專題13.3 垂直平分線（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

　性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．特別說明：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.【典型例題】類型一、垂直平分線性質(zhì) 1．如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于．（1）若，則的度數(shù)是；（2）連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點(diǎn)，使由，，構(gòu)成的的周長值最??？若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并求的周長最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）50° （2）① 6cm；②存在點(diǎn)P，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，△PBC周長的最小值為【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠NMA＝50°;（2）①根據(jù)線段垂直平分線可得AM＝BM，根據(jù)△MBC的周長＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；②根據(jù)對稱軸的性質(zhì)可知，M點(diǎn)就是點(diǎn)P所在的位置，△PBC的周長最小值就是△MBC的周長．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－70°－70°＝40°∵M(jìn)N垂直平分AB交AB于N∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，在△AMN中，∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；（2）①如圖所示，連接MB，∵M(jìn)N垂直平分AB交于AB于N∴AM＝BM，∴△MBC的周長＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝又∵AB＝AC＝8cm，∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；②如圖所示，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN對稱，AC與MN交于點(diǎn)M，因此點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；∴△MBC的周長就是△PBC周長的最小值，∴△PBC周長的最小值＝△MBC的周長＝．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識點(diǎn)．舉一反三：【變式1】已知：如圖，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分線，求證：∠B=∠E．解：證明：連接AC，AD∵AF⊥CD且F是CD的中點(diǎn)∴可知AF是CD的垂直平分線，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等∴AC=AD，在和中【變式2】已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．（1）證明：BM=CN；（2）當(dāng)∠BAC=70°時(shí)，求∠DCB的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠DCB=35°【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得到DM=DN，DB=DC，根據(jù)HL證明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL證明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根據(jù)兩角互余的關(guān)系即可求得∠DCB的度數(shù)．解：（1）證明：連接BD、CD，如圖所示：∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分線BC，∴DB=DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，∴BM=CN；（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，∴∠ADM=∠ADN∵∠BAC=70°∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，∵∠BDM=∠CDN∴∠BDC=∠MDN=110°∵AD是BC的垂直平分線∴∠EDC=55°∴∠DCB=90°-∠EDC=35°∴∠DCB=35°故答案為∠DCB=35°．【點(diǎn)撥】考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，直線l與m分別是邊AC和BC的垂直平分線，它們分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.（1）若，則的周長是多少？為什么？（2）若，求的度數(shù).【答案】（1）10；（2）【分析】根據(jù)垂直平分線定理即可推出，同理，即的周長為10由垂直平分線定理可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即，再由三角形外角和定理得，即可計(jì)算出.解：（1）的周長為10∵l是AC的垂直平分線∴同理∴的周長（2）∵l是AC的垂直平分線∴同理∴，∵①∴∵∴②聯(lián)立①②，解得：【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握垂直平分線定理推出=AB是解題關(guān)鍵. 類型二、垂直平分線判定 2．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【答案】（1）65°（2）證明見解析【分析】（1）由題意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根據(jù)∠AED=90°，利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因?yàn)?/span>AD=AD，利用AAS可證△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理即可得證.解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC∴點(diǎn)A在線段CE的垂直平分線上，點(diǎn)D在線段CE的垂直平分線上，∴直線AD是線段CE的垂直平分線.【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形兩銳角互余、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理與判定定理是解題的關(guān)鍵. 舉一反三：【變式1】已知，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF。【分析】由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因?yàn)?/span>AD是△ABC的角平分線，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以點(diǎn)A在EF的垂直平分線上，又DE=DF，推出點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，即可證明AD垂直平分EF；解：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，又∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2，DE=DF，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上），∵DE=DF，∴點(diǎn)D在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF.【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F. 已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求證：FC=AD；（2）求AB的長. 【答案】（1）證明見解析；（2）AB=7cm.試題分析：（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可．試題解析：（1）∵AD∥BC∴∠ADC=∠ECF ，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=EC ，∵在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(ASA) ，∴FC=AD ；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF ，∵BE⊥AE ，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF ，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 【變式3】如圖所示，在中，是平分線，的垂直平分線分別交延長線于點(diǎn).求證：.證明：∵平分∴ (角平分線的定義)∵垂直平分∴ （線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）∴（）∴（等量代換）∴（）【答案】，；，；等邊對等角；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.