考點(diǎn)20 圖形的相似考點(diǎn)總結(jié) 一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．2．比例中項(xiàng)：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．3．比例的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．性質(zhì)2如果=，那么．性質(zhì)3如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．二、相似三角形的判定及性質(zhì)1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．2．性質(zhì)：1）相似三角形的對應(yīng)角相等；2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3．判定：1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．三、相似多邊形1．定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．2．性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．四、位似圖形1．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)． 真題演練  一．選擇題（共10小題）1．（2021?開平區(qū)一模）如圖，在6×8網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)，以O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比為1：2；連接A，A′，C，C′則四邊形AA'C'C的周長（　?。?/span>A．8 B． C． D．【分析】根據(jù)位似圖形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：由題意得：AA′＝2，CC′＝2，A′C′2，AC4，則四邊形AA'C'C的周長＝2+2+2464，故選：D．2．（2021?路南區(qū)一模）如圖，已知△ABC，任取一點(diǎn)O，連AO，BO，CO，分別取點(diǎn)D，E，F，使ODAO，OEBO，OFCO，得△DEF．下列說法中，錯(cuò)誤的是（　?。?/span>A．△DEF與△ABC是位似三角形 B．△OAC與△ODF是位似三角形 C．△DEF與△ABC周長的比是1：3 D．圖中位似的兩個(gè)三角形面積比是1：9【分析】根據(jù)位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、由位似圖形的概念可知：△DEF與△ABC是位似三角形，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、△OAC與△ODF是位似三角形，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、∵△DEF與△ABC周長的比是1：3，∴△DEF與△ABC周長的比是1：3，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、圖中位似的兩個(gè)三角形面積比是1：9或9：1，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．3．（2021?灤南縣二模）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測量校園內(nèi)移動(dòng)信號轉(zhuǎn)播塔AB的高度，他們先在水平地面上一點(diǎn)E放置了一個(gè)平面鏡，鏡子與鐵塔底端B的距離BE＝16m，當(dāng)鏡子與觀測者小芳的距離ED＝2m時(shí)，小芳剛好從鏡子中看到鐵塔頂端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m，鐵塔AB的高度為（　?。ǜ鶕?jù)光的反射原理，∠1＝∠2）A．9m B．12m C．15m D．18m【分析】利用鏡面對稱，注意尋找相似三角形，根據(jù)比例求出AB．【解答】解：由鏡面對稱可知：△CDE∽△ABE，∴，∴，∴AB＝12（米）．故選：B．4．（2021?橋東區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC與矩形OA'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）．若AA'＝2，則CC'的長是（　　）A．3 B．4 C．4.5 D．6【分析】根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為6，進(jìn)而出去矩形OABC與矩形OA'B'C'的位似比為2：3，計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），AA'＝2，∴點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為6，則矩形OABC與矩形OA'B'C'的位似比為2：3，∴點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為812，∴CC'＝12﹣8＝4，故選：B．5．（2021?順平縣二模）如圖，在網(wǎng)格圖中，以D為位似中心，把△ABC放大到原來的2倍，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為（　　）A．O點(diǎn) B．E點(diǎn) C．G點(diǎn) D．F點(diǎn)【分析】根據(jù)位似變換、位似中心的概念解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)G在線段AD的延長線上，且DG＝2AD，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，故選：C．6．（2021?河北模擬）如圖2中的矩形邊長分別是將圖1中的矩形邊長4拉長2x，邊長5拉長x得到的，若兩個(gè)矩形相似（不全等），則x的值是（　?。?/span>A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：由題意，兩個(gè)矩形相似，∴或，解得x＝3或0（0不符合題意舍棄），故選：A．7．（2021?遷西縣模擬）如圖，BE與CD交于點(diǎn)A，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，則DE＝（　?。?/span>A．2 B．3 C．3.5 D．4【分析】證明△CAB∽△EAD，利用對應(yīng)邊成比例，即可解決問題．