課時(shí)跟蹤檢測(cè)（五十二）  直線與橢圓的位置關(guān)系[素養(yǎng)落實(shí)練]1．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．至多為1　　　　　　　 B．2C．1  D．0解析：選B　由題意知＞2，即＜2，∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.2．已知橢圓＋＝1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為(　　)A.  B．－C．2  D．－2解析：選B　設(shè)弦所在直線的斜率為k，弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，由兩式相減，得＋＝0，所以＝－，所以k＝＝－.經(jīng)檢驗(yàn)，k＝－滿足題意．故弦所在直線的斜率為－.3．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　)A.   B.C.   D.解析：選B　由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，，不妨設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)yA＝－2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB＝，則S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故選B.4．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于(　　)A．－3  B．－C．－或－3  D．±解析：選B　依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，－1)，，所以·＝－.同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·＝－.5．(多選)已知點(diǎn)P是橢圓C：＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：(x＋1)2＋y2＝上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，則(　　)A．橢圓C的離心率為B．橢圓C中以M為中點(diǎn)的弦所在直線方程為6x＋24y－11＝0C．圓D在橢圓C的內(nèi)部D．PQ的最小值為解析：選ABC　對(duì)于A，由橢圓C：＋y2＝1得a＝，b＝1，c＝＝，則離心率為＝＝，故A正確；對(duì)于B，設(shè)以M為中點(diǎn)的弦交橢圓于點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，則＝，＝，＋y＝1，＋y＝1，兩式相減得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，則可得＝－，即斜率為－，則直線方程為y－＝－，整理得6x＋24y－11＝0，故B正確； 對(duì)于C，設(shè)P(x，y)(－≤x≤)，則|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝2＋>，所以圓D在橢圓C的內(nèi)部，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可得|PQ|的最小值為 － ＝，故D錯(cuò)誤．6．過點(diǎn)M(－2,0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為________．解析：過點(diǎn)M(－2,0)的直線m的方程為y－0＝k1(x＋2)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以點(diǎn)P，直線OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.答案：－7.如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓＋＝1(0＜b＜5)的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，F為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF的方程為x＋y－4＝0，且·＝0，設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，則橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值為________．解析：依題意得直線AP的方程為x－y＋5＝0，直線PF與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25－16＝9，即橢圓方程為＋＝1.設(shè)M(m,0)(－5≤m≤5)，則M到直線AP的距離為，又|MB|＝|5－m|，∴＝|5－m|，∵－5≤m≤5，∴＝5－m，解得m＝3，∴M(3,0)．設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)(x∈[－5,5])到M(3,0)的距離為d，則d2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋9＝x2－6x＋18＝2＋，∵x∈[－5,5]，∴當(dāng)x＝時(shí)，d2最小，此時(shí)dmin＝.答案：8．已知橢圓C：＋＝1，過橢圓C上一點(diǎn)P(1，)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA，PB，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為________．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，同時(shí)設(shè)PA的方程為y－＝k(x－1)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，顯然1和x1是這個(gè)方程的兩解，因此x1＝，y1＝.由－k代替x1和y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝.故直線AB的斜率為.答案：9．(2021·湖南名校一聯(lián))順次連接橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為2的菱形．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)Q(0，－2)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，kOA·kOB＝－1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|AB|.解：(1)由題可知，2ab＝2，a2＋b2＝3，解得a＝，b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，明顯不符合題意，故設(shè)l的方程為y＝kx－2，將其代入方程＋y2＝1 ，整理得(1＋2k2)x2－8kx＋6＝0.由Δ＝64k2－24(2k2＋1)＞0，解得k2＞，所以x1＋x2＝，x1x2＝.則kOA·kOB＝＝＝－1，解得k2＝5.所以|AB|＝＝.10．(2021·張家口模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.又橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(2,1)，∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為＋＝1.(2)設(shè)l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.則|AB|＝ ×＝.又點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝，∴S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，即m＝±時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S△PAB取得最大值．∴△PAB面積的最大值為2. [梯度拔高練]1.如圖，過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若<k<，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.解析：選C　由題意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又<k<，所以<<，化簡(jiǎn)可得<<，解得<e<，故選C.2．(多選)已知F1，F2是橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M，N是左、右頂點(diǎn)，e為橢圓C的離心率，過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若·＝0，3＝2，|AF1|＝2|AF2|，設(shè)直線AB的斜率為k，直線AM和直線AN的斜率分別為k1，k2，直線BM和直線BN的斜率分別為k3，k4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　)A．e＝  B．k＝C．k1·k2＝－  D．k3·k4＝解析：選AC　∵·＝0，∴AF1⊥BF1，過點(diǎn)F2作F1B的平行線，交AF1于點(diǎn)E，∴AF1⊥EF2.設(shè)|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，又3＝2，∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，b)．在△EF1F2中，|EF1|＝|AF1|＝，|EF2|＝|BF1|＝，|F1F2|＝2c，∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，∴c＝，b＝＝，橢圓離心率e＝＝，故A正確；k＝＝2，故B錯(cuò)誤；設(shè)A(x，y)，易得M(－a,0)，N(a,0)，則k1·k2＝·＝＝＝－＝－，故C正確；同理k3·k4＝－＝－，故D錯(cuò)誤．3．(2020·廣東七校聯(lián)考)已知橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，焦距為2c，直線l：y＝x與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2c，則橢圓C的離心率為________．解析：設(shè)直線l與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A(x1，y1)，則y1＝x1，由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即＝c，所以x1＝c，所以A.把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程得＋＝1，又a2＝b2＋c2，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝.答案：4．已知直線l經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)(1,0)，交橢圓C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點(diǎn)M，N，|MN|2＝4|AB|，求證：直線m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上．解：(1)由已知，得∴∴b2＝3，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)證明：若直線l的斜率不存在，則直線m的斜率也不存在，這與直線m與直線l相交于點(diǎn)P矛盾，∴直線l的斜率存在．設(shè)l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN)．將直線m的方程代入橢圓方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，∴xM＋xN＝－，xMxN＝，∴|MN|2＝(1＋k2)·.同理，|AB|＝·＝.由|MN|2＝4|AB|得t＝0，此時(shí)，Δ＝64k4t2－16(3＋4k2)(k2t2－3)＞0，∴直線m：y＝－kx，∴P，即點(diǎn)P在定直線x＝上． 

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