【教學目標】
知識與技能
掌握一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟;并能解答一元一次方程和、差、倍分問題的簡單應用題.
過程與方法
通過列方程解應用題,提高分析問題、解決問題的能力.
情感態(tài)度
理解和體會數(shù)學建模思想在實際問題中的作用,形成用數(shù)學知識解決問題的意識.
教學重點
找出等量關系,列出方程.
教學難點
找出等量關系,列出方程.
【教學過程】
一、情景導入,初步認知
1.在小學算術中,我們學習了用算術方法解決實際問題的有關知識,那么,一個實際問題能否應用一元一次方程來解決,若能解決,怎樣解?用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較它有什么優(yōu)越性?
某數(shù)的3倍減2等于它與4的和,求某數(shù).(用算術方法解由學生回答)
解:(4+2)÷(3-1)=3
答:某數(shù)為3.
如果設某數(shù)為x,根據(jù)題意,其數(shù)學表達式為
3x-2=x+4
此式恰是關于x的一元一次方程.解之得x=3.
上述兩種解法,很明顯算術方法不易思考,而應用設未知數(shù),列出方程并通過解一元一次方程求得應用題的解有化難為易之感,這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一.
2.我們知道方程是一個含有未知數(shù)的等式,而等式表示了一個相等的關系.對于任何一個應用題中所提供的條件應首先找出一個相等的關系,然后再將這個相等的關系表示成方程.
下面我們通過實例來說明怎樣尋找一個相等的關系和把這個相等關系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟.
【教學說明】 采用提問的形式,提高了學生的學習興趣和動力.再通過算術法與方程解決實際問題的方法對比,讓學生明白方程的優(yōu)越性.
二、思考探究,獲取新知
1.探究:某濕地公園舉行觀鳥活動,其門票價格如下,全價票20元/人,半價票10元/人.
該公園共售出1 200張門票,得總票款20 000元,問全價票和半價票各售出多少張?
(1)此問題中,有何等量關系?
全價票款+半價票款=總票款.
(2)怎樣設未知數(shù)?
設售出全價票x張,則售出半價票(1 200-x)張.
(3)根據(jù)等量關系列出方程,并求解.
x·20+(1 200-x)·10=20 000
解得:x=800
所以半價票為:1 200-800=400(張)
即全價票售出800張,半價票售出400張.
【教學說明】 讓學生體會找相等關系是列方程的關鍵所在.
2.根據(jù)上面的解題過程,你能總結(jié)出一元一次方程解實際問題的一般步驟嗎?
【歸納結(jié)論】 一元一次方程解實際問題的一般步驟為:
【教學說明】 培養(yǎng)學生觀察、概括及語言表達能力.
三、運用新知,深化理解
1.教材P98例1.
2.某工廠的產(chǎn)值連續(xù)增長,去年的是前年的1.5倍,今年的是去年的2倍,這三年的總產(chǎn)值為550萬元,前年的產(chǎn)值是多少?
解:設前年的產(chǎn)值為x,則去年的產(chǎn)值為1.5x,今年的產(chǎn)值為2×1.5x,則x+1.5x+2×1.5x=550
5.5x=550
x=100
答:前年的產(chǎn)值為100萬元.
3.某面粉倉庫存放的面粉運出15%后,還剩余42 500 kg,這個倉庫原來有多少面粉?
分析:題中給出的已知量為倉庫中存放的面粉運出15%;倉庫中還剩余42 500 kg.未知量為倉庫中原來有多少面粉.
已知量與未知量之間的一個相等關系:原來重量-運出重量=剩余重量
設原來有x千克面粉,運出15%x千克,還剩余42 500千克.
解:設原來有x千克面粉,那么運出了15%x千克,根據(jù)題意,得
x-15%·x=42 500
即x-x=42 500 x=42 500
解得,x=50 000.
經(jīng)檢驗,符合題意.
答:原來有50 000千克面粉.
