，cm，求線段的長．

【答案】（1）見解析；（2）線段長為cm．
【分析】
（1）根據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，證明AG∥CE，AE∥CG即可；
（2）解法1：在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理可將EF的長求出；
解法2，通過△AEF∽△ACB，可將線段EF的長求出．
【詳解】
（1）證明：在矩形中，
，
．
由題意，得，．
，
．
又，
四邊形是平行四邊形．
（2）解法1：在中，
，，
．
，
．
在中，
設(shè)，則．
根據(jù)勾股定理，得，
即．
解得，即線段長為；
解法
，，
，
．
，
解得，即線段長為；
20．（2021·山東青島·中考真題）已知：如圖，在矩形和等腰中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．分別連接，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
解答下列問題：

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）設(shè)五邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值；
（4）若與相交于點(diǎn)，分別連接和．在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，
【分析】
（1）先證，得代數(shù)計(jì)算即可；
（2）如圖2中，過點(diǎn)P作PO⊥QM于點(diǎn)O．證明S=S四邊形DQPM+S△DNQ=（PQ+DH）?QM+QN?ND=（HA+DH）?QM+QN?ND=?AD?QM+QN?ND，可得結(jié)論．
（3）如圖3中，延長NQ交BE于點(diǎn)G．根據(jù)PQ=PM，構(gòu)建方程求解即可．
（4）存在．證明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出，，推出，由此構(gòu)建方程求解即可
【詳解】
（1）由題意可得，，，
在矩形中，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：為時(shí)，.

（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
在等腰中，
，，
則.
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，∴.
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，.
∴




.
答：與的函數(shù)關(guān)系式是.

（3）延長交于點(diǎn)，由（1），（2）可得，
，，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
同理可證，四邊形是矩形.
∴，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
答：當(dāng)時(shí)，.

（4）由（2）得，，

∵，，
∴，
∴為矩形，
∴，且.
∴，
∵，
∴，
同理可證，
∴，，
∴，
∴，
∴.
答：在運(yùn)動(dòng)的過程中，存在時(shí)刻，使.
21．（2021·遼寧大連·二模）如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，點(diǎn)E在BC上，且EC＝AC．連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，過點(diǎn)E作EH∥CD交DF的延長線于點(diǎn)H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）求證AD＝EH；
（3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代數(shù)式表示）．


【答案】（1）∠BCD＝∠BAE＋45°，見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）在直角三角形中，兩銳角和為，再利用等腰直角三角形角度的特殊性，通過等量代換即可證明；
（2）添加輔助線后，證明三角形全等得到對(duì)應(yīng)邊相等，得到一個(gè)等腰直角三角形，再利用平行線的性質(zhì)，再次證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)等腰直角三角形腰相等，通過等量代換即可證明；
（3）引進(jìn)未知數(shù)，通過證明三角形相似，得對(duì)應(yīng)邊成比例，通過等量代換把表示出來，即可和相比．
【詳解】
（1）∠BCD＝∠BAE＋45°
證明：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠CDA＝90°
∴∠CAD＋∠ACD＝90°
∵∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°
∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAE＋45°
（2）證明：連接CF，作FN⊥DF，垂足為點(diǎn)F，F(xiàn)N交CD于點(diǎn)N，作EG∥AD，EG與DH交于點(diǎn)G
∵∠ACE＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)
∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE
∴∠AFC＝∠CFE＝90°
∵FN⊥DF，∴∠DFN＝90°
∴∠AFD＋∠AFN＝∠AFN＋∠CFN＝90°∴∠AFD＝∠CFN
∵∠BCD＝∠BAE＋45°，∠FCE＝45°，
∴∠BAE＝∠FCN，∴△ADF≌△CNF
∴FN＝FD
又∵∠DFN＝90°，∴∠FDN＝∠FND＝45°
∵HE∥CD，∴∠H＝∠FDN＝45°
∠ADF＝∠ADC＋∠FDN＝135°
∵EG//AD，∴∠FGD＝∠ADF＝135°
又∵∠AFD＝∠EFG，∴△ADF≌△EGF
∴EG＝AD
∵∠EGH＝180°－∠EGF＝180°－135°＝45°，∴∠H＝∠EGH．
∴EH＝EG．
∴AD＝EH
（3）解：設(shè)AC＝CE＝m，BC＝km，
∴BE＝BC－CE＝（k－1）m
∵∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△ABC
．

∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC，
∴△MCD∽△MEH

又∵CM＋ME＝CE，
．
．



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