課時(shí)跟蹤檢測(cè)（五十五）  圓錐曲線(xiàn)幾何特征的轉(zhuǎn)化1．已知橢圓M：＋＝1，點(diǎn)F1，C分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)l(不與x軸重合)交橢圓M于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓M的離心率及短軸長(zhǎng)．(2)問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)B在以線(xiàn)段AC為直徑的圓上？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題意知，橢圓M的離心率e＝＝，短軸長(zhǎng)2b＝2.(2)設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，由題意知點(diǎn)F1(－1,0)，C(－2，0)．假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l，則BC⊥BF1，即BC·BF1＝0，得(－2－x0，－y0)·(－1－x0，－y0)＝0，即(x0＋2)(x0＋1)＋y＝0.①又知點(diǎn)B(x0，y0)滿(mǎn)足＋＝1. ②聯(lián)立①②，解得x0＝－2或x0＝－10.由橢圓方程知，x0＝－2或x0＝－10均不滿(mǎn)足題意，故舍去．因此，不存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)B在以線(xiàn)段AC為直徑的圓上．2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線(xiàn)l：x＝4的距離是到點(diǎn)F(1,0)距離的2倍，記點(diǎn)P的軌跡為        曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)記曲線(xiàn)C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，Q(4,0)，設(shè)M是直線(xiàn)x＝1上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB與曲線(xiàn)C的另一交點(diǎn)分別為D，E.求證：Q，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)．解：(1)動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l：x＝4的距離是到點(diǎn)F(1,0)距離的2倍，設(shè)點(diǎn)P(x，y)．則＝2，化簡(jiǎn)得＋＝1.故曲線(xiàn)C的方程為＋＝1.(2)證明：由(1)可得A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)M(1，m)．直線(xiàn)MA的方程為y＝(x＋2)，與橢圓方程＋＝1聯(lián)立化簡(jiǎn)得(4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0.則－2xD＝，可得xD＝，yD＝.同理可得：xE＝，yE＝.∴kQD＝＝－，kQE＝＝－，∴kQD＝kQE.∴Q，D，E三點(diǎn)共線(xiàn)．3．(2021·福州一模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(－1,0)，過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)M(－4,0)，過(guò)F作直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，證明：∠FMA＝∠FMB.解：(1)由題意可知c＝1，把x＝－1代入橢圓方程可得＋＝1，解得y＝±，∴＝，又a2＝b2＋1，可得a＝2，b＝，∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知：∠FMA＝∠FMB.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，∴kAM＋kBM＝＋＝＝.∵2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，∴kAM＋kBM＝0，∴∠FMA＝∠FMB.綜上，∠FMA＝∠FMB.4．(2021·北京西城區(qū)高三模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,1)，離心率為.O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，D為橢圓E上一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)P，Q為直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且·＝4，求證：C，B，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．解：(1)由題意，得b＝1，＝.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝.故橢圓E的方程為＋y2＝1.(2)證明：A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)D(x0，y0)(x0y0≠0)，則＋y＝1.因?yàn)?/span>C(0,1)，所以直線(xiàn)CD的方程為y＝x＋1，令y＝0，得x＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)Q(xQ，yQ)，由·＝4，得xQ＝(顯然xQ≠±2)．直線(xiàn)AD的方程為y＝(x＋2)，將xQ代入直線(xiàn)AD的方程，得yQ＝，即Q.顯然直線(xiàn)BQ的斜率存在，且kBQ＝＝＝＝＝－.又直線(xiàn)BC的斜率kBC＝－，所以kBC＝kBQ，即C，B，Q三點(diǎn)共線(xiàn)．5．已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且|AB|＝8，求直線(xiàn)l的方程；(2)已知點(diǎn)E(－2,0)，若直線(xiàn)l不與坐標(biāo)軸垂直，且∠AEO＝∠BEO，證明：直線(xiàn)l過(guò)     定點(diǎn)．解：(1)焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線(xiàn)l不垂直于x軸，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋1，與y2＝4x聯(lián)立得y2－4my－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|AB|＝ ＝ ＝4(1＋m2)，由|AB|＝8，解得m＝±1, 所以直線(xiàn)l的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線(xiàn)l的方程為x＝my＋b(m≠0)，與y2＝4x聯(lián)立得y2－4my－4b＝0，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b.由∠AEO＝∠BEO得kEA＝－kEB，即＝－，整理得y1x2＋2y1＋x1y2＋2y2＝0，即y1(my2＋b)＋2y1＋(my1＋b)y2＋2y2＝0，整理得2my1y2＋(b＋2)(y1＋y2)＝0, 即－8bm＋4(b＋2)m＝0，即b＝2.故直線(xiàn)l的方程為x＝my＋2，過(guò)定點(diǎn)(2,0)． 

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