【分析】根據(jù)角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角解決問題即可.解：證明:AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC(角平分線的定義)EF垂直平分AD∴FD＝FA(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等)∴∠BAD＝∠ADF(等邊對等角)∴∠DAC＝∠ADF(等量代換)∴DF∥AC(內(nèi)錯角相等兩直線平行)故答案為:BAD，DAC，FD，FA，等邊對等角，內(nèi)錯角相等兩直線平行【點(diǎn)撥】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型. 類型三、垂直平分線的應(yīng)用 3．如圖，在△OBC中，邊BC的垂直平分線交∠BOC的平分線于點(diǎn)D，連接DB，DC，過點(diǎn)D作DF⊥OC于點(diǎn)F.(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度數(shù)； (2)若∠BOC＝，則∠BDC＝；（直接寫出結(jié)果）(3)直接寫出OB，OC，OF之間的數(shù)量關(guān)系. 【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF【分析】(1)首先過點(diǎn)D作DE⊥OB于E，易證得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；(2)由（1），可求得∠BDC的度數(shù);(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF解：(1)過點(diǎn)D作DE⊥OB，交OB延長線于點(diǎn)E，DF⊥OC于F，
∵OD是∠BOC的平分線，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴△DEB≌△DFC（HL）∴∠BDE=∠CDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠EOF+∠EDF=180゜，∵∠BOC=60゜，∴∠BDC=∠EDF=120゜．（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，∵∠BOC=α，∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．故答案為：180゜-α．（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF【點(diǎn)撥】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．舉一反三：【變式1】如圖，中，，，．（1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）分別以，為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線即可．（2）設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．解：（1）如圖直線即為所求．（2）∵垂直平分線段，∴，設(shè)，在中，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式2】如圖，點(diǎn)和點(diǎn)在內(nèi)部．（1）請你作出點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，且到兩邊的距離也相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）請說明作圖理由．【分析】（1）由垂直平分線性質(zhì)可知點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等即點(diǎn)P在MN的垂直平分線，由角平分線的性質(zhì)可知兩邊的距離相等，即點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.分別作出MN的垂直平分線和∠AOB的角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求.（2）根據(jù)作法即可說出理由.解：（1）如圖，作∠AOB的角平分線與線段MN的垂直平分線交于P點(diǎn)，即點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，且到兩邊的距離也相等；（2）理由：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本作圖的一般步驟、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，猜測DG與AG間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）AG=3DG，理由見解析.【分析】(1)、根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，從而得出∠DEF=∠DFE，則∠AEF=∠AFE，從而說明AE=AF，即點(diǎn)A、D都在EF的垂直平分線上，得出答案；(2)、根據(jù)∠BAC=60°，AD平分∠BAC得出AD=2DE，根據(jù)∠EGD=90°，∠DEG=30°得出DE=2DG，從而說明AD=4DG，即AG=3DG.解：(1)、∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF ∴點(diǎn)A、D都在EF的垂直平分線上，∴AD垂直平分EF．(2)、AG=3DG．∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，∴∠DEG=30° ∴DE=2DG，∴AD=4DG， ∴AG=3DG．考點(diǎn)：(1)、角平分線的性質(zhì)；(2)、中垂線的性質(zhì). 類型四、作圖-垂直平分線 4．如圖，在中．利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離的長等于PC的長；利用尺規(guī)作圖，作出中的線段PD．要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑【分析】由點(diǎn)P到AB的距離的長等于PC的長知點(diǎn)P在平分線上，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AC、AB分別交于一點(diǎn)，然后分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A及這個(gè)交點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)P，P即為要求的點(diǎn)）；根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)P為圓心，以大于點(diǎn)P到AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)間距離一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的一側(cè)交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)以及點(diǎn)P作直線與AB交于點(diǎn)D，PD即為所求）．解：如圖，點(diǎn)P即為所求；如圖，線段PD即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．舉一反三：【變式1】尺規(guī)作圖：校園有兩條路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請你幫助畫出燈柱的位置P．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【分析】分別作線段CD的垂直平分線和∠AOB的角平分線，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．解答：如圖，點(diǎn)P為所作．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)，連接BP，求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到AB和AC兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)B和點(diǎn)P的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖即可．解答：如圖，點(diǎn)M即為所求，作法：如解圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于、兩點(diǎn)，再分別以、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接；以、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于、，連接，則的延長線與的延長線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).【點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知，按下列要求：（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）（1）作邊上的高；（2）作的平分線．（尺規(guī)作圖）（3）作出線段的垂直平分線．（尺規(guī)作圖）【分析】（1）根據(jù)鈍角三角形高的做法即可；（2）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法即可．解：（1）如圖所示：AD為BC邊上的高．（2）如圖所示：BE為△ABC的平分線．（3）如圖所示：為線段的垂直平分線．【點(diǎn)撥】本題考查了鈍角三角形的高、角平分線、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵掌握相應(yīng)的作圖方法