課時(shí)跟蹤檢測(cè)（五十）  直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[素養(yǎng)落實(shí)練]1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　　　B．外切　　　　　C．相離　　　　　D．內(nèi)切解析：選A　圓O1圓心坐標(biāo)為O1(1,0)，半徑r1＝1，圓O2圓心坐標(biāo)為O2(0,2)，半徑r2＝2，圓心距|O1O2|＝＝，因?yàn)?/span>2－1<<2＋1，即r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，所以圓O1與圓O2相交，故選A.2．在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內(nèi)，過點(diǎn)(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是(　　)A.              B.                C.              D.解析：選B　易知圓心為(－1,2)，過點(diǎn)(0,1)的最長弦(直徑)斜率為－1，且最長弦與最短弦垂直，∴過點(diǎn)(0,1)的最短弦所在直線的斜率為1，即傾斜角是，故選B.3(多選)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直線l：y＝kx，下列四個(gè)命題為真命題的是(　　)A．對(duì)任意實(shí)數(shù)k和θ，直線和圓相切B．對(duì)任意實(shí)數(shù)k和θ，直線和圓有公共點(diǎn)C．對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線與圓相切D．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線與圓相切解析：選BD　圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒過定點(diǎn)O(0,0)，直線l：y＝kx也恒過定點(diǎn)O(0,0)，故B正確；圓心M(－cos θ，sin θ)，圓心到直線的距離d＝＝≤1(α為輔助角)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，存在θ，直線l和圓M的關(guān)系是相交或者相切，故D正確，A、C都錯(cuò)誤．4．(2021·日照模擬)已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：ax－y＋4＝0.若直線l上存在點(diǎn)M，以M為圓心且半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)  B．[－3,3]C．(－∞，－ ]∪[，＋∞)  D．[－， ]解析：選C　由題意知，圓C：x2＋y2＝1的圓心(0,0)到直線l：ax－y＋4＝0的距離d≤2，即≤2，解得a≤－或a≥ ，故選C.5．(多選)(2021·廈門模擬)已知圓M與直線x＋y＋2＝0相切于點(diǎn)A(0，－2)，圓M被x軸所截得的弦長為2，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．圓M的圓心在定直線x－y－2＝0上B．圓M的面積的最大值為50πC．圓M的半徑的最小值為1D．滿足條件的所有圓M的半徑之積為10解析：選ABD　因?yàn)閳AM與直線x＋y＋2＝0相切于點(diǎn)A(0，－2)，所以直線AM與直線x＋y＋2＝0垂直，即點(diǎn)M落在直線x－y－2＝0上，所以選項(xiàng)A正確；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，a－2)，則圓M的半徑r＝|a|，圓M的方程為(x－a)2＋(y－a＋2)2＝2a2.令y＝0，則(x－a)2＋(－a＋2)2＝2a2，即x2－2ax－4a＋4＝0.因?yàn)閳AM被x軸所截得的弦長為2，所以＝2，解得a＝－5或a＝1，故圓M的面積的最大值為50π，圓M半徑的最小值為，滿足條件的所有圓M的半徑之積為5×＝10，所以選項(xiàng)B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過點(diǎn)P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是(　　)A．2         B．4         C.         D．2解析：選A　過點(diǎn)P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點(diǎn)，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝0，在y軸上所截得的線段長為d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓心到直線的距離為d，則所截得的弦長l＝2，所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)d＝時(shí)等號(hào)成立．又2>，所以△ABC面積的最大值為2.7．(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.解析：由題意得，圓心C(0，m)到直線2x－y＋3＝0的距離d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，所以r＝.答案：－2　8．(2020·天津高考)已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為________．解析：依題意得，圓心(0,0)到直線x－y＋8＝0的距離d＝＝4，因此r2＝d2＋2＝25，又r>0，所以r＝5.答案：59．(2021·武漢調(diào)研)已知兩點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)(a＞0)，若圓(x－)2＋(y－1)2＝1上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，則由題意知圓(x－)2＋(y－1)2＝1與圓x2＋y2＝a2有公共點(diǎn)，則|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3.答案：[1,3]10．已知直線2x－y＋m＝0與圓x2＋y2＝5.(1)若直線和圓無公共點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)處的圓的半徑互相垂直，求m的值．解：(1)由已知，得圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r＝，圓心到直線2x－y＋m＝0的距離d＝＝.∵直線與圓無公共點(diǎn)，∴d＞r，即＞，解得m＞5或m＜－5，故m的取值范圍為(－∞，－5)∪(5，＋∞)．(2)如圖，∵交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形．∴d＝r，即＝×，解得m＝±.故當(dāng)m＝±時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直．11．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由．(2)證明：過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值．解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的兩根，所以x1x2＝－2，又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，則·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．(2)證明：設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由x1x2＝－2可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，則由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2.又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為|OC|＋|OD|＝3，為定值． [梯度拔高練]1．已知過原點(diǎn)的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(2，)，則弦長為(　　)A．2  B．3C．4  D．5解析：選A　將圓C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑為2.∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故選A.2．(2020·廣東八市聯(lián)考)設(shè)過點(diǎn)P(－2,0)的直線l與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，若8＝5，則|AB|＝(　　)A.                B.              C.              D.解析：選A　由題意，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my－2，由得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝，又8＝5，所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝y1，代入y1y2＝得：y＝，故y＝×，又(y1＋y2)2＝2，即y＋y＋2y1y2＝×＋＝2，整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38.又|AB|＝ ＝2，當(dāng)m＝2時(shí)，|AB|＝；當(dāng)m＝38時(shí)，|AB|＝.綜上，|AB|＝.故選A.3．已知圓E：x2＋y2－2x＝0，若A為直線l：x＋y＋m＝0上的點(diǎn)，過點(diǎn)A可作兩條直線與圓E分別切于點(diǎn)B，C，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：設(shè)圓E的圓心為E，半徑為r，圓E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，則圓心E(1,0)，半徑r為1，由題意知直線l上存在點(diǎn)A，使得＝sin 30°＝，即|AE|＝2r.又因?yàn)?/span>|AE|≥d(d為圓心到直線l的距離)，故要使點(diǎn)A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，解得m∈[－2－1，2－1]．答案：[－2－1,2－1]4．(2020·南京五校聯(lián)考)已知圓C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0與圓O：x2＋y2＝4相外切，切點(diǎn)為A，過點(diǎn)P(4,1)的直線與圓C交于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)若|AQ|＝|AP|，點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，求直線MN的方程及△AMN的面積．解：(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圓心C(4,3)，半徑為，由圓C與圓O相外切知＋2＝，所以F＝16，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝9.又點(diǎn)P(4,1)在圓C內(nèi)，弦MN過點(diǎn)P，且Q是MN的中點(diǎn)，則CQ⊥MN，所以點(diǎn)Q的軌跡就是以CP為直徑的圓，方程為(x－4)2＋(y－2)2＝1.(2)線段OC與圓O的交點(diǎn)為A，聯(lián)立y＝x與x2＋y2＝4，解得點(diǎn)A.若|AQ|＝|AP|，則P，Q是以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑的圓與點(diǎn)Q的軌跡的交點(diǎn)，由2＋2＝2＋2與(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，所以直線MN的方程為3x＋y－13＝0.因?yàn)?/span>C(4,3)到直線MN的距離d＝＝，所以|MN|＝2，又點(diǎn)A到直線MN的距離h＝＝，所以△AMN的面積S＝|MN|·h＝. 

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