?專題13.4 垂直平分線（專項練習）
一、 單選題
知識點一、垂直平分線性質(zhì)
1．如圖，已知是的角平分線，是的垂直平分線，，，則的長為（ ）

A．6 B．5 C．4 D．
2．如圖，已知，以兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩弧相交于點，連接與相較于點，則的周長為（ ）

A．8 B．10 C．11 D．13
3．如圖，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N作直線MN，交BC于點D，連結(jié)AD，則∠BAD的度數(shù)為（ ）

A．65° B．60°
C．55° D．45°
4．如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．
步驟1:以C為圓心，CA為半徑畫?、伲?br /> 步驟2:以B為圓心，BA為半徑畫?、?，交?、儆邳cD；
步驟3:連接AD，交BC延長線于點H.
下列敘述正確的是( )

A．BH垂直平分線段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC?AH D．AB=AD
5．如圖，在中，AB＝AC，分別以點A、B為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC＝4，面積為10，則BM+MD長度的最小值為（　?。?br />
A． B．3 C．4 D．5
知識點二、垂直平分線判定
6．如圖，，，則下面說法正確的是（ ）

A．垂直平分 B．垂直平分
C．與互相垂直平分 D．平分
7．如圖，中，∠ACB=90°,∠B=22.5°,的垂直平分線交于，則下列結(jié)論不正確的是（?）

A． B．
C． D．
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　　）
①點D到∠BAC的兩邊距離相等；
②點D在AB的中垂線上；
③AD＝2CD
④AB＝2CD

A．1 B．2 C．3 D．4
9．給出下面兩個定理:
①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
②到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
應用上述定理進行如下推理:
如圖,直線l是線段MN的垂直平分線.

∵點A在直線l上,∴AM=AN.(　　)
∵BM=BN,∴點B在直線l上.(　　)
∵CM≠CN,∴點C不在直線l上.
這是∵如果點C在直線l上,那么CM=CN, (　　)
這與條件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括號內(nèi)應注明的理由依次是 (　　)
A．②①① B．②①②
C．①②② D．①②①
10． 如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結(jié)論：

①OA=OD；
②AD⊥EF；
③當∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正確的是（ ）
A． ②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
知識點三、垂直平分線的應用
11．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，則△BDC的周長是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A．1 B．2 C．3 D．4
13．如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN分別交BC，AC于點D，E，若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（　?。?br />
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
14．如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是（　?。?br /> A． B．
C． D．
15．在銳角三角形ABC內(nèi)一點P,，滿足PA=PB=PC,則點P是△ABC （ ）
A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點
C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點
知識點四、作圖-垂直平分線
16．尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；
Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：

則正確的配對是（　?。?br /> A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
17．根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
18．通過如下尺規(guī)作圖，能確定點是邊中點的是（ ）
A． B．
C． D．
19．尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
20．下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應選項中作法錯誤的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

二、 填空題
知識點一、垂直平分線性質(zhì)
21．如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B=70°，∠FAE=19°，則∠C=______度．

22．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN=_____．

23．如圖，∠BAC=110°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是______．

24．如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DP與∠BAC的角平分線相交于點D，垂足為點P，若∠BAC=84°，則∠BDC=_____．

25．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為_____度．

知識點二、垂直平分線判定
26．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中成立的有____________(填寫正確的序號)．

①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
27．如圖，ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四個結(jié)論：①AS=AR；②QP∥AR；③BRP≌QSP；④AP垂直平分RS．其中正確結(jié)論的序號是_____（請將所有正確結(jié)論的序號都填上）．

28．如圖所示,公路BC所在的直線恰為AD的垂直平分線,則下列說法中:①小明從家到書店與小穎從家到書店一樣遠;②小明從家到書店與從家到學校一樣遠;③小穎從家到書店與從家到學校一樣遠;④小明從家到學校與小穎從家到學校一樣遠.正確的是__.(填寫序號)?

