課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十八）  兩條直線的位置關(guān)系[素養(yǎng)落實(shí)練]1．直線x－y－1＝0與直線x＋y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A．(0,1)　　　　　　　 B．(0，－1)C．(1,0)  D．(－1,0)解析：選C　聯(lián)立兩直線的方程，得解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．2．(多選)(2020·濟(jì)寧高三月考)已知直線l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直線l2：3mx－3y－5＝0垂直，則m＝(　　)A．－1  B．1C．2  D．－2解析：選BC　因?yàn)橹本€l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直線l2：3mx－3y－5＝0垂直，直線l1的斜率為k1＝，直線l2的斜率為k2＝m，所以k1·k2＝－1，即·m＝－1，解得m＝1或2，經(jīng)檢驗(yàn)成立．3．與直線3x－2y＋7＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為(　　)A．3x＋2y＋7＝0  B．3x＋2y－7＝0C．2x－3y＋7＝0  D．3x－2y－7＝0解析：選B　由題知與直線3x－2y＋7＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0.4．兩直線－＝a與－＝a(其中a為不為零的常數(shù))的圖象可能是(　　)解析：選B　法一：直線方程－＝a可化為y＝x－na，直線方程－＝a可化為y＝x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號(hào)，故排除A、C、D，選B.法二：直線方程－＝a中用－x代換y，－y代換x，得－＝a，故兩條直線關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，故選B.5．若P，Q分別為l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的動(dòng)點(diǎn)，且l1∥l2，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的有(　　)A．直線l2的斜率為定值B．當(dāng)c＝25時(shí)，|PQ|的最小值為C．當(dāng)|PQ|的最小值為1時(shí)，c＝20D．c≠10解析：選C　∵l1∥l2，＝3，≠5，∴a＝6，c≠10，故A、D正確；∵|PQ|的最小值為兩平行直線間的距離，∴當(dāng)c＝25時(shí)，d＝＝，故B正確；當(dāng)|PQ|的最小值為1時(shí)，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C錯(cuò)誤．6.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP的長(zhǎng)度為(　　)A．2　　　　　　B．1　　　　　　C.　 　　　　　D.解析：選D 以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0，設(shè)P(t,0)(0<t<4)，由對(duì)稱知識(shí)可得點(diǎn)P關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4，4－t)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－t,0)，根據(jù)反射定律可知P1P2所在直線就是光線QR所在直線．由P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得P1P2所在直線的方程為y＝·(x＋t)．設(shè)△ABC的重心為G，易知G.因?yàn)橹匦?/span>G在光線QR上，所以有＝，即3t2－4t＝0，解得t＝0或t＝.又因?yàn)?/span>0<t<4，所以t＝，即|AP|＝，故選D.7．若直線l與直線2x－y－2＝0關(guān)于直線x＋y－4＝0對(duì)稱，則直線l的方程為________________．解析：由得即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，在直線2x－y－2＝0上取一點(diǎn)A(1,0)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則解得即點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3)，則直線l的方程為＝，整理得x－2y＋2＝0.答案：x－2y＋2＝08．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為________．解析：由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2，4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖，所以四邊形的面積S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8＝42＋，故當(dāng)k＝時(shí)，四邊形面積最?。?/span>答案：9．已知點(diǎn)M(1,0)，N(2,0)，點(diǎn)P在直線2x－y－1＝0上移動(dòng)，則|PM|2＋|PN|2的最小值為________，|PM|＋|PN|的最小值為________．解析：∵點(diǎn)P在直線2x－y－1＝0上，∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2a－1)，∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2＋(2a－1)2＝10a2－14a＋7，∴最小值為＝.設(shè)點(diǎn)M′(x，y)和點(diǎn)M關(guān)于直線2x－y－1＝0對(duì)稱，則|PM|＋|PN|＝|PM ′|＋|PN|，當(dāng)M ′，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，|PM ′|＋|PN|最小，此時(shí)|PM|＋|PN|＝|M ′N|，由解得∴|M ′N|＝ ＝，即|PM|＋|PN|的最小值為.答案：　10．已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．