2.2全稱量詞與存在量詞新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定數(shù)學(xué)抽象3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定數(shù)學(xué)抽象 第1課時(shí)　全稱量詞命題與存在量詞命題在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城．我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉．我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人．可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉．這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”．[問題]　你能對上述問題進(jìn)行邏輯分析嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點(diǎn)一　全稱量詞命題與全稱量詞1．全稱量詞命題在給定集合中，斷言所有元素都具有同一種性質(zhì)的命題叫作全稱量詞命題．2．全稱量詞在命題中，諸如“所有”“每一個(gè)”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞，用符號“?”表示，讀作“對任意的”．1．一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量，如“?x，y∈R，x2＋y2≥0”．2．全稱量詞命題含有全稱量詞，有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來．例如，命題“平行四邊形的對角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”．　　　　 1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)命題“任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)”是全稱量詞命題．(　　)(2)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”是全稱量詞命題．(　　)(3)命題“梯形有兩邊平行”不是全稱量詞命題．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×2．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫為全稱量詞命題為________．解析：命題“x2＋y2≥2xy”是指對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為：對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立知識點(diǎn)二　存在量詞命題與存在量詞1．存在量詞命題在給定集合中，斷言某些元素具有一種性質(zhì)的命題叫作存在量詞命題．2．存在量詞在命題中，諸如“有些”“有一個(gè)”“存在”這樣的詞叫作存在量詞，用符號“”表示，讀作“存在”．1．一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量，如“?a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．2．含有存在量詞“存在”“有一個(gè)”等的命題，或雖沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題．　　　　 1．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是(　　)A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使>2解析：選B　A是全稱量詞命題．B項(xiàng)為存在量詞命題，當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0成立，所以B正確．因?yàn)?/span>＋(－)＝0，所以C為假命題．對于任何一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有<0，所以D錯(cuò)誤．故選B.2．下列語句是存在量詞命題的是________．(填序號)①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②存在整數(shù)n，使n能被11整除；③若3x－7＝0，則x＝；④有些函數(shù)為奇函數(shù)．答案：②④全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷[例1]　(鏈接教科書第19頁例4)(1)下列命題：①有的平行四邊形是菱形；②任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0；③有一個(gè)角α，使sin α＝；④凸多邊形的外角和等于360°；⑤所有正數(shù)都是實(shí)數(shù)．其中是全稱量詞命題的為____________，是存在量詞命題的為____________．(填序號)(2)用量詞符號“?”“?”表述下列命題：①所有實(shí)數(shù)x都能使x2＋x＋1＞0成立；②對所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個(gè)解；③一定有整數(shù)x，y，使得3x－2y＝10成立．(1)[解析]?、俸写嬖诹吭~“有的”，故為存在量詞命題；②含有全稱量詞“任何一個(gè)”，故為全稱量詞命題；③含有存在量詞“有一個(gè)”，故為存在量詞命題；④可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360°”，含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題；⑤含有全稱量詞“所有”，故為全稱量詞命題．[答案]?、冖堍荨、佗?/span>(2)[解]?、?/span>?x∈R，x2＋x＋1＞0.②?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解．③?x，y∈Z，3x－2y＝10.判斷一個(gè)語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路[提醒]　全稱量詞命題可能省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：(1)矩形有一個(gè)外接圓；(2)非負(fù)實(shí)數(shù)有兩個(gè)平方根；(3)有一對實(shí)數(shù)(x，y)，使2x－y＋1＜0成立．解：(1)可以改寫為“所有的矩形都有一個(gè)外接圓”，是全稱量詞命題．(2)可以改寫為“所有的非負(fù)實(shí)數(shù)都有兩個(gè)平方根”，是全稱量詞命題．(3)可以改寫為“?x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量詞命題.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷[例2]　判斷下列命題的真假：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點(diǎn)P；(2)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示；(3)至少有一個(gè)直角三角形不是等腰三角形；(4)?x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)?x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.[解]　(1)是真命題．(2)是假命題，如邊長為1的正方形，對角線長度為，就不能用正有理數(shù)表示．(3)是真命題，如有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形就不是等腰三角形．(4)是真命題，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命題，因?yàn)橥耆椒焦綄θ我鈱?shí)數(shù)都成立，顯然對整數(shù)成立．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷技巧(1)全稱量詞命題真假的判斷：要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只需舉出限定集合M中的一個(gè)x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”)；(2)存在量詞命題真假的判斷：要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個(gè)x0，使p(x0)成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假：(1)?x∈Q，x2＝3；(2)每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°；(3)鈍角三角形有的高在三角形外部；(4)對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0.解：(1)存在量詞命題．由于使x2＝3成立的實(shí)數(shù)只有±，且它們都不是有理數(shù)．因此沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以該命題是假命題．(2)全稱量詞命題．由三角形的內(nèi)角和定理可知，該命題是真命題．(3)存在量詞命題．鈍角三角形的高有可能在三角形外部，所以該命題是真命題．(4)全稱量詞命題．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以該命題是假命題.由含量詞命題的真假求參數(shù)的范圍[例3]　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命題“?x∈A，一次函數(shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．(2)若命題“?x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(1)[解析]　當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1＋m≤x＋m≤2＋m，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＞－1}．[答案]　{m|m＞－1}(2)[解]　由題意得，關(guān)于x的方程ax2＋2x－1＝0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x－1＝0，顯然有實(shí)數(shù)根，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥－1}．[母題探究](變條件)本例(2)中的方程改為“x2＋2x＋2＝m”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：依題意，方程x2＋2x＋2－m＝0有實(shí)數(shù)解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥1}．利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí)，常與不等式恒成立有關(guān)，可根據(jù)有關(guān)代數(shù)恒等式(如x2≥0)，確定參數(shù)的取值范圍；(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等知識解決．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：當(dāng)m≤5時(shí)，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題．答案：(－∞，5]1．下列命題：①至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立；②對任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③對任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：選B　由定義知②③正確．故選B.2．下列各命題中，真命題是(　　)A．?x∈R，1－x2＜0  B．?x∈N，x2≥1C．?x∈Z，x3＜1  D．?x∈Q，x2＝2解析：選C　?x∈Z，x3＜1正確．A、B、D不正確．3．下列命題中，是全稱量詞命題的是________；是存在量詞命題的是________．(填序號)①正方形的四條邊相等；②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①可表述為“每一個(gè)正方形的四條邊相等”，是全稱量詞命題；②是全稱量詞命題，即“凡是有兩個(gè)角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“所有正數(shù)的平方根不等于0”是全稱量詞命題；④是存在量詞命題．答案：①②③?、?/span>4．指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假：(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交．解：(1)存在量詞命題．因?yàn)?/span>x2＋x＋8＝＋＞0.所以該命題為假命題．(2)全稱量詞命題．如函數(shù)y＝x2＋1的圖象與x軸不相交，所以該命題為假命題． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 全稱量詞與存在量詞

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