29．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑作弧，過弧的交點作直線，分別交AB、AC于點D、E．若EC＝5，則△BEC的面積為_____．

30．已知銳角如圖

（1）在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接；
（2）分別以點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點連接；
（3）作射線交于點．
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中正確的是_______________；
；；；
知識點三、垂直平分線的應用
31．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，則MN的長為______cm．

32．如圖，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為__．

33．如圖，在中，，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點作直線，交邊于點，連接，則的周長為________．

34．如圖，在中，，分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線交點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線，此時射線恰好經(jīng)過點D，則_____度．

35．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD．若△ADC的周長為10，AB＝7，則△ABC的周長為_____．

知識點四、作圖-垂直平分線
36．閱讀下面材料：在教學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線.
已知：線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線.
小蕓的作法如下：如圖， （1）分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于C，D兩點； （2）作直線CD．所以直線CD就是所求作的垂直平分線.

老師說：“小蕓的作法正確.”
請回答：小蕓的作圖依據(jù)是____________________，
37．如圖，在中，分別以點和為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，，作直線，交于點，連接．如果,，那么___________；

38．閱讀下面材料：
數(shù)學活動課上，老師出了一道作圖問題：“如圖，已知直線l和直線l外一點P.用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q．”

小艾的作法如下：
（1）在直線l上任取點A，以A為圓心，AP長為半徑畫?。?br /> （2）在直線l上任取點B，以B為圓心，BP長為半徑畫弧．
（3）兩弧分別交于點P和點M
（4）連接PM，與直線l交于點Q，直線PQ即為所求．
老師表揚了小艾的作法是對的．
請回答：小艾這樣作圖的依據(jù)是_____．
39．如圖，與關于成軸對稱，分別以點、為圓心，大于長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點和點，作直線交于點，連結(jié)．若，則的大小為__________度．

40．如圖，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點P．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點D，E；②分別以點D，E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；⑤作射線AF．若AF與PQ的夾角為，則_______°．


三、 解答題
知識點一、垂直平分線性質(zhì)
41．如圖，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大??；
（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周長．





知識點二、垂直平分線判定
42．如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D.求證：OE是線段CD的垂直平分線.


知識點三、垂直平分線的應用
43．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE，交AC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）連接BD，求證：BD平分∠CBA．


知識點四、尺規(guī)作圖-垂直平分線
44．如圖，已知在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點，連接AM，請用尺規(guī)作圖法，在AM上求作一點P，使得△DPA∽△ABM（不寫做法保留作圖痕跡）


參考答案
1．D
【分析】
根據(jù)ED是BC的垂直平分線、BD是角平分線以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，從而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函數(shù)的知識進行解答即可得.
解：∵ED是BC的垂直平分線，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故選D．
【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，余弦等，結(jié)合圖形熟練應用相關的性質(zhì)及定理是解題的關鍵.
2．A
【分析】
利用基本作圖得到MN垂直平分AB，利用線段垂直平分線的定義得到DA=DB，然后利用等線段代換得到△BDC的周長=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周長=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故選A．
【點撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
3．A
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=95°，即可得到結(jié)論．
解：由題意可得：MN是AC的垂直平分線，
則AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故選A．
【點撥】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關鍵．
4．A
解：如圖連接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，
∴點C、點B在線段AD的垂直平分線上，
∴直線BC是線段AD的垂直平分線，
故A正確．
B、錯誤．CA不一定平分∠BDA．
C、錯誤．應該是S△ABC=?BC?AH．
D、錯誤．根據(jù)條件AB不一定等于AD．
故選A．
5．D
【分析】
由基本作圖得到得EF垂直平分AB，則MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，連接MA、DA，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷MA+MD的最小值為AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，然后利用三角形面積公式計算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
連接MA、DA，如圖，

∵MA+MD≥AD（當且僅當M點在AD上時取等號），
∴MA+MD的最小值為AD，
∵AB＝AC，D點為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD長度的最小值為5．
故選：D．
【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點之間，線段最短，掌握以上知識是解題的關鍵．
6．A
【分析】
根據(jù)題意，由SSS判定，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)解得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題即可．
解：在與中，



