用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個(gè)圓。
如果改變圓錐的軸與截平面所成的角,那么會(huì)得到怎樣的曲線呢？
2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線??，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支（把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí),則可得到雙曲線）。公元前262到公元前192阿波羅尼斯寫成了《圓錐曲線》一書。
注：結(jié)論不用死記硬背。截出來(lái)的曲線封閉的要么是圓要么是橢圓，這很好看出來(lái)。截出來(lái)的曲線只有一支那就是拋物線，有兩支就是雙曲線。
參考文獻(xiàn)：百度百科：圓錐曲線。
用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí),可以得到不同的截口曲線,它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線. 我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線( cnic sectins）
橢圓是圓錐曲線的一種，在科研、生產(chǎn)以及人類生活中具有廣泛的應(yīng)用. 生活、學(xué)習(xí)中大家在哪些地方見過(guò)橢圓？
“嫦娥二號(hào)”于2010年10月1日18時(shí)59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，并獲得了圓滿成功。
其他四個(gè)圖片不管在古代、近代、現(xiàn)代、當(dāng)代生活中都會(huì)遇到。
歷史上是德國(guó)天文學(xué)家開普勒（1571-1630）首先發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系行星運(yùn)行軌道是橢圓。物理中有開普勒三大定理。以前知識(shí)是有錢有閑階級(jí)人的消遣，并不清楚知識(shí)能給人類帶來(lái)什么。比如古希臘的阿波羅尼斯研究圓錐曲線就屬于這種情況。在近代，弗朗西斯·培根（Francis Bacn，1561年1月22日—1626年4月9日）提出知識(shí)就是力量，于是人類得到極大發(fā)展。我們現(xiàn)在有手機(jī)、平板電腦、計(jì)算機(jī)，這都有賴于知識(shí)。開普勒的發(fā)現(xiàn)也有力的促進(jìn)了圓錐曲線的發(fā)展。促進(jìn)圓錐曲線蓬勃發(fā)展的還有意大利物理學(xué)家伽利略（Galile,1564~1642），他發(fā)現(xiàn)物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。這在你們物理中會(huì)學(xué)到。
事實(shí)上，阿波羅尼斯在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。但古希臘阿波羅尼對(duì)圓錐曲線的定義我們今天不做要求。
1579年蒙蒂（Guidbald del Mnte,1545~1607）對(duì)橢圓采取了新的定義，我們教材就是蒙蒂的定義。于是改變了過(guò)去對(duì)圓錐曲線的定義 。教材上橢圓定義古希臘人已經(jīng)知道，蒙蒂只是強(qiáng)調(diào)此定義的好處。
古希臘人已經(jīng)知道這定義，當(dāng)時(shí)當(dāng)性質(zhì)，但比較膚淺不深刻。 1579年蒙蒂?gòu)?qiáng)調(diào)此定義，因?yàn)橛性S多好處。
公元前5世紀(jì)，古希臘巧辯學(xué)派的數(shù)學(xué)家提出了幾何中三大不可能尺規(guī)作圖問(wèn)題：化圓為方問(wèn)題、立方倍積問(wèn)題、三等分任意角問(wèn)題.公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯在研究“立方倍積”問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)用不同角度的平面截圓錐面，可以得到不同的曲線，這是圓錐曲線的雛形.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在著作《圓錐曲線論》中將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.1637年，笛卡爾發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具之一——坐標(biāo)系，將幾何和代數(shù)相結(jié)合，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，推動(dòng)了圓錐曲線的發(fā)展.
取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2.套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？
筆尖移動(dòng)過(guò)程中，繩長(zhǎng)保持不變，筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)。即|M F1 |+| M F2 |=常數(shù)（繩長(zhǎng)）>| F1 F2 |
思考1：在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么?
探究一 ： 橢圓的定義
我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于| F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.
思考2：若常數(shù)不大于|F1F2|, 那么點(diǎn)的軌跡又是什么？
（1）若與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|, 則點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；（2）若與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于| F1F2 |, 則平面內(nèi)不存在這樣的點(diǎn).
探究二 ： 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
思考4：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系才能使橢圓的方程簡(jiǎn)單?
思考3：類比研究直線與圓的方程的思路，你能猜想建立橢圓的方程的大致步驟嗎？
設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c（c >0），那么焦點(diǎn)F1、F2 的坐標(biāo)分別為（-c，0）（c，0）
根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M與焦點(diǎn)F1、F2的距離的和等于2a .
為了化簡(jiǎn)方程①，我們將其左邊的一個(gè)根式移到右邊，得
歸納建立橢圓方程的一般步驟
從上述推導(dǎo)過(guò)程，可以看出1、橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程⑥；2、以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)（c，0）,(-c，0)的距離之和為2a，即以方程⑥為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上。
則我們稱方程⑥為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
它表示焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-c, 0), F2(c, 0)的橢圓， 這里a2=c2+b2.
思考6：如圖，如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1, F2的坐標(biāo)分別為(0，-c)，(0， c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？
容易知道，此時(shí)橢圓的方程是
這個(gè)方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
反思1：為什么常數(shù)記為2a不是a，焦距記為2c不是c?
答：為了使橢圓的方程形式更簡(jiǎn)單更美，且有顯著的幾何意義。
反思2：推導(dǎo)過(guò)程要找到變化中的不變性。
反思3：坐標(biāo)系的建立要突出對(duì)稱美，于是導(dǎo)出的方程比較簡(jiǎn)潔和簡(jiǎn)單。美就是簡(jiǎn)單的。
同學(xué)們，變化中的不變性不但是數(shù)學(xué)中一種普遍的思想，還是科學(xué)中一種普遍的思想。 世間萬(wàn)物都在變化之中，但說(shuō)事物在變，不說(shuō)明什么?？茖W(xué)的任務(wù)是要找出“變化中不變的規(guī)律”。自然科學(xué)中，物理學(xué)有能量守恒、動(dòng)量守恒；化學(xué)反應(yīng)中有方程式的平衡，分子量的總值不能變。 其實(shí)數(shù)學(xué)中變化中的不變性這樣的例子還很多。比如接下去一章要學(xué)的雙曲線、拋物線都是可以用變化中的不變性來(lái)理解。 同學(xué)們可以收集數(shù)學(xué)中變化中的不變性的有關(guān)例子，整理出一篇論文。
（2）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a>b>0；
（4）a、b、c都有特定的意義：a—橢圓上任意一點(diǎn)P到F1、F2距離和的一半；c—半焦距.有關(guān)系式 成立。
(3)焦點(diǎn)在大分母變量所對(duì)應(yīng)的那個(gè)軸上(焦點(diǎn)跟著大的跑)；
（1）方程的左邊是兩項(xiàng)平方和的形式，等號(hào)的右邊是1；
分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡
練習(xí)1：指出下列方程中，哪些是橢圓的方程？ 若是橢圓的方程，判定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，求出 以及焦點(diǎn)坐標(biāo)．
變式1：方程 ，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓； ②表示一個(gè)橢圓；③表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。
部分幻燈片來(lái)源于高唐縣第二中學(xué)，作者不詳。

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3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

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