4.某車間有28名工人,生產(chǎn)特種螺栓和螺母,一個螺栓的兩頭各套上一個螺母配成一套,每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個,問多少工人生產(chǎn)螺栓,多少工人生產(chǎn)螺母,才能使一天所生產(chǎn)的螺栓和螺母正好配套?
解:設x名工人生產(chǎn)螺栓,(28-x)名工
人生產(chǎn)螺母,列方程得
2×12x=18(28-x)
解得x=12,
生產(chǎn)螺母的人數(shù)為28-x=16
答:12名工人生產(chǎn)螺栓,16名工人生產(chǎn)螺母,才能使一天所生產(chǎn)的螺栓和螺母正好配套.
5.蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿,現(xiàn)在有蜻蜓、蜘蛛若干只,它們共有270條腿,且蜻蜓的只數(shù)是蜘蛛的2倍少5只,問蜘蛛、蜻蜓各有多少只?
解:設有蜘蛛x只,蜻蜓有(2x-5)只,
則8x+6(2x-5)=270
解方程得x=15,2x-5=25
答:蜘蛛有15只,蜻蜓有25只.
6.在甲處勞動的有27人,在乙處勞動的有19人.現(xiàn)在另調(diào)20人去支援,使在甲處的人數(shù)為在乙處的人數(shù)的2倍,應調(diào)往甲、乙兩處各多少人?
分析:(1)審題:從外處共調(diào)20人去支援.如果設調(diào)往甲處的是x人,則調(diào)往乙處的是多少人?一處增加x人,另一處便增加(20-x)人.看下表:
(2)找等量關系:
調(diào)人后甲處人數(shù)=調(diào)人后乙處人數(shù)的2倍.
解:設應該調(diào)往甲處x人,那么調(diào)往乙處的人數(shù)就是(20-x)人.根據(jù)題意,得
27+x=2[19+(20-x)].
解方程
27+x=78-2x,
3x=51,
x=17.
20-x=20-17=3.
經(jīng)檢驗,符合題意.
答:應調(diào)往甲處17人,調(diào)往乙處3人.
7.整理一批圖書,如果由一個人單獨做要用30h,現(xiàn)先安排一部分人用1h整理,隨后又增加6人和他們一起又做了2h,恰好完成整理工作.假設每個人的工作效率相同,那么先安排整理的人員有多少?
解:設先安排整理的人員有x人,依題意,得+=1
解得x=6.
經(jīng)檢驗,符合題意.
答:先安排整理的人員有6人.
【教學說明】 通過練習,鞏固本節(jié)課所學的內(nèi)容.
四、師生互動、課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié).教師作以補充.
【課后作業(yè)】
布置作業(yè):教材“習題3.4”中第4、7、8題.
第2課時
【教學目標】
知識與技能
學會用方程表示實際問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律.
過程與方法
通過探索實際問題,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識,體會數(shù)學的價值.
情感態(tài)度
培養(yǎng)學生觀察、分析、推理能力,滲透建模思想、方程思想、分類討論思想.
教學重點
正確地分析出應用題中的已知數(shù)、未知數(shù).
教學難點
能夠準確地找出應用題的等量關系.
【教學過程】
一、情景導入,初步認知
華冠超市把一種羊毛衫按進價提高50%標價,然后再按8折(標價的80%)出售,這樣華冠每賣出一件羊毛衫就可盈利80元.這種羊毛衫的進價是多少元?如果按6折出售,華冠還盈利嗎?為什么?
【教學說明】 通過學生進行實際調(diào)查,激發(fā)學生的學習興趣,使每一名學生都成為知識的探索者、創(chuàng)新者,滲透方程思想、建模思想,培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識.
二、思考探究,獲取新知
1.探究:某商店將某型號彩電按標價的八折出售,則此時每臺彩電的利潤率是5%,已知該型號彩電的進價為每臺4 000元,求該型號彩電的標價.
(1)此問題中,有何等量關系?
售價-進價=利潤.
(2)怎樣設未知數(shù)?