又∵AC=AD
∴AB垂直平分CD（三線合一），
故選：A．
【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
7．D
【分析】
由垂直平分線可得，AD=DB，∠B=∠DAB=22.5°，∴∠CDA=45°，∴ △ACD為等腰直角三角形.則可選出正確答案.
解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，
∴∠BAC=180°-90°-22.5°=67.5°，
又AB的垂直平分線交BC于D，
∴DB=DA，故選項C正確；
∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠DAC=67.5°-22.5°=45°，選項B正確，
∠ADC=22.5°+22.5°=45°，選項A正確，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD=BD，
∴BD＞CD，選項D錯誤，
則不正確的選項為D．
故選D．
【點撥】垂直平分線往往都伴隨著考查等腰三角形.
8．D
【分析】
根據(jù)角平分線的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
解：由圖可知：AD是∠BAC的平分線，
∴①點D到∠BAC的兩邊距離相等，正確；
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴②點D在AB的中垂線上，正確；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∴③AD＝2CD，正確；
∴AB＝2AC，AC＝CD，
∴④AB＝2CD，正確；
故選D．
【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖?基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．
9．D
解：根據(jù)題意，第一個空，由垂直平分線得到線段相等，應用了性質(zhì)，填①；
第二個空，由線段相等得點在直線上，應用了判定，填②；
應用了垂直平分線的性質(zhì)，填①．
應所以填①②①，故選D．
點睛：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)及判定．前提是在線段垂直平分線上，應使用性質(zhì)；最后得到線段垂直平分線，應使用判定，分清這點是正確解答本題的關鍵．
10．D
解：①不正確；
②因為AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得DE=DF，∠EAD=∠FAD，AD公用，所以△ AED≌△AFD；∴AE=AF，所以AD垂直平分AO；
③因為∠A=∠AED=∠AFD=90°，可得四邊形AEDF是矩形，由②得DE=DF，所以四邊形ADEF是正方形；
④因為AE=AF，DE=DF，所以；所以選D．
11．C
【分析】
由ED是AB的垂直平分線，可得AD=BD，又由△BDC的周長=DB+BC+CD，即可得△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC．
解：∵ED是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△BDC的周長=DB+BC+CD，
∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故選C．
【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形周長的計算，掌握轉(zhuǎn)化思想的應用是解題的關鍵．
12．D
解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線.故①正確.
②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正確.

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴點D在AB的中垂線上.故③正確.
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD.
∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，，共有4個．故選D.
13．B
【分析】
根據(jù)作法可知MN是AC的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)進行求解即可得答案.
解：根據(jù)作法可知MN是AC的垂直平分線，
∴DE垂直平分線段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周長=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故選B．
【點撥】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．
14．B
【分析】
由且知，據(jù)此得，由線段的中垂線的性質(zhì)可得答案．
解：∵且，
∴，
∴，
∴點是線段中垂線與的交點，
故選B
【點撥】考核知識點：線段垂直平分線.理解線段垂直平分線性質(zhì)是關鍵.
15．D
【分析】
利用線段的垂直平分線的性質(zhì)進行思考，首先思考滿足PA=PB的點的位置，然后思考滿足PB=PC的點的位置，答案可得．
解：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分線上，
同理P在AC，BC的垂直平分線上．
∴點P是△ABC三邊垂直平分線的交點．
故選D．
【點撥】本題考查的知識點為：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．注意做題時要分別進行思考．
16．D
解：【分析】分別利用過直線外一點作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過直線上一點作這條直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案．
【詳解】Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線，觀察可知圖②符合；
Ⅱ、作線段的垂直平分線，觀察可知圖③符合；
Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線，觀察可知圖④符合；
Ⅳ、作角的平分線，觀察可知圖①符合，
所以正確的配對是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故選D．
【點睛】本題主要考查了基本作圖，正確掌握基本作圖方法是解題關鍵．
17．C
【分析】
根據(jù)三角形外心的定義得到三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，然后利用基本作圖對各選項進行判斷．
解：三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，由基本作圖得到C選項作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心．
故選C．
【點撥】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形的外心．
18．A
【分析】
作線段的垂直平分線可得線段的中點．
解：作線段的垂直平分線可得線段的中點．
由此可知：選項A符合條件，
故選A．
【點撥】本題考查作圖﹣復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖．
19．B
【分析】
根據(jù)過直線外一點向直線作垂線即可．
解：已知：直線AB和AB外一點C．
求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．
作法：（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．
（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E．
（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F，
（4）作直線CF．
直線CF就是所求的垂線．
故選B．

