課時跟蹤檢測（五十六）  最值與范圍、證明問題1．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(a，2)在拋物線C上．(1)若|MF|＝6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線x＋y＝t與拋物線C交于A，B兩點，點N的坐標(biāo)為(1,0)，且滿足NA⊥NB，原點O到直線AB的距離不小于，求p的取值范圍．解：(1)由題意及拋物線的定義得，a＋＝6，又點M(a，2)在拋物線C上，所以20＝2pa，由解得或所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝20x.(2)聯(lián)立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.因為NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，又y1＝t－x1，y2＝t－x2，所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝.由原點O到直線AB的距離不小于，得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2，因為2p＝＝t＋1＋－4，函數(shù)y＝在t∈[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以p≥，即p的取值范圍為.2．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當(dāng)BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.(1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.解：(1)當(dāng)|BF|＝|AF|，且BF⊥AF時，有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.(2)證明：由(1)知雙曲線方程為－＝1，設(shè)B(x，y)(x＞0，y＞0)易知漸近線方程為y＝±x，所以∠BAF∈，∠BFA∈，當(dāng)x>a，x≠2a時，則kAB＝，kBF＝.設(shè)∠BAF＝θ，則tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA.因為2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.當(dāng)x＝2a時，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，故∠BFA＝2∠BAF.綜上，∠BFA＝2∠BAF.3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點坐標(biāo)為A(0，－1)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線y＝k(x－1)(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B(1,0)，求證：點M不在以AB為直徑的圓上．解：(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)．由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，則Δ＝(－8k2)2－4×(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16，當(dāng)k為任何實數(shù)時，都有Δ>0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.因為線段PQ的中點為M，所以x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝.因為A(0，－1)，B(1,0)，所以＝(x0，y0＋1)，＝(x0－1，y0)．所以·＝x0(x0－1)＋y0(y0＋1)＝x－x0＋y＋y0＝2－＋2＋＝＝＝.因為k≠0,42＋>0，所以·≠0，所以點M不在以AB為直徑的圓上．4．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標(biāo)原點．(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．解：(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率e＝＝－1.(2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16， ①x2＋y2＝c2， ②＋＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.當(dāng)b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P.所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)．5．(2021·淄博檢測)如圖，已知拋物線x2＝y.點A，B，拋物線上的點P(x，y)，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)設(shè)直線AP的斜率為k，k＝＝x－，因為－<x<，所以直線AP斜率的取值范圍是(－1,1)．(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標(biāo)是xQ＝.因為|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，則f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以 f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以f(k)max＝f＝，因此當(dāng)k＝時，|PA|·|PQ|取得最大值. 

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