課時(shí)跟蹤檢測（五十四）  拋物線[素養(yǎng)落實(shí)練]1．若拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，則m＝(　　)A．2　　　　　　　　 　  B．4C．±2  D．±4解析：選C　由題意得＝1，m＝±2.2．若拋物線x2＝4y上的點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為5，則n＝(　　)A.  B.C．3  D．4解析： 選D　拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義可知，5＝n＋1，得n＝4，故選D.3．(多選)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，FM的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則(　　)A．C的準(zhǔn)線方程為x＝－4B．F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)C．|FN|＝12D．三角形ONF的面積為16(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解析：選ACD　如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)F′，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A.由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x＝－4，F點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)，則|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位線|MB|＝＝6，由拋物線的定義有|MF|＝|MB|＝6，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故選A、C、D.4．圓O：x2＋y2＝r2與拋物線Γ：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，與Γ的準(zhǔn)線交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD為矩形，則該矩形的面積為(　　)A．2  B．4C．8  D．16解析：選C　因?yàn)?/span>CD在準(zhǔn)線上，根據(jù)矩形的對稱性可得AB過焦點(diǎn)F，則|AF|＝|DA|且AF⊥x軸，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，從而|AB|＝4，故矩形的面積為2×4＝8.5．(2020·全國卷Ⅲ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A.  B.C．(1,0)  D．(2,0)解析：選B　將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得y＝±2，不妨設(shè)D(2,2)，E(2，－2)．由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.6．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過焦點(diǎn)F且斜率為 的直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N兩點(diǎn)，則S△MFN等于(　　)A.p2  B.p2C.p2   D.p2解析：選B　不妨設(shè)P在第一象限，過Q作QR⊥PM，垂足為R，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，如圖．∵直線PQ的斜率為，∴直線PQ的傾斜角為60°.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝＋＝＝p.在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝，∴|QR|＝|PQ|·sin∠RPQ＝p×＝p，由題意可知|MN|＝|QR|＝p，∴S△MFN＝|MN|·|FE|＝×p×p＝p2.故選B.7．已知拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，圓M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與圓M相切，那么p的值為________．解析：將圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4,0)，半徑r＝2，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以＝2，解得p＝12或4.答案：12或48．已知點(diǎn)A(0,1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)為F，連接FA，與拋物線C相交于點(diǎn)M，延長FA，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，則實(shí)數(shù)a的值為______．解析：依題意得拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，過M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|.因?yàn)?/span>|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝∶1，又kFN＝＝－，kFN＝－＝－，所以－＝－，解得a＝.答案：9．(2021·成都測試)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F作傾斜角為120°的直線與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)A，線段AF與拋物線C相交于點(diǎn)B，且|AB|＝，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：如圖，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E，則|DF|＝p.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFD＝∠ABE＝60°，所以∠EAB＝30°.因?yàn)?/span>|AB|＝，所以|BE|＝|AB|＝.由拋物線的定義知|BE|＝|BF|，所以|AF|＝|AB|＋|BF|＝|AB|＋|BE|＝2，所以|DF|＝|AF|＝1，即p＝1，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x.答案：y2＝2x10．設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C點(diǎn)，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝________.解析：設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋.由y2＝4x，得p＝2，因?yàn)?/span>|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，則y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，則y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝.過點(diǎn)A作AA′垂直于準(zhǔn)線x＝－1，垂足為A′，過點(diǎn)B作BB′垂直于準(zhǔn)線x＝－1，垂足為B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝.又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝.答案：11．(2021·昆明模擬)設(shè)拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，M(p，p－1)是C上的點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋2與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|·|BF|＝13，求k的值．解：(1)因?yàn)?/span>M(p，p－1)是拋物線C上的點(diǎn)，所以p2＝2p(p－1)，因?yàn)?/span>p＞0，所以p＝2，因此拋物線C的方程為x2＝4y.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32＞0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－8.由拋物線的定義知，|AF|＝y1＋1＝kx1＋3，|BF|＝y2＋1＝kx2＋3，則|AF|·|BF|＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，解得k＝±1.12．已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解：設(shè)直線l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－.從而－＝，得t＝－.所以l的方程為y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝. [梯度拔高練]1. (多選)如圖，過點(diǎn)P(2,0)作兩條直線x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分別交拋物線y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x軸上方)，直線AC，BD交于點(diǎn)Q.則下列說法正確的是(　　)A．C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為－4B．點(diǎn)Q在定直線x＝－2上C．點(diǎn)P與拋物線上各點(diǎn)的連線中，PA最短D．無論CD旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終有∠CQP＝∠BQP解析：選AB　設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，將直線l的方程x＝my＋2代入拋物線方程y2＝2x得：y2－2my－4＝0.則y1y2＝－4，故A正確；由題得A(2,2)，B(2，－2)，直線AC的方程為y－2＝(x－2)，直線BD的方程為y＋2＝(x－2)，消去y得x＝，將y1y2＝－4代入上式得x＝－2，故點(diǎn)Q在直線x＝－2上，故B正確；設(shè)拋物線y2＝2x的任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則MP＝ ＝ .當(dāng)a2＝2時(shí)，MP取得最小值，又PA＝2>，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>PA＝PB，但QA≠QB，所以D錯(cuò)誤．2．(2020·衡水質(zhì)檢)已知曲線C由拋物線y2＝2x及拋物線y2＝－2x組成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲線C上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)(A，B，M，N四點(diǎn)不共線，且點(diǎn)M在第一象限)，則四邊形ABNM周長的最小值為(　　)A．2＋  B．1＋C．3  D．4解析：選B　設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，則四邊形ABNM的周長：l＝|AB|＋2|AM|＋2xM＝2＋2|AM|＋2|MF|－1≥1＋2|AF|＝1＋，當(dāng)A，M，F共線時(shí)取等號． 3.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a＜b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過C，F兩點(diǎn)，則＝________.解析：依題知C，F，因?yàn)辄c(diǎn)C，F在拋物線上，所以兩式相除得2－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)．答案：1＋4．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：如圖，設(shè)C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，則＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0.∴x＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)5．(2020·全國卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)．若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：(1)由已知可設(shè)C2的方程為y2＝4cx，其中c＝ .不妨設(shè)A，C在第一象限，由題設(shè)得A，B的縱坐標(biāo)分別為，－；C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，所以|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－22.解得＝或＝－2(舍去)．所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.設(shè)M(x0，y0)，則＋＝1，y＝4cx0，所以＋＝1. ①由于C2的準(zhǔn)線為x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，所以x0＝5－c.將上式代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x. 

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