?專題13.22 《軸對稱》中考真題專練（培優(yōu)篇）（專項練習）
一、單選題
1．（2015·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（ ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（2010·廣東深圳市·中考真題）如圖，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80o，則∠B的度數(shù)是（ ）

A．40o B．35o C．25o D．20o
3．（2019·廣東中考真題）如圖，已知，以兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩弧相交于點，連接與相較于點，則的周長為（ ）

A．8 B．10 C．11 D．13
4．（2017·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以點C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點D；再分別以點B和點D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線CE交AB于點F，則AF的長為（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2018·山東濱州·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點P是∠AOB內(nèi)的定點且OP=，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
6．（2016·貴州黔東南·中考真題）如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，點O是AB的中點，且AB=，將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交，交點分別為D、E，則CD+CE=（ ）

A． B． C．2 D．
7．（2012·甘肅蘭州·）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°
8．（2019·山東濱州·中考真題）如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
10．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．

二、填空題
11．（2015·河北中考真題）如圖，∠BOC=9°，點A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：
以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；
再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；
再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；…
這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=__．

12．（2018·吉林長春·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以點C為圓心，以CB長為半徑作圓弧，交AC的延長線于點D，連結(jié)BD，若∠A=32°，則∠CDB的大小為_____度．

13．（2019·湖北黃岡·中考真題）如圖，在的同側(cè)，，點為的中點，若，則的最大值是_____．

14．（2018·湖南邵陽市·中考真題）如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點A落在點C處．若AE=，則BC的長是_____．

15．（2017·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形AnBn﹣1Bn頂點Bn的橫坐標為________________．

16．（2015·云南昆明·中考真題）如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為_____．

17．（2015·青海西寧市·中考真題）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，BD為AC邊上的高，將△ABC折疊，使點B與點D重合，折痕EF交BD于點D1，再將△BEF折疊，使點B于點D1重合，折痕GH交BD1于點D2，依次折疊，則BDn=____．

18．（2016·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE（點B′在四邊形ADEC內(nèi)），連接AB′，則AB′的長為______．

19．（2013·浙江紹興·中考真題）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是__


三、解答題
20．（2019·四川廣安·中考真題）在數(shù)學活動課上，王老師要求學生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設(shè)計方案（陰影部分為要剪掉部分）

請在圖中畫出4種不同的設(shè)計方案，將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）

21．（2019·河北中考真題）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心．
（1）求證：∠BAD=∠CAE；
（2）設(shè)AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．

22．（2020·浙江紹興·中考真題）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．
答案：∠DAC＝45°
思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會改變嗎？說明理由；
（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．





23．（2020·青海中考真題）在中，，交BA的延長線于點G．
特例感知：
（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到．請給予證明．

猜想論證：
（2）當三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

聯(lián)系拓展：
（3）當三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）























參考答案
1．C
【詳解】
試題分析：∵MN是線段AB的垂直平分線，∴AN=BN，∵△BCN的周長是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故選C．
考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．
2．C
【詳解】
分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出∠B的度數(shù)即可．
解：∵AC=AD，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∠DAC=80°，
∴∠ADC=（180°-80°）÷2=50°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=（50÷2）=25°．
故答案為C．
3．A
【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AB，利用線段垂直平分線的定義得到DA=DB，然后利用等線段代換得到△BDC的周長=AC+BC．
【詳解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周長=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故選A．
【點撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
4．B
【詳解】
試題分析：連接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，∴CD是斜邊AB的中線，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故選B．

考點：作圖—基本作圖；含30度角的直角三角形．
5．D
【詳解】
分析：作P點分別關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，利用軸對稱的性質(zhì)得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用兩點之間線段最短判斷此時△PMN周長最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出CD即可．
詳解：作P點分別關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，
則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此時△PMN周長最小，
作OH⊥CD于H，則CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=，
CH=OH=,
∴CD=2CH=3．
故選D．

【點撥】：本題考查了軸對稱﹣最短路線問題：熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題．
6．A
【詳解】
試題分析：連接OC，∵等腰直角△ABC中，AB=，∴∠B=45°，∴cos∠B=，∴BC=×cos45°=×=，∵點O是AB的中點，∴OC=AB=OB，OC⊥AB，∴∠COB=90°，∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，∴∠DOC=∠EOB，同理得∠ACO=∠B，∴△ODC≌△OEB，∴DC=BE，∴CD+CE=BE+CE=BC=，故選A．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
7．B
【詳解】
根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，進而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如圖，作A關(guān)于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，

則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH．
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故選B．
8．B
【分析】根據(jù)題意逐個證明即可，①只要證明，即可證明;
②利用三角形的外角性質(zhì)即可證明; ④作于，于,再證明即可證明平分.
【詳解】
解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正確；
∴，
由三角形的外角性質(zhì)得：
∴°，②正確；
作于，于，如圖所示：

