課時跟蹤檢測（五十一）  橢圓及其性質(zhì)[素養(yǎng)落實練]1．(多選)已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則下列正確的是(　　)A．焦點在x軸時，m∈B．焦點在x軸時，m∈C．焦點在y軸時，m∈D．焦點在y軸時，m∈解析：選AD　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，當(dāng)橢圓的焦點在x軸上且e∈時，則解得m∈；當(dāng)橢圓的焦點在y軸上且e∈時，則解得m∈.2．(2021·長沙一模)若橢圓的焦點在x軸上，中心在原點，其上、下頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.＋＝1　　　　　 B.＋y2＝1C.＋＝1   D.＋＝1解析：選C　由條件可知b＝c＝，a＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.故選C.  3.如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一橢圓截線，則該橢圓的離心率為(　　)A.   B.C.   D.解析：選A　設(shè)圓柱的底面直徑為d，則橢圓的短軸長為d，橢圓的長軸長2a＝＝d，所以a＝d.根據(jù)c＝得，c＝＝d，則橢圓的離心率e＝.故選A.4．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)橢圓＋＝1(m＞0)的焦點為F1，F2，上頂點為A，若∠F1AF2＝，則m＝(　　)A．1   B.C.  D．2解析：選C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故選C.5．(多選)設(shè)橢圓＋＝1的右焦點為F，直線y＝m(0<m<)與橢圓交于A，B兩點，則下述結(jié)論正確的是(　　)A．|AF|＋|BF|為定值B．△ABF的周長的取值范圍是[6,12]C．當(dāng)m＝時，△ABF為直角三角形D．當(dāng)m＝1時，△ABF的面積為解析：選AD　設(shè)橢圓的左焦點為F′，則|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6為定值，A正確；△ABF的周長為|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|為定值6，|AB|的取值范圍是(0,6)，∴△ABF的周長的取值范圍是(6,12)，B錯誤；將y＝與橢圓方程聯(lián)立，可解得A(－，)，B(，)，又∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，∴△ABF不是直角三角形，C錯誤；將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正確．6．(2021·武漢模擬)已知F1，F2分別為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P是橢圓上位于第一象限的點，延長PF2交橢圓于點Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，則橢圓的離心率為(　　)A．2－   B．－C．－1   D．－解析：選D　設(shè)|PF1|＝|PQ|＝m(m＞0)，則|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由題意知△PQF1為等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.因為|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(4a－2a)2＋[2a－(4a－2a)]2＝4c2，整理得4×2＝36－24，即＝＝－，故選D.7．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　)A．2  B．3C．6  D．8解析：選C　設(shè)點P(x0，y0)，則＋＝1，即y＝3－.因為點F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.8．焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．解析：由題意知解得又b2＝a2－c2，∴b2＝9.當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓方程為＋＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓方程為＋＝1.答案：＋＝1或＋＝19．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)F1為橢圓的左焦點，分析可知點M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．因為點M在橢圓＋＝1上，所以聯(lián)立方程可得解得又因為點M在第一象限，所以點M的坐標(biāo)為(3，)．答案：(3，) 10.我國自主研制的第一個月球探測器——“嫦娥一號”衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射后，在地球軌道上經(jīng)歷3次調(diào)相軌道變軌，奔向月球，進入月球軌道．“嫦娥一號”軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的距離分別是，(如圖所示)，則“嫦娥一號”衛(wèi)星軌道的離心率為________．解析：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，因為地球半徑為R，衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的距離分別是，，則a＝，c＝|OF1|＝R，則e＝＝＝.答案：11.如圖所示，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.(2)由題意知A(0，b)，F2(1,0)，設(shè)B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓方程為＋＝1.12．(2021·南平模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F2(3,0)，離心率為e.(1)若e＝，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，且＜e≤，求k的取值范圍．解：(1)由題意得c＝3，＝，所以a＝2，又因為a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為＋＝1.(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMF2N為平行四邊形，所以AF2⊥BF2.因為＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，即＋9＝0，將其整理為k2＝＝－1－.因為＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.所以k2≥，即k∈∪. [梯度拔高練]1．(多選)(2020·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試)如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，且橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ和Ⅱ的長半軸長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．a1＋c1>2(a2＋c2)  B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2>a2c1  D．e1＝解析：選ABD　由橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，可得a2＋c2＝c1.因為a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，則a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正確；因為a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正確；因為a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，則有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C錯誤；因為e1＝＝＝，所以D正確．2．已知橢圓C的焦點為F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，過點F2與x軸垂直的直線交橢圓于第一象限的A點，點A關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝，則橢圓C的方程為(　　)A.＋＝1   B.＋y2＝1C.＋＝1   D.＋y2＝1解析：選C　由題意，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，如圖，連接BF2，由橢圓的對稱性易得四邊形AF1BF2為平行四邊形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，設(shè)|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，則|F1F2|＝m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝·|BF1|·|F1F2|＝×m×m＝，解得m＝，又由2c＝|F1F2|＝m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2，解得c＝1，a＝，b＝＝，則橢圓C的方程為＋＝1.故選C.3．(2021·蕪湖模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，直線y＝x與橢圓相交于A，B兩點，若橢圓上存在異于A，B兩點的點P使得kPA·kPB∈，則離心率e的取值范圍為(　　)A.   B.C.   D.解析：選B　設(shè)P(x0，y0)，直線y＝x過原點，由橢圓的對稱性設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，則kPAkPB＝×＝.又＋＝1，＋＝1，兩式作差，代入上式得kPAkPB＝－∈，故<1－<1，所以e＝ ∈.4.歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線．如圖，在此圓錐中，圓錐的母線與軸的夾角為30°，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與軸的交點O到圓錐頂點M的距離為1，對于所得截口曲線給出如下命題：①曲線為橢圓；②點O為該曲線上任意兩點之間的線段中最長的線段的三等分點；③該曲線上任意兩點間的距離中最長的距離為，最短的距離為；④該曲線的離心率為.其中正確命題的序號為(　　)A．①②④  B．①②③④C．①②③  D．①④解析：選A　由題意易知曲線為橢圓，故①正確．畫出軸截面的示意圖如圖所示，A，B為截面與圓錐的兩條母線的交點. 因為∠AMO＝∠BMO＝30°，MA⊥AB，MO＝1，所以AO＝MO＝，又因為∠OMB＝∠OBM＝30°，所以BO＝MO＝1，所以＝.因為曲線上任意兩點之間的線段中最長的線段為AB，所以點O為曲線上任意兩點之間的線段中最長的線段的三等分點，故②正確，故排除D.因為曲線是一個封閉的曲線，所以該曲線上任意兩點間的距離中沒有最短的距離，故③錯誤，排除選項B、C，故選A.5．(2019·浙江高考)已知橢圓＋＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．解析：依題意，設(shè)點P(m，n)(n>0)，由題意知F(－2,0)，所以線段FP的中點M在圓x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4.                         ①又點P(m，n)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1.   ②聯(lián)立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，解得m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝.答案：6．已知橢圓C的兩個頂點分別為 A(－2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為.(1)求橢圓C的方程．(2)點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)．由題意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)證明：設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，－n)．由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.直線AM的斜率kAM＝，故直線DE的斜率kDE＝－.所以直線DE的方程為y＝－(x－m)．直線BN的方程為y＝(x－2)．聯(lián)立解得點E的縱坐標(biāo)yE＝－.由點M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|，所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. 

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