【解答】解：∵∠C＝∠E，∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△EAD，∴，∴，∴DE＝3，故選：B．8．（2021?遷西縣模擬）如圖，BC∥ED，下列說法不正確的是（　?。?/span>A．兩個(gè)三角形是位似圖形 B．點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心 C．點(diǎn)B與點(diǎn)D、點(diǎn)C與點(diǎn)E是對應(yīng)位似點(diǎn) D．AC：AB是相似比【分析】根據(jù)位似圖形的概念、位似中心的概念判斷即可．【解答】解：A、∵BC∥ED，∴△ADE∽△ABC，且兩個(gè)三角形對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，∴兩個(gè)三角形是位似圖形，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、點(diǎn)B與點(diǎn)D、點(diǎn)C與點(diǎn)E是對應(yīng)位似點(diǎn)，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、AD：AB是相似比，故本選項(xiàng)說法不正確，符合題意；故選：D．9．（2021?河北）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（　?。?/span>A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O作ON⊥AB，垂足為N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO，即相似比為，∴，∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），∴，∴AB＝3cm，故選：C．10．（2021?石家莊模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），則其對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（　?。?/span>A．（4，8） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）【分析】根據(jù)以原點(diǎn)為位似中心的位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是關(guān)于原點(diǎn)O的位似圖形，相似比等于，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2×2，4×2）或（2×（﹣2），4×（﹣2）），即（4，8）或（﹣4，﹣8），故選：D．二．填空題（共5小題）11．（2021?河北模擬）清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個(gè)全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法證明了勾股定理（如圖），連接DM并延長交AB于點(diǎn)N，已知AB＝10，BC＝6，（1）CM＝　2　；（2）BN＝　　．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出AC，進(jìn)而解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）由題意可知，四個(gè)全等的直角三角形，∴AM＝BC，∵AB＝10，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AC，∴CM＝AC﹣AM＝AC﹣BC＝8﹣6＝2；故答案為：2；（2）過M作MF⊥AB于F，在△AMF與△ABC中，∠ACB＝∠AFM＝90°，∠MAF＝∠BAC，∴△AMF∽△ABC，∴，∴，∴，，設(shè)BN為x，則AN為10﹣x，∴，在△NMF和△NDB中，∠NMF＝∠NDB，∠MFN＝∠DBN＝90°，∴△NMF∽△NDB，∴，即，∴x，∴BN．故答案為：．12．（2021?河北模擬）如圖，在Rt△ABC的直角邊AC上有一任意點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)P作一條直線，將△ABC分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，則所得到的三角形與原三角形相似的直線最多有　4　條．【分析】過點(diǎn)P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)等于△ABC的另一個(gè)角即可．【解答】解：如圖所示，①過點(diǎn)P作AB的垂線段PD，則△ADP∽△ACB；②過點(diǎn)P作BC的平行線PE，交AB于E，則△APE∽△ACB；③過點(diǎn)P作AB的平行線PF，交BC于F，則△PCF∽△ACB；④作∠PGC＝∠A，則△GCP∽△ACB．故答案為：4．13．（2021?唐山一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為BC邊的中點(diǎn)，DE、AC相交于點(diǎn)F，若△CEF的面積為6，則△ADF的面積為 　24　．【分析】根據(jù)E為BC邊的中點(diǎn)可得出CE和AD的比，進(jìn)而根據(jù)面積比等于相似比的平方可得出△ADF的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，E為BC邊的中點(diǎn)，∴，∴S△CFE：S△ADF＝1：4，又∵△CEF的面積為6，∴△ADF的面積為24．故答案為：24．14．（2020?東營）如圖，P為平行四邊形ABCD邊BC上一點(diǎn)，E、F分別為PA、PD上的點(diǎn)，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別記為S、S1、S2．若S＝2，則S1+S2＝　18　．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出△PAD的面積即可解決問題．【解答】解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，∴，∴EF∥AD，∴△PEF∽△PAD，∴（）2，∵S△PEF＝2，∴S△PAD＝18，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△PADS平行四邊形ABCD，∴S1+S2＝S△PAD＝18，故答案為18．15．（2020?路北區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AC上．