2.2全稱量詞與存在量詞第2課時　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定一位探險家被土人抓住，土人首領(lǐng)說：“如果你說真話，你將被燒死，說假話，將被五馬分尸．”[問題]　請問探險家該如何保命？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點(diǎn)　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題的否定(1)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；(2)對于全稱量詞命題p：?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)，通常把它的否定表示為?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)．2．存在量詞命題的否定(1)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題；(2)對于存在量詞命題p：?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)，通常把它的否定表示為?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)要否定全稱量詞命題“?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)”，只需在M中找到一個x，使得p(x)不成立，也就是命題“?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)”成立；(2)要否定存在量詞命題“?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)”，需要驗證對M中的每一個x，均有p(x)不成立，也就是命題“?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)”成立；(3)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個命題；全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，是在否定結(jié)論p(x)的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．　　　　 如何對省略量詞的命題進(jìn)行否定？提示：對于含有一個量詞的命題，容易知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題．一般地，省略了量詞的命題是全稱量詞命題，可加上“所有的”或“對任意”，它的否定是存在量詞命題．反之亦然．1．若命題p：?x＞0，x2－3x＋2＞0，則命題p的否定為(　　)A．?x＞0，x2－3x＋2≤0　 B．?x≤0，x2－3x＋2≤0C．?x＞0，x2－3x＋2≤0  D．?x≤0，x2－3x＋2≤0答案：C2．已知命題p：?x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是________．答案：?x＞2，x3－8≤0 全稱量詞命題的否定[例1]　(鏈接教科書第21頁例6)(1)命題“?x∈A，|x|＋1≥1”的否定是________．(2)寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷真假：①?x∈R，1－≤1；②對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3；③正數(shù)的絕對值是它本身．(1)[解析]　命題“?x∈A，|x|＋1≥1”是全稱量詞命題，它的否定是“?x∈A，|x|＋1＜1”．[答案]　?x∈A，|x|＋1＜1(2)[解]?、僭撁}的否定：?x∈R，1－＞1，因為?x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以這是一個假命題．②該命題的否定：至少存在一個x∈Z，x2的個位數(shù)等于3，因為02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以這是一個假命題．③該命題省略了量詞“所有的”，該命題是全稱量詞命題，它的否定：有的正數(shù)的絕對值不是它本身．這是一個假命題．1．對全稱量詞命題否定的兩個步驟(1)改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；(2)否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．2．全稱量詞命題否定后的真假判斷全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，其真假性與全稱量詞命題相反；要說明一個全稱量詞命題是假命題，只需舉一個反例即可．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)A．?x∈R，|x|＋x2＜0　　 B．?x∈R，|x|＋x2≤0C．?x∈R，|x|＋x2＜0  D．?x∈R，|x|＋x2≥0解析：選C　對于全稱量詞命題的否定，要將命題中“?”變?yōu)椤?/span>?”，則命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“?x∈R，|x|＋x2＜0”．故選C.2．命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是(　　)A．負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)B．有些負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)C．所有負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)D．有些負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)解析：選D　該命題為省略了全稱量詞的全稱命題，故其否定：有些負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)．存在量詞命題的否定[例2]　(鏈接教科書第22頁例7)寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷真假：(1)某些平行四邊形是菱形；(2)?x∈R，x2＋1＜0；(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.[解]　(1)該命題的否定：“沒有一個平行四邊形是菱形”，也即“每一個平行四邊形都不是菱形”．假命題．(2)該命題的否定：“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“?x∈R，x2＋1≥0”．真命題．(3)該命題的否定：“?x，y∈Z，x＋y≠3”．假命題．1．對存在量詞命題否定的兩個步驟(1)改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞；(2)否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．2．存在量詞命題否定后的真假判斷存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，其真假性與存在量詞命題相反；要說明一個存在量詞命題是真命題，只需要找到一個實例即可．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定是(　　)A．?x∈R，|x|>0  B．?x∈R，|x|>0C．?x∈R，|x|≤0  D．?x∈R，|x|≤0解析：選C　由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題，故其否定為全稱量詞命題，因為命題的否定只否定結(jié)論，所以選C.2．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)某些梯形的對角線互相平分；(2)?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)；(3)在同圓中，存在兩段相等的弧，它們所對的圓周角不相等．解析：(1)假命題．該命題的否定為：任意一個梯形的對角線都不互相平分．(2)真命題．該命題的否定為：?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2是有理數(shù)．(3)假命題．該命題的否定為：在同圓中，任意兩段相等的弧所對的圓周角相等．根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍[例3]　已知命題p：?x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若p的否定為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．[解]　因為p的否定為假命題，所以命題p：?x∈R，m＋x2－2x＋5＞0為真命題，m＋x2－2x＋5＞0可化為m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4對任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m＞－4}．[母題探究]1．(變條件)本例條件中“?x∈R，m＋x2－2x＋5>0”變?yōu)椤?/span>?x∈R，m－x2＋2x－5>0”其余條件不變，求實數(shù)m的取值范圍．解：因為p的否定為假命題，所以命題p：?x∈R，m－x2＋2x－5＞0為真命題，m－x2＋2x－5＞0可化為m＞x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即?x∈R，m＞(x－1)2＋4成立，只需m＞4即可，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m＞4}．2．(變條件)本例條件變?yōu)椤?/span>?x∈R，m－x2＋2x－5＜0且為真命題”，求m的取值范圍．解：因為為真命題，所以m－x2＋2x－5＜0可化為m＜x2－2x＋5，即m＜(x－1)2＋4，所以m＜4，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m<4}．1．注意p與p的否定的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉(zhuǎn)化．2．對求參數(shù)范圍問題，往往分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練](2021·煙臺高一聯(lián)考)命題“?x∈R，2x2－3ax＋9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：“?x∈R，2x2－3ax＋9＜0”為假命題，則其否定：“?x∈R，2x2－3ax＋9≥0”為真命題，∴Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，∴－2≤a≤2.答案：[－2，2]1．(多選)下列命題是假命題的是(　　)A．?x∈{－1，1}，2x＋1>0  B．?x∈Q，x2＝3C．?x∈R，x2－1>0  D．?x∈N，|x|≤0解析：選ABC　對于A，x＝－1時，不合題意，A是假命題；對于B，x＝±，B是假命題；對于C，比如x＝0時，－1<0，C是假命題；D是真命題．2．命題p：“存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根”，則p的否定是(　　)A．存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數(shù)根B．不存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數(shù)根C．對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實數(shù)根D．至多有一個實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根解析：選C　命題p是存在量詞命題，其否定形式為全稱量詞命題，即對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實數(shù)根．3．已知命題p：“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：由題意可知，p的否定：?x∈R，ax2＋2x＋1＝0，為真命題，等價于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解，即a＝0或故a≤1.故實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤1}．4．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)對任意x∈R，x2－x＋≥0；(2)所有的正方形都是矩形；(3)至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0.解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命題．(2)至少存在一個正方形不是矩形，假命題．(3)對任意x∈R，x3＋1≠0，假命題． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 全稱量詞與存在量詞

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