則°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正確；
正確的個數(shù)有3個；
故選B．
【點撥】本題是一道幾何的綜合型題目，難度系數(shù)偏上，關(guān)鍵在于利用三角形的全等證明來證明線段相等，角相等.
9．B
【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．
解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：

∵是等邊三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，點D是邊的中點，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴點Q是在QE所在直線上運動，
∴當CQ⊥QE時，CQ取的最小值，
∴，
∴；
故選B．
【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵．
10．B
【分析】先通過作圖過程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后證明△ACD≌△AED說明C、D正確，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)說明選項A正確，最后發(fā)現(xiàn)只有AE=EB時才符合題意．
【詳解】
解：由題意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正確；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即選項A正確；
選項B，只有AE=EB時，才符合題意．
故選B．
【點撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)，正確理解尺規(guī)作圖成為解答本題的關(guān)鍵．
11．9
【詳解】
試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得∠A1AB的度數(shù)，∠A2A1C的度數(shù)，∠A3A2B的度數(shù)，∠A4A3C的度數(shù)，…，依此得到規(guī)律，再根據(jù)三角形外角小于90°即可求解．
解：由題意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
則∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度數(shù)，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n為整數(shù)，故n=9．
故選B．
考點：等腰三角形的性質(zhì)．
12．37
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【詳解】
∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°，
故答案為37．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理的應用．
13．14
【分析】如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點．
，
，
，
，
，
為等邊三角形
，
的最大值為，
故答案為．

【點撥】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題
14．
【解析】
【分析】由折疊的性質(zhì)可知AE=CE，再證明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，問題得解．
【詳解】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點A落在點C處，
∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，
∴∠CEB=72°，
∴BC=CE=AE=，
故答案為．
【【點撥】】本題考查了等腰三角形的判斷和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，證明△BCE是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
15． ．
【詳解】
由題意得OA=OA1=2，
∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…
∴Bn的橫坐標為，
故答案為：．
16．
【詳解】
試題分析：如圖所示，由△ABC是等邊三角形，BC=，得到AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性質(zhì)，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE為邊作等邊三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等邊三角形；S△ABC=AC?BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性質(zhì)，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=．S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN==，故答案為．

考點：1．等邊三角形的判定與性質(zhì)；2．三角形的重心；3．三角形中位線定理；4．綜合題；5．壓軸題．

17．．
【詳解】
試題分析：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，BD為AC邊上的高，∴BD=，
∵△BEF是邊長為，∴BD1=，∴BD2=，…，∴BDn=，故答案為．
考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．規(guī)律型；4．綜合題．
18．2.
【詳解】
過點D作DF⊥B′E于點F，過點B′作B′G⊥AD于點G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是等邊三角形，
∵△B′DE≌△BDE，
∴B′F=B′E=BE=2，DF=2,
∴GD=B′F=2，
∴B′G=DF=2，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′=2．

考點：1軸對稱；2等邊三角形.
19．12°．
【解析】
設(shè)∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x．
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，
……，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x．
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x．
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°．
解得x=12°，即∠A=12°．
20．見解析.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念作圖即可得．
【詳解】
解：根據(jù)剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形；即如圖所示：

【點撥】本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念．
21．（1）詳見解析；（2）PD的最大值為3；（3）m=105，n=150．
【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結(jié)論．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．
（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．
【詳解】
（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
當AD⊥BC時，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．
（3）如圖2，設(shè)∠BAP=α，則∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I為△APC的內(nèi)心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．

【點撥】本題是一道幾何綜合題，考查了垂線段最短，含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心概念及角平分線定義等，解題的關(guān)鍵是將PD最大值轉(zhuǎn)化為PA的最小值．
22．（1）∠DAC的度數(shù)不會改變，值為45°；（2）n°．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)∠ABC＝m°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∠DAC的度數(shù)不會改變；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝ [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）設(shè)∠ABC＝m°，
則∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
23．（1）證明見詳解；（2）DE+DF=CG，證明見詳解；（3）成立．
【分析】（1）通過條件證明△BFC≌△CGB，即可得到；
（2）過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，通過△BMC≌△CGB，得到BM=CG，然后由四邊形MHDF為矩形，MH=DF，最后再證明△BDH≌△DBE，得到BH=DE，即可得到結(jié)論；
（3）同（2）中的方法．
【詳解】
（1）∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BFC和△CGB中，

∴△BFC≌△CGB，
∴
（2）DE+DF=CG，
如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，

∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，

∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四邊形MHDF為矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，

∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG，
（3）成立，
如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，

同（2）中的方法
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BMC和△CGB中，

∴△BMC≌△CGB，
∴BM=CG，
由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，
∴四邊形MHDF為矩形，
∴MH=DF，DH∥MF，
∴∠HDB=∠MCB，
∴∠HDB=∠ABC，
在△BDH和△DBE中，

∴△BDH≌△DBE，
∴BH=DE，
∵BM=CG，BM=BH+HM，
∴DE+DF=CG．
【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，屬于幾何動態(tài)問題，能夠正確的構(gòu)造輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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