（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于點(diǎn)E；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）若BC＝5，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則DE的長為　　．【分析】（1）利用基本作圖，作∠ADE＝∠ACB即可；（2）先利用平行線的判定得到DE∥BC，則判斷DE為△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求解．【解答】解：（1）如圖：∠ADE為所作；（2）∵∠ADE＝∠ACB，∴DE∥BC，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DEBC．故答案為：．三．解答題（共3小題）16．（2021?安次區(qū)一模）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）求證：△BDP∽△CPE．（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值．（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)請用BP表示BD，并求出BD的最大值．【分析】（1）由∠DPE＝60°知道∠DPB+∠EPC＝120°，然后利用等邊三角形的內(nèi)角為60°知∠BDP+∠DPB＝120°，從而得到∠BDP＝∠EPC，再結(jié)合∠B＝∠C＝60°，得證三角形相似；（2）由△PDE為正三角形知DP＝EP，結(jié)合（1）所得的三角形相似，得到三角形全等，從而得到BD+CE的值；（3）利用平行線的性質(zhì)得到BD＝CE，再利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于BD和BP的比例關(guān)系，再化簡得到結(jié)果，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．【解答】（1）證明：∵∠DPE＝60°，∴∠DPB+∠EPC＝120°，∵等邊三角形ABC的內(nèi)角為60°，∴∠BDP+∠DPB＝120°，∴∠BDP＝∠EPC，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDP∽△CPE．（2）解：∵△PDE為正三角形，∴DP＝EP，∵△BDP∽△CPE，∴△BDP≌△CPE，∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8．（3）解：∵DE∥BC，∴BD＝CE，∵△BDP∽△CPE，∴，∴，∴BD，∴BP4時(shí)，BD最大值4．17．（2021?順平縣二模）如圖，B、D為線段AH上兩點(diǎn)，△ABC、△BDE和△DGH都是等邊三角形，連接CE并延長交AH的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G恰好在CF上，△ABC的外接圓⊙O交CF于點(diǎn)M．（1）求證：AC2＝CM?CF．（2）設(shè)等邊△ABC、△BDE和△DGH的面積分別為S1，S2，S3.試判斷S1，S2，S3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）連接MB，易證∠CMB＝∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得證；（2）由題意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證．【解答】解：（1）連接MB，如圖，則∠CMB＝180°一∠A＝120°．∵∠CBF＝60°+60°＝120°．∴∠CMB＝∠CBF．∵∠BCM＝∠FCB，∴△CMB∽△CBF，∴，即CB2＝CM?CF，∵AC＝CB，∴AC2＝CM?CF，（2）S1，S2，S3之間的數(shù)量關(guān)系為；理由：由題意可得AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，∴，∵，，∴，即，∴所以所求的數(shù)量關(guān)系是．18．（2021?古冶區(qū)一模）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC＝6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段CN上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M．（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的長；（提示：過點(diǎn)P作PE⊥OA）（2）當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形，①證明：是定值；②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍．【分析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，先求出PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，進(jìn)而求出PE，ME，進(jìn)而求出CE，最后用勾股定理即可得結(jié)論；（2）①設(shè)OM＝x，ON＝y，判斷出△NQP∽△NOC，得出，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，得出S1＝OM?PE，S2OC?NF，進(jìn)而得出，再判斷出△CPM∽△CNO，得出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E．∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四邊形OMPQ為平行四邊形，∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，∴PE＝PM?sin60°，ME，∴CE＝OC﹣OM﹣ME，由勾股定理得； （2）①證明：設(shè)OM＝x，ON＝y，∵四邊形OMPQ為菱形，∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y﹣x，∵PQ∥OA，∴△NQP∽△NOC，∴，即，∴6y﹣6x＝xy，兩邊都除以6xy，得，即； ②如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，則S1＝OM?PE，S2OC?NF，∴，∵PM∥OB，∴△CPM∽△CNO．∴，∴，∵0＜x＜6，∴．

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