課時跟蹤檢測（五十三）  雙曲線[素養(yǎng)落實練]1．雙曲線－x2＝1的漸近線方程為(　　)A．y＝±4x　　　　　 B．y＝±xC．y＝±2x  D．y＝±x解析：選C　由題意可知，雙曲線－x2＝1的漸近線方程為y＝±2x.2．(2021·青島期末)已知離心率為2的雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與橢圓＋＝1有公共焦點，則雙曲線的方程為(　　)A.－＝1   B.－＝1C．x2－＝1   D.－y2＝1解析：選C　∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與橢圓＋＝1有公共焦點，由橢圓＋＝1可得c2＝8－4＝4，∴c＝2，∵雙曲線離心率e＝＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴雙曲線的方程為：x2－＝1.3．(多選)設方程＋＝1表示的曲線為C，則下列判斷正確的是(　　)A．當1<t<4時，曲線C表示橢圓B．當t>4或t<1時，曲線C表示雙曲線C．若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<t<D．若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則t>4解析：選BCD　由4－t＝t－1，得t＝，此時方程＋＝1表示圓，故A選項錯誤．由雙曲線的定義可知(4－t)(t－1)<0，即t<1或t>4時，方程＋＝1表示雙曲線，故B選項正確．由橢圓的定義可知，當橢圓焦點在x軸上時，滿足4－t>t－1>0，解得1<t<，故C選項正確．當曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線時，則解得t>4，故D選項正確．綜上所述，正確的選項為B、C、D.4．(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)A.                               B.C．2                               D.解析：選A　設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標為(c,0)．由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2＋2＝a2，故＝，即e＝.5．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的點，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，則C的漸近線方程為(　　)A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±2x解析：選C 　依題意，四邊形MF1NF2為平行四邊形，因為||＝3||，且|MF1|－|MF2|＝2a, 故|MF2|＝a，而x＋y＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，則(2b)2＋a2＝(3a)2，則b2＝2a2，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.6．已知圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)A．(1，)  B．(1,2)C．(，＋∞)  D．(2，＋∞)解析：選D　由題意，圓心(1,0)到切線的距離d＝＝，解得k＝±，因為圓(x－1)2＋y2＝的一條切線y＝kx與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)有兩個交點，所以＞，所以e2＝1＋＞4，所以e＞2.7．(多選)(2020·江蘇如皋中學月考)設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則下列說法正確的是(　　)A．|F2P|＝bB．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為y＝±xD．點P在直線x＝a上解析：選ABD　由雙曲線的性質可知，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，設焦點F1(－c,0)，F2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，因為過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，所以|F2P|＝＝＝b，故A正確；因為|OP|＝＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，在三角形OPF1中，根據(jù)余弦定理可知cos∠F1OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即離心率e＝或e＝－(舍去)，故B正確；因為e＝ ＝，解得＝，所以漸近線的方程為y＝±x，故C錯誤；因為點P在直線y＝x上，可設P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D正確．8．已知直線l與雙曲線－y2＝1相切于點P，l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M，N兩點，O為坐標原點，則·＝(　　)A．3  B．4C．5  D．與P的位置有關解析：選A　設切點P(x0，y0)，則－y＝1，切線l的方程為x0x－y0y＝1.由題意知該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，不妨設M為直線l與漸近線y＝x的交點，由得即交點M，，同理可得N，所以·＝＝＝3，故選A.9．(2020·全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為(　　)A．4  B．8C．16  D．32解析：選B　由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x.因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B.10．(2021·寧波一模)在平面直角坐標系xOy中，以點F1(4,0)，F2(8,9)為焦點的動橢圓與雙曲線－＝1的右支有公共點，則橢圓通徑的最小值為________．解析：依題意知，F1(4,0)為雙曲線的右焦點，設雙曲線的左焦點為F，則F(－4,0)，設點P為兩曲線的交點，則由雙曲線及橢圓的定義可知，|PF|－|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，則|PF|＋|PF2|＝2a＋4≥|FF2|＝＝15，所以有a≥.所以橢圓的通徑為＝＝2a－，這里2c＝|F1F2|＝＝，所以由函數(shù)的單調性可知，當a＝時，橢圓的通徑最小，最小值為11－＝.答案： 11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)，點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：·＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)因為e＝，則雙曲線的實軸、虛軸相等．所以可設雙曲線方程為x2－y2＝λ.因為雙曲線過點(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：設＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因為M點在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.(3)因為△F1MF2的底邊長F1F2＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，一條漸近線方程為2x＋y＝0，且焦點到這條漸近線的距離為1.(1)求此雙曲線的方程；(2)若點M在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上．解：(1)依題意得解得故雙曲線的方程為－x2＝1.(2)證明：因為點M在雙曲線上，所以－＝1.所以m2＝，又雙曲線－x2＝1的焦點為F1(0，－)，F2(0，)，所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，所以MF1⊥MF2，所以點M在以F1F2為直徑的圓上． [梯度拔高練]1．(2021·黃石模擬)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是雙曲線C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(　　)A.　　　　 B.C.   D.解析：選A　由題意知a＝，b＝1，c＝，設F1(－，0)，F2(，0)，則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，解得－<y0<.2．已知O為坐標原點，設F1，F2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　)A．1  B．2C．4   D．解析：選A如圖，延長F1H交PF2于點Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，從而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH為中位線，所以|OH|＝1.故選A. 3．已知F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，過F2且傾斜角為銳角α的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，記△AF1F2的內切圓半徑為r1，△BF1F2的內切圓半徑為r2，若＝3，則α的值為(　　)A．75°  B．30°C．45°  D．60°解析：選D　如圖，記△AF1F2的內切圓圓心為C，內切圓在邊AF1，AF2，F1F2上的切點分別為M，N，E，易知C，E兩點橫坐標相等，|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|F1M|－(|AN|＋|F2N|)＝2a，得|F1M|－|F2N|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，記C點的橫坐標為x0，則E(x0,0)，則x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a.記△BF1F2的內切圓圓心為D，同理得點D的橫坐標也為a，則CD⊥x軸，由題意知∠DF2O＝，∠CF2O＝90°－，在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan＝，在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，所以＝＝3，即tan＝，所以α＝60°，故選D.4.青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一．如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面．若該花瓶的最小直徑為16 cm，瓶口直徑為20 cm，瓶高20 cm，則該雙曲線的離心率為________．解析：以花瓶最細處所在直線為x軸，花瓶的豎直對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)．由題意可知a＝8，圖中的A點坐標為(10,10)．將a＝8，(10,10)代入雙曲線方程，可得b＝，所以＝，所以e＝ ＝.答案：5．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標原點．(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·＞2，求k的取值范圍．解：(1)設雙曲線C2的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故雙曲線C2的方程為－y2＝1.(2)將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得所以k2＜1且k2≠.                                 ①設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又因為·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，所以＞2，即＞0，解得＜k2＜3.                    ②由①②得＜k2＜1，故k的取值范圍為∪.  

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