滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。
2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案的標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚。
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。
4.保持卷面及答題卡清潔，不要折疊，不破損。
選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.設(shè)，則
A．B．C．D．
2.已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是
A．B．C．D．
3.已知，，，則
A．B．C．D．
4.模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為
A．60B．63C．66D．69
5.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
6.直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
7.已知，，則
A．0和B．C．D．和0
8.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，，若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球上，則球的半徑為
A．B．C．D．
9.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為2的平面向量和，它們的夾角為．如圖所示，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為
A． B． C．0 D．2
10.已知函數(shù)且關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．C．D．，
11.棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為
A． B． C． D．1
12.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
二、填空題
13.若直線和直線平行，則________.
14.已知向量.若與共線，則在方向上的投影為 ________.
15.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為_____．
16.平行四邊形中，△是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，，現(xiàn)將△沿折起，使二面角大小為，若四點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為_____.
三、解答題：（共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生讀必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）
（一）必考題：共60分
17．（本題12分）下圖的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各八位同學(xué)在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25.
（1）求的值；
（2）計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較哪一組的成績(jī)更穩(wěn)定？
18．（本題12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形.
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
19．（本題12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中.
（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20．（本題12分）如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且+.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)在第二象限，，求的面積.
．
21．（本題12分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
（3）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍.
（二）選考題，共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）
22．在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） ．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離的值．
選修4-5：不等式選講（10分）
23．已知函數(shù).
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值為，求證：.
理科數(shù)學(xué)答案
2 14. 15． 16.
17．下圖的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各八位同學(xué)在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25.
（1）求x，y的值；
（2）計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較哪一組的成績(jī)更穩(wěn)定？
【詳解】
（1）由，得，
由，得．…………5分
（2）設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為、，
甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
，，
因?yàn)?，所以乙組的成績(jī)更穩(wěn)定．…………12分
18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形.
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）證明出平面，，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】
（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面?br>平面，所以.
又因?yàn)?，，所以平?
因?yàn)槠矫?，所以平面平面；………?分
（2）取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?，所?
又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)椋?
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得、、、、，
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，所以.
所以，，
則直線與平面所成角的正弦值為.…………12分
19．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中.
（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由已知，
可得，
兩式相減可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，
即，解得，
故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
由得：
，
那么，
以上個(gè)式子相乘，
可得，
，又滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式.…………6分
（2）若，
所以，
，
兩式相減得：
，
所以.…………12分
20．如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且+.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)在第二象限，，求的面積.
【詳解】
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，
因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)分別為，，可得，，
所以，可得，所以，
則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…………6分
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，，
在中，由．
根據(jù)余弦定理得，
即，解得，
所以．…………12分
21．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
（3）若對(duì)任意的，都有恒成立，求a的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
∴，∴，
切點(diǎn)為，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；…………4分
（2），
①當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間，無極值；
②當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍）
x，，的變化情況如下表：
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.…………8分
（3）對(duì)任意的，使恒成立，只需對(duì)任意的，.
所以由（2）的結(jié)論可知，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，
∴，∴滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，
∴，∴滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴，
∴不滿足題意.
綜上，a的取值范圍為.…………12分
22． 在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） ．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離的值．．
【詳解】
（1）由參數(shù)方程可得，消去參數(shù)可得直線的普通方程為：，即；
即，
轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程可得曲線的直角坐標(biāo)方程為；…………5分
（2）∵的極坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．
∴，直線的傾斜角．
∴直線的參數(shù)方程為．
代入，得．
設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，
∴．…………10分
23．已知函數(shù).
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值為，求證：.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)
①當(dāng)時(shí)，由得，所以無解
②當(dāng)時(shí)，由得，所以；
③當(dāng)時(shí)，由得，所以.
綜上，不等式的解集為.…………5分
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，取到最小值，
所以，即.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
即成立.…………10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
C
D
A
B
A
B
B
A
B
x
－
0
＋
極小值

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