專題14.26 《整式的乘法與因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2. 會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3. 掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算；4. 理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項式的因式分解.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方： (為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方： (為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0, 為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.    特別說明：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.要點(diǎn)二、整式的乘法和除法1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：運(yùn)算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應(yīng)用比較廣泛的公式：.4.單項式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.5.多項式除以單項式先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.即：要點(diǎn)三、乘法公式1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式. 平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2. 完全平方公式：；兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.要點(diǎn)四、因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等.特別說明：落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用： 首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.【典型例題】類型一、冪的運(yùn)算 1、計算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）  【分析】（1）根據(jù)積的乘方求解；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法；（3）先算乘法，再算加減法． 解：（1），=，=；（2），=，=，=；（3）=，=，=【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算的順序是先乘方，后乘除，再加減．如果有括號，先算括號內(nèi)．舉一反三：【變式1】按要求完成下列各小題．（1）計算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）將變?yōu)?/span>，再對原式逆運(yùn)用積的乘方公式即可得出結(jié)果；（2）逆運(yùn)用冪的乘方公式可得，再利用同底數(shù)冪的乘法，最后將代入計算即可． 解：（1）原式====；（2）因?yàn)?/span>，所以．即．【點(diǎn)撥】本題考查冪的乘方和積的乘方、同底數(shù)冪的乘法．熟練掌握公式，并能逆著運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【變式2】計算：（1）；（2）．【答案】（1）-16；（2） 【分析】（1）按有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里的進(jìn)行計算；（2）先把中括號里的和絕對值里面的化簡，再進(jìn)行乘法運(yùn)算； 解：（1）原式=，=-7-9，=-16；（2）原式=，=，．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確利用運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】解答下列問題：（1）已知，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）1500；（2）27 【分析】（1）先逆用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則，然后將已知代入即可解答；（1）先由得3x+4y=3，然后逆用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則將 解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了積的乘方和冪的乘方法則的逆用，靈活應(yīng)用相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．類型二、整式的乘除法運(yùn)算2、（1）計算：（3a2b）3?（﹣2ab2）2÷6a3b2；（2）計算：3a（a﹣4）+（3a﹣1）（a+3）．【答案】（1）18a5b5；（2）6a2﹣4a﹣3 【分析】（1）根據(jù)整式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．（2）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案． 解：（1）原式＝27a6b3?4a2b4÷6a3b2＝108a8b7÷6a3b2＝18a5b5．（2）原式＝3a2﹣12a+3a2+8a﹣3＝6a2﹣4a﹣3．【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．3、已知A＝（4x4﹣x2）÷x2，B＝（2x+5）（2x﹣5），若變量y滿足y﹣A＝B，求y與x的關(guān)系式．【答案】． 【分析】根據(jù)題意可知，代入利用整式運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可． 解：A＝（4x4﹣x2）÷x2=4x2﹣1，B＝（2x+5）（2x﹣5）= ，∵y﹣A＝B，∴ ．=． = ．即．【點(diǎn)撥】本題考查了整式除法和乘法公式，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)法則，準(zhǔn)確運(yùn)用法則或公式進(jìn)行計算．舉一反三：【變式】對于任意有理數(shù)、、、，我們規(guī)定符號，例如：．（1）求的值為．（2）求的值，其中．【答案】（1）-11；（2）8 【分析】（1）利用新定義得到，然后進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算即可；（2）利用新定義得到原式=，然后去括號后合并，最后利用整體代入的方法計算． 解：（1）；（2）===∵，∴，∴原式===8．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值：先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．類型三、乘法公式4、化簡求值：（1），其中；（2），其中，．【答案】（1），；（2），1． 【分析】（1）根據(jù)平方差公式計算，再將的值代入求解即可；（2）根據(jù)單項式乘以多項式，完全平方公式計算，再將的值代入求解． 