解：(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，則1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，∴此種情況不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.                            ①又∵l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.                  ②聯(lián)立①②，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b.④聯(lián)立③④，解得或∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.11．等腰直角三角形斜邊所在直線過(guò)原點(diǎn)，且斜率為2，一條直角邊所在直線l的方程為x－2y－8＝0，且此三角形的面積為5，求此直角三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解：過(guò)原點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y＝2x.設(shè)直角頂點(diǎn)為C，C到直線y＝2x的距離為d，則·d·2d＝5，解得d＝.設(shè)l′是與直線y＝2x平行且距離為的直線，則l′與l的交點(diǎn)就是C點(diǎn)．設(shè)l′的方程是2x－y＋m＝0，則＝，∴m＝±5，∴l′的方程是2x－y±5＝0.由方程組及得C點(diǎn)坐標(biāo)是(－6，－7)或. [梯度拔高練]1．(多選)已知直線l1：x－y－1＝0，動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)A．不存在k，使得l2的傾斜角為90°B．對(duì)任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)C．對(duì)任意的k，l1與l2都不重合D．對(duì)任意的k，l1與l2都不垂直解析：選AC　逐一考查所給的選項(xiàng)：A.存在k＝0，使得l2的方程為x＝0，其傾斜角為90°，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．B.直線l1：x－y－1＝0過(guò)定點(diǎn)(0，－1)，直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)?k(x＋y＋1)＋x＝0過(guò)定點(diǎn)(0，－1)，故選項(xiàng)B正確．C.當(dāng)k＝－時(shí)，直線l2的方程為x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1與l2重合，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．D.兩直線垂直，則1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程無(wú)解，故對(duì)任意的k，l1與l2都不垂直，選項(xiàng)D正確．2．若兩直線kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交點(diǎn)在第二象限，則k的取值范圍是(　　)A．(－1,0)  B．(0,1]C．(0,1)  D．(1，＋∞)解析：選A　由題意知k≠±1.聯(lián)立解得又交點(diǎn)在第二象限，∴解得－1＜k＜0.故選A.3．已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？解：(1)過(guò)點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過(guò)P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上可得，直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.  (2)作圖可得過(guò)點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過(guò)點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖．由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，因?yàn)?/span>kOP＝－，所以kl＝－＝2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直線2x－y－5＝0是過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離是＝.4.如圖所示，m，n，l是三條公路，m與n是互相垂直的，它們?cè)?/span>O點(diǎn)相交，l與m，n的交點(diǎn)分別是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工廠A在公路n上，|OA|＝2，工廠B到m，n的距離分別為2,4.貨車P在公路l上．(1)要把工廠A，B的物品裝上貨車P，問(wèn)：P在什么位置時(shí)，搬運(yùn)工走的路程最少？(2)P在什么位置時(shí)，B工廠搬運(yùn)工與A工廠搬運(yùn)工走的路程差距最多？(假設(shè)貨物一次性搬運(yùn)完)解：以m，n所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0,4)，N(－8,0)，故公路l所在的直線方程為x－2y＋8＝0.(1)P在什么位置時(shí)，搬運(yùn)工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小時(shí)P的位置．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(m，n)，則解得∴A′(－2,8)．又P為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，點(diǎn)P就是直線A′B與直線l的交點(diǎn)．聯(lián)立解得∴P(－2,3)．(2)由題意可知，原問(wèn)題等價(jià)于求點(diǎn)P的位置，使||PB|－|PA||的值最大．A，B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，P是直線上的點(diǎn)，則||PB|－|PA||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)||PB|－|PA||取得最大值|AB|，點(diǎn)P即直線l與直線AB的交點(diǎn)．又直線AB的方程為y＝x－2，由得∴P(12,10)． 

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