函數(shù)的單調(diào)性 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是(　　)A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝ D．y＝－x2＋4A　[因為－1<0，所以一次函數(shù)y＝－x＋3在R上遞減，反比例函數(shù)y＝在(0，＋∞)上遞減，二次函數(shù)y＝－x2＋4在(0，＋∞)上遞減．故選A.]2．函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是(　　)A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)B　[函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3是圖象開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為x＝1，所以其單調(diào)減區(qū)間是(1，＋∞)．]3．函數(shù)f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　)A．(0，＋∞) B．C． D．D　[當k＝0時，f(x)＝－2x－5在R上單調(diào)遞減，不符合題意．當k≠0時，因為函數(shù)f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以解得k≥，綜上所述，k的取值范圍是.]4．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f <f(1)的實數(shù)x的取值范圍是(　　)A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C　[由已知條件得：>1，不等式等價于 ，解得－1<x<1，且x≠0.]5．函數(shù)y＝在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(　　)A．a＝－3 B．a<3C．a≤－3 D．a≥－3C　[y＝＝1＋，由題意知 ，解得a≤－3.]二、填空題6．如圖所示的是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________，在區(qū)間________上是增函數(shù)．[－2,1]，[3,5]　[－5，－2]，[1,3]　[觀察圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[－5，－2]，[1,3]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－2,1]，[3,5]．]7．已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間(－1,1)上的減函數(shù)，則滿足f(x)>f(0)的實數(shù)x的取值范圍為________．(－1,0)　[由題設(shè)得，解得－1＜x<0.]8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(m＋2)<f(2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．(－2,0)　[∵f(x)在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，∴－＝1，∴a＝－2.如圖．∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，則實數(shù)m的取值范圍為(－2,0)．]三、解答題9．作出函數(shù)f(x)＝的圖象，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解]　f(x)＝的圖象如圖所示．由圖可知，函數(shù)f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1]和(1,2)，單調(diào)增區(qū)間為[2，＋∞)．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．[解]　在定義域內(nèi)任取x1，x2，且使x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝－＝＝.∵a>b>0，x1<x2，∴b－a<0，x2－x1>0.只有當x1<x2<－b或－b<x1<x2時，函數(shù)才單調(diào)．當x1<x2<－b或－b<x1<x2時，f(x2)－f(x1)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是單調(diào)減函數(shù)，在(－b，＋∞)上也是單調(diào)減函數(shù)．∴y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，無單調(diào)增區(qū)間．11．(多選)下列四個函數(shù)在(－∞，0)上為增函數(shù)的是(　　)A．y＝|x|＋1 B．y＝C．y＝－ D．y＝x＋.CD　[A.y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上為減函數(shù)；B.y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；C.y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函數(shù)；D.y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函數(shù)．]12．(多選)如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結(jié)論中正確的有(　　)A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D．f(x1)>f(x2)AB　[由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)y＝f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則x1－x2與f(x1)－f(x2)同號，由此可知，選項A、B正確；對于C、D，因為x1，x2的大小關(guān)系無法判斷，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系也無法判斷，故C、D不正確．]13．已知函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．(0,2]　[依題意得實數(shù)a滿足解得0<a≤2.]14．設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則不等式f(x)＋f(－2)>1的解集為________．　[由條件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即為f(－2x)>f(3)．∵f(x)是定義在R上的增函數(shù)，∴－2x>3，解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集為.]15．已知函數(shù)f(x)對任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且當x>0時，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2.[解]　(1)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函數(shù)．(2)因為f ＝f(x)－f(y)，所以f(y)＋f ＝f(x)．在上式中取x＝4，y＝2，則有f(2)＋f(2)＝f(4)，因為f(2)＝1，所以f(4)＝2.于是不等式f(x)－f ≤2等價于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函數(shù)，所以解得－1≤x<3或3<x≤4，所以原不等式的解集為[－1,3)∪(3,4]．  

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