課時跟蹤檢測（四十九）  圓的方程[素養(yǎng)落實練]1．(2020·北京西城區(qū)模擬)設(shè)A(2，－1)，B(4,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　)A．(x－3)2＋y2＝2　　　 B．(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2  D．(x＋3)2＋y2＝8解析：選A　線段AB的中點坐標為(3,0)，圓的半徑r＝＝＝，則以線段AB為直徑的圓的方程為(x－3)2＋y2＝2.故選A.2．已知圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程為(　　)A．x2＋y2＋10y＝0  B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0  D．x2＋y2－10x＝0解析：選B　根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標為(0，r)，半徑為r，則32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.3．(2021·唐山模擬)如果圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0不經(jīng)過(　　)A．第一象限            B．第二象限　　  C．第三象限　　  D．第四象限解析：選D　圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為，因為圓心位于第三象限，所以即a＜0，b＞0.直線x＋ay＋b＝0可化為y＝－x－，則斜率k＝－＞0，在y軸上的截距－＞0，故直線不經(jīng)過第四象限，故選D.4．已知點A是直角三角形ABC的直角頂點，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，則△ABC的外接圓的方程是(　　)A．x2＋(y－3)2＝5  B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5  D．(x＋3)2＋y2＝5解析：選D　因為點A是直角三角形ABC的直角頂點，所以BC2＝AB2＋AC2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(2a＋4)2＋(2－a)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，則△ABC的外接圓的圓心為(－3,0)，半徑為BC＝，所以△ABC的外接圓的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故選D.5．(2021·濟寧模擬)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心在直線ax－by＋1＝0上，則ab的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.解析：選B　把圓的一般方程化為標準方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心坐標為(－1,2)，半徑r＝2，根據(jù)題意可知，圓心在已知直線ax－by＋1＝0上，則－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b.設(shè)m＝ab＝b(1－2b)＝－2b2＋b＝－22＋，則當b＝時，m有最大值，最大值為，即ab的最大值為，則ab的取值范圍是.6．若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點，則點P到直線y＝kx－1的距離不可能是(　　)A．4　　　　B．6　　　　C．3＋1          D．8解析：選D　如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標為(－3,3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(0，－1)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為＝5，則點P到直線y＝kx－1距離的最大值為5＋1＝6，最小值為5－1＝4.選項A、B、C中的值均不大于6，只有選項D中的值大于6，不符合題意．7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________．解析：由題可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.當a＝2時，方程不表示圓，舍去．當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5.答案：(－2，－4)　58．設(shè)定點A(2,1)，B(3,3)，動點C在圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9上，則△ABC重心G的軌跡方程為________．解析：設(shè)點C(x0，y0)，G(x，y)，則解得因為點C在圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9上，所以(x0－1)2＋(y0＋1)2＝9，即(3x－6)2＋(3y－3)2＝9，化簡得(x－2)2＋(y－1)2＝1，又因為A，B，C三點不共線，所以要除去兩點，.所以重心G的軌跡為以點(2,1)為圓心，1為半徑的圓，除掉兩點，.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝19．設(shè)P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為________．解析：圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1,1)，半徑r＝1，根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，|PC|最小時為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝＝＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為＝＝.答案：10．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程．解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標為(1,2)．則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0.          ①又∵直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.                                         ②由①②解得或∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.11．已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．解：(1)設(shè)點P的坐標為(x，y)，則＝2.化簡可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲線方程為(x－5)2＋y2＝16.(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示．由題知直線l2與圓C相切，連接CQ，CM，則|QM|＝＝，當CQ⊥l1時，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，此時|CQ|＝＝4，故|QM|的最小值為＝4. [梯度拔高練]1．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝4(y≥0)，則m＝x＋y的取值范圍是(　　)A．(－2，4)  B．[－2，4]C．[－4,4]  D．[－4,2]解析：選B　x2＋y2＝4(y≥0)表示圓x2＋y2＝4的上半部分，如圖所示，直線x＋y－m＝0的斜率為－，在y軸上的截距為m.當直線x＋y－m＝0過點(－2,0)時，m＝－2.設(shè)圓心(0,0)到直線x＋y－m＝0的距離為d，則即解得m∈[－2，4]．2．已知點A(－5,0)，B(－1，－3)，若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有兩點M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是(　　)A．(2，)           B．(2,5) 　 　  C．(1，)　   　 D．(1,5)解析：選D　由題意可得|AB|＝＝5，根據(jù)△MAB和△NAB的面積均為5可得M，N到直線AB的距離均為2，由于直線AB的方程為＝，即3x＋4y＋15＝0，若圓上只有一個點到直線AB的距離為2，則圓心到直線AB的距離為＝r＋2，解得r＝1；若圓上只有3個點到直線AB的距離為2，則圓心到直線AB的距離為＝r－2，解得r＝5.故r的取值范圍是(1,5)．選D.3.太極圖被稱為“中華第一圖”．從孔廟大成殿梁柱，到樓觀臺、三茅宮標記物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術(shù)到韓國國旗……，太極圖無不躍居其上．這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”．在如圖所示的陰陽魚圖案中，陰影部分可表示為A＝，設(shè)點(x，y)∈A，則z＝2x＋y的最大值與最小值之和是(　　)A．1－2          B．1－          C．1＋        D．1＋2解析：選B　如圖，作直線2x＋y＝0，當直線上移與圓x2＋(y－1)2＝1相切時，z＝2x＋y取最大值，此時，圓心(0,1)到直線2x＋y－z＝0的距離等于1，即＝1，解得z的最大值為＋1，當下移與圓x2＋y2＝4相切時，2x＋y取最小值，同理＝2，即z的最小值為－2，所以z＝2x＋y的最大值與最小值之和是1－.4．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點P是圓C上的動點．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為________．解析：設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.又x＋y表示圓上任一點到原點距離的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.答案：745．已知A(－2,0)，B(0,2)，P是圓C：x2＋y2＋kx－2y＝0上的動點，點M，N在圓C上，且關(guān)于直線x－y－1＝0對稱. (1)求圓C的圓心坐標及半徑；(2)求△PAB面積的最大值S.解：(1)因為點M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，所以圓心C在直線x－y－1＝0上，即－－1－1＝0，解得k＝－4，則圓C的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圓C的圓心坐標為(2,1)，半徑為.(2)由題意得直線AB的方程為x－y＋2＝0，則圓心C到直線AB的距離為＝＜，故圓C上的點到AB的最大距離為＋＝，又|AB|＝2，所以△PAB面積的最大值S＝×2×＝3＋.

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