【點撥】此題主要考查了過一點作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解決問題的關鍵．
20．C
解：試題解析： ①作一個角等于已知角的方法正確；
②作一個角的平分線的作法正確；
③作一條線段的垂直平分線缺少另一個交點，作法錯誤；
④過直線外一點P作已知直線的垂線的作法正確．
故選C．
考點：基本作圖.
21．24
【分析】
根據(jù)角平分線和垂直平分線的性質(zhì)得到角之間的關系，再利用三角形內(nèi)角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分線,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本題正確答案為24.
【點撥】本題主要考查角平分線和垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等于180度的應用、角的概念及其計算.
22．32°
【分析】
先由∠BAC＝106°及三角形內(nèi)角和定理求出∠B＋∠C的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
解：在△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝180°?106°＝74°，
∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）＝106°?74°＝32°．
故答案為32°．
【點撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此題的關鍵．
23．40°
解：∵MP與NQ分別垂直平分AB和AC
∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°
又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP
∠AQP＝∠C＋∠QAC
∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°
在△APQ中
∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP
＝180°－140°＝40°
24．96°
解：過點D作DE⊥AB，交AB延長線于點E，DF⊥AC于F，

∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案為：96°．
【點撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的判定及性質(zhì)，正確作出輔助線證明Rt△DEB≌Rt△DFC是解題的關鍵．
25．108．
解：如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO為∠BAC的平分線，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°．
∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB．
∴∠ABO=∠BAO=27°．∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°．
∵DO是AB的垂直平分線，AO為∠BAC的平分線，
∴點O是△ABC的外心．∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=36°．
∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=36°．
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
26．①③④

【分析】
根據(jù)角平分線的意義及其性質(zhì)可以對各項的正確性質(zhì)作出判斷．
解：由角平分線的定義可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正確，②錯誤；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正確；
故答案為①、③、④．
【點撥】本題考查三角形的應用，熟練掌握角平分線、中垂線的意義和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵．
27．①②③④
【分析】
根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出①，根據(jù)勾股定理即可推出AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，無法判斷△BRP≌△QSP；連接RS，與AP交于點D，先證△ARD≌△ASD，則RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AR=AS，∴①正確；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP//AR，∴②正確；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不滿足三角形全等的條件，故③錯誤；
④如圖，連接RS，與AP交于點D，
在△ARD和△ASD中，
，
∴△ARD≌△ASD，
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，
所以AP垂直平分RS，故④正確，
故答案為①②④．

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，角平分線性質(zhì)的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．
28．②③
【解析】
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)由公路BC所在的直線恰為AD的垂直平分線得到CA=CD,BA=BD ,然后分別進行判斷.
解：解:∵公路BC所在的直線恰為AD的垂直平分線,
∴CA=CD,BA=BD,
即小明從家到書店與從家到學校一樣遠;小穎從家到書店與從家到學校一樣遠.
故答案為②③.
【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,屬于簡單題,熟悉線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關鍵.
29．30
【解析】
【分析】
由尺規(guī)作圖得到MN為AB的垂直平分線，然后利用垂直平分線性質(zhì)和勾股定理得到BC=12，所以S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
解：由作圖可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案為：30．
【點撥】本題考查直角三角形和尺規(guī)作圖，能夠知道MN是AB的垂直平分線是解題關鍵
30．②③④．
【分析】
根據(jù)作圖信息判斷出OP平分∠AOB，由此即可一一判斷．
解：由作圖可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分線段CD，
∴CQ=DQ
∴CP=2QC
故②③④正確，
故答案為②③④．
【點撥】本題考查角平分線的作圖-復雜作圖及線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
31．3
解：試題分析：連接AM，AN，∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案為3cm．