解：（1）當(dāng)時原式（2）當(dāng)，時原式【點(diǎn)撥】本題考查了乘法公式的計算，平方根的定義，代數(shù)式求值，熟練乘法公式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：其中．【答案】，1． 【分析】先計算括號內(nèi)的乘方和乘法，再合并括號內(nèi)的同類項，最后計算除法代值計算即可． 原式 = == ，當(dāng)，原式 ．【點(diǎn)撥】本題主要考查整式的化簡求值能力，熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】先化簡，再求值：，其中．【答案】，2021 【分析】先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項式與多項式的乘法法則計算，再合并同類項，然后把x，y的值代入計算． 原式，∵，∴原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的化簡求值，涉及到的知識有：平方差公式，完全平方公式，單項式乘以單項式，合并同類項等知識．在求代數(shù)式的值時，一般先化簡，再把各字母的取值代入求值．5、已知x-y=3，x2+y2-3xy=4．求下列各式的值（1）                     （ 2）【答案】（1）5；（2）95 【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求出（x﹣y）2＝9，進(jìn)而得出x2＋y2＝9＋2xy，代入x2＋y2－3xy＝4求解即可；（2）利用x2＋y2－3xy＝4和（1）式的值，得出x2＋y2＝19，再將所求代數(shù)式因式分解，進(jìn)而代入數(shù)值即可求解． 解：（1）由x－y＝3 ，得（x－y）2＝9即x2＋y2－2xy＝9∴x2＋y2＝9＋2xy代入x2＋y2－3xy＝4，得9＋2xy－3xy＝4解得：xy＝5（2）∵x2＋y2－3xy＝4，xy＝5∴x2＋y2＝19又∵x3y＋xy3＝xy（x2＋y2）∴x3y＋xy3＝5×19＝95．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用以及整體思想的應(yīng)用，根據(jù)已知得出x2＋y2與xy的值是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】已知a﹣b＝5，ab＝﹣2，求：（1）（a+b）2；（2）a2﹣ab+b2的值．【答案】（1）（a+b）2=17；（2）a2﹣ab+b2的值為23． 【分析】（1）將a-b=5兩邊平方，利用完全平方公式展開，把ab的值代入求出a2+b2的值，即可確定出所求式子的值．（2）把a2﹣ab+b2加上3ab再減去3ab，配成（a+b）2-3ab，再代入求值即可． 解：（1）將a-b=5兩邊平方得：（a-b）2=a2+b2-2ab=25，∴a2+b2=21
      ∴（a+b）2= （2）【點(diǎn)撥】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．類型四、因式分解6、 分解因式：（1）                          （2）； （3）；【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 解：（1）原式＝=；（2）原式＝=；（3）原式＝==；【點(diǎn)撥】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】將下列各式因式分解：（1）                         （2）【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得答案；（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可得答案． （1）=2（）．（2）．【點(diǎn)撥】本題考查綜合利用提取公因式法與公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式與平方差公式是解題關(guān)鍵．【變式2】因式分解：（1）；                          （2）；（3）；                    （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；（3）先提符號，在用完全平方公式因式分解即可；（4）先利用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解即可 解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解，掌握因式分解的方法與技巧是解題關(guān)鍵．7.先閱讀下列材料，再解答下列問題：分解因式：將：將看成整體，設(shè)，則原式再將換回去，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想"是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你仿照上面的方法將下列式子進(jìn)行因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）設(shè)，先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再將換回去，計算整式的加減即可得；（2）設(shè)，先計算整式的乘法，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，然后將換回去即可得． 解：（1）設(shè)，則原式，將換回去得：原式，，；（2）設(shè)，則原式，，，將換回去得：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法和“整體思想”是解題關(guān)鍵．【變式1】閱讀理解并解答：（方法呈現(xiàn)）（1）我們把多項式及叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進(jìn)行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最?。?或最大）問題．例如：，，．則這個代數(shù)式的最小值是__________，這時相應(yīng)的的值是__________．（嘗試應(yīng)用）（2）求代數(shù)式的最?。ɑ蜃畲螅┲?，并寫出相應(yīng)的的值．（拓展提高）（3）將一根長的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和有最?。ɑ蜃畲螅┲?？若有，求此時這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個正方形面積的和；若沒有，請說明理由．【答案】（1），；（2）這個代數(shù)式的最大值是，這時相應(yīng)的的值是；（3）此時這根鐵絲剪成兩段后的長度均為150cm，兩個正方形的面積之和有最大值 【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）將化為即可求解；（3）設(shè)一段鐵絲長為，則另一段長為，由題意列出式子，通過配方求解． 解：（1）由題意：，當(dāng)時取到最小值；故最小值為，相應(yīng)的，故答案：．（2）則這個代數(shù)式的最大值是，這時相應(yīng)的的值是．（3）設(shè)一段鐵絲長為，則另一段長為，由題意得：當(dāng)，兩個正方形的面積之和有最大值．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：會對代數(shù)式進(jìn)行配方成完全平方公式再求解．

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