課時(shí)跟蹤檢測（五十八）  圓錐曲線與圓、向量的綜合1．(2021·菏澤模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，以M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1為頂點(diǎn)的梯形的高為，面積為3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B為橢圓C上的任意兩點(diǎn)，若直線AB與圓O：x2＋y2＝相切，求△AOB面積的取值范圍．解：(1)由題意得b＝，等腰梯形MNF2F1的面積為×＝3，則a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1，所以橢圓方程為＋＝1.(2)當(dāng)圓O的切線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，切點(diǎn)為H，連接OH，則OH⊥AB.聯(lián)立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝.又因?yàn)橹本€AB與圓O相切，所以點(diǎn)O到直線AB的距離d＝＝ ＝，得m2＝，|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·＝ ＝ .①當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)?/span>16k2＋24＋≥2＋24＝48，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時(shí)，等號成立，所以|AB|≤ ＝.易知|AB|>，所以<|AB|≤ .②當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝，由①②可知≤|AB|≤.又d＝，所以S△AOB＝|AB|·d＝|AB|∈.當(dāng)圓O的切線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝±，代入橢圓方程，可得|AB|＝，則S△AOB＝××＝.綜上可知，△AOB面積的取值范圍為.2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)；當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F2時(shí)，△F1PQ的周長為4，且l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)M為△POQ內(nèi)一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足＋＋＝0，若點(diǎn)M恰好在圓O：x2＋y2＝上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)由題意知4a＝4，∴a＝，直線AF2的方程為y＝(x－c)．設(shè)直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為，則解得c＝1或c＝2(舍去)，∴b2＝1.故橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵＋＋＝0，∴點(diǎn)M為△POQ的重心，∴M.∵點(diǎn)M在圓O：x2＋y2＝上，∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，又Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，∴1＋2k2>m2.∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝2＋2＝4，整理得m2＝.又1＋2k2>m2，∴1＋2k2>，解得k≠0，∴m2＝＝1＋＝1＋>1，解得m>1或m<－1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．已知點(diǎn)E在橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上，以E為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn)F2，與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABE是邊長為2的正三角形．(1)求橢圓C的方程．(2)已知圓O：x2＋y2＝，設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，問：|PM|·|PN|是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．解：(1)由題意可知EF2⊥x軸，則E，又△ABE是邊長為2的正三角形，則解得a2＝9，b2＝6，所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)當(dāng)過點(diǎn)P且與圓O相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為x＝ ，由(1)知，M，N，＝，＝，∴·＝0，∴OM⊥ON，此時(shí)|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.當(dāng)過點(diǎn)P且與圓O相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線方程為y＝kx＋m.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＝ ，即5m2＝18(k2＋1)．聯(lián)立得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－18＝0，得Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝＝0，∴OM⊥ON，∴|PM|·|PN|＝|OP|2＝r2＝.綜上所述，|PM|·|PN|＝為定值．4．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積．解：(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1.因?yàn)?/span>y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.所以直線AB過定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2(t2＋1)．設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1＝，d2＝.因此，四邊形ADBE的面積S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.因?yàn)?/span>⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.當(dāng)t＝0時(shí)，S＝3；當(dāng)t＝±1時(shí)，S＝4.所以四邊形ADBE的面積為3或4.5．(2021·石家莊模擬)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)和圓C2：x2＋y2＝r2(r>0)，F1，F2分別為橢圓C1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)B(0，)在橢圓C1上，當(dāng)直線BF1與圓C2相切時(shí)，r＝.(1)求橢圓C1的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k>0，m>0)與x軸交于點(diǎn)Q，且與橢圓C1和圓C2都相切，切點(diǎn)分別為M，N，記△F1F2M和△QF2N的面積分別為S1和S2，求的最小值．解：(1)由題意可知b＝. ①設(shè)F1(－c,0)，則由BF1與圓C2相切時(shí)，r＝，得＝，即c＝. ②將①②代入a2＝b2＋c2解得a＝2.所以橢圓C1的方程為＋＝1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，將y＝kx＋m代入＋＝1得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由直線l與橢圓C1相切得Δ＝0，即m2＝4k2＋3，且則△F1F2M的面積S1＝|F1F2|·y1＝.由直線l與圓C2相切，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON：y＝－x，與y＝kx＋m聯(lián)立得直線l：y＝kx＋m(k>0，m>0)與x軸交于點(diǎn)Q，則Q.則△QF2N的面積S2＝|QF2|·y2＝.從而＝＝2k＋≥2當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)等號成立，所以的最小值為2. 

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