考點：1．線段垂直平分線的性質(zhì)；2．等腰三角形的性質(zhì)；
32．18
【解析】
【分析】
如圖作AH⊥BC于H,連接AD，由EG垂直平分線段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．
解：
∵EG垂直平分線段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．
∵
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴
∴DF+DC的最小值為13
∴△CDF的周長最短=13+5=18.
故答案為：18.
【點撥】本題考查的知識點是軸對稱-最短路線問題, 線段垂直平分線的性質(zhì), 等腰三角形的性質(zhì)，解題關鍵是學會運用軸對稱，解決最短問題.
33．
【分析】
由題意可得MN為AB的垂直平分線，所以AD=BD，進一步可以求出的周長.
解：∵在中，分別以A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N，作直線MN，交BC邊于D，連接AD；
∴MN為AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴的周長為：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案為13.
【點撥】本題主要考查的是垂直平分線的運用，掌握定義及相關方法即可.
34．32
【分析】
由作圖可得MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，根據(jù)它們的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解．
解：由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案為：32．
【點撥】本題考查了作圖-復雜作圖，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法和角平分線的作法．
35．17
【分析】
首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)△ADC的周長為10可得AC+BC=10，又由條件AB=7可得△ABC的周長．
解：∵在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD．
∴MN是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△ADC的周長為10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周長為：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案為17．
36．到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上：兩點確定走一條直線．
解：試題分析：本題考查了線段垂直平分線的作法，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于C，D兩點，根據(jù)兩點決定一條直線，連接CD, 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和線的性質(zhì)可得線段AB的垂直平分線.
考點：線段垂直平分線的作法；直線的性質(zhì)
37．3
【分析】
直接利用基本作圖方法得出MN垂直平分AB，進而得出答案．
解：由作圖步驟可得：MN垂直平分AB，則AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC-CD=5-2=3．
故答案為3．
【點撥】此題考查基本作圖，正確得出MN垂直平分AB是解題關鍵．
38．到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上或兩點確定一條直線或sss或全等三角形對應角相等或等腰三角形的三線合一
【解析】
【分析】
從作圖方法以及作圖結(jié)果入手考慮其作圖依據(jù)..
解：依題意，AP＝AM，BP＝BM，根據(jù)垂直平分線的定義可知PM⊥直線l.因此易知小艾的作圖依據(jù)是到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上;兩點確定一條直線.故答案為到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上;兩點確定一條直線.
【點撥】本題主要考查尺規(guī)作圖，掌握尺規(guī)作圖的常用方法是解題關鍵.
39．78
【分析】
利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，再利用對稱的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAC，所以∠BAC=39°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算∠CPB的度數(shù)．
解：由作法得，MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵△ABC與△ADC關于AC成軸對稱，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAB=×78°=39°，
∴∠CPB=∠PAB+∠PBA=2∠PAB=2×39°=78°．
故答案為：78°．
【點撥】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)．
40．56°
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAM＝34°，由線段垂直平分線可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°?∠B＝90°?22°＝68°，
由作圖知：AM是∠BAC的平分線，
∴∠BAM＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分線，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°?∠BAM＝90°?34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°．
故答案為：56°．

【點撥】此題考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，線段垂直平分線的定義，對頂角相等等知識，熟練掌握相關定義和性質(zhì)是解題的關鍵．
41．（1）∠B=20°；（2）△AEB的周長=11.25．
【分析】
（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根據(jù)直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出BC=4，設AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°；
（2）由勾股定理得，=4，
設AE=BE=x，則CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+（4﹣x）2=x2，
解得x=，
∴△AEB的周長=×2+5=11.25．
【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)、勾股定理的運用，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．
42．答案見解析.
【分析】
證△EDO和△ECO全等，推出OD=OC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．
解：證明：∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D，
∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°，
在Rt△ODE與Rt△OCE中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∵DE=EC，
∴OE是線段CD的垂直平分線．
【點撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的應用，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的知識是解答此題的關鍵，難度適中．
43．（1）作圖見解析；（2）證明見解析．
【分析】
（1）分別以A、B為圓心，以大于AB的長度為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線，交AC于點D，AB于點E，直線DE就是所要作的AB邊上的中垂線；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，從而得到BD平分∠CBA．
解：（1）解：如圖所示，DE就是要求作的AB邊上的中垂線；

（2）證明：∵DE是AB邊上的中垂線，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【點撥】考查線段的垂直平分線的作法以及角平分線的判定，熟練掌握線段的垂直平分弦的作法是解題的關鍵.
44．作圖見解析.
解：【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法過點D作AM的垂線即可得
【詳解】如圖所示，點P即為所求作的點.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，熟練掌握作圖的方法是解題的關鍵.

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