NEIRONGSUOYIN
基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)
題型分類 深度剖析
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做_____.這兩個定點叫做橢圓的_____，兩焦點間的距離叫做橢圓的_____.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若_____，則集合P為橢圓；(2)若_____，則集合P為線段；(3)若_____，則集合P為空集.
ZHISHISHULI
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a0，m≠n)表示的曲線是橢圓.(　　)
2.[P49T4]橢圓 的焦距為4，則m等于A.4 B.8 C.4或8 D.12
解析　當(dāng)焦點在x軸上時，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.當(dāng)焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
解析　設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0).由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，
5.若方程 表示橢圓，則m的取值范圍是A.(－3,5) B.(－5,3) C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)
解得－38知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線).
由A，B，C不共線知y≠0.
解析　設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
(2)一個橢圓的中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2， )是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為___________.
解析　∵橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法.(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為 ，且橢圓G上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為
∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12，∴2a＝12，∴a＝6，
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋ ＝1(00)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為
解析　方法一　如圖，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
方法二　(特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，則|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
(3)已知橢圓 (a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于 (a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________.
而|PF2|的最小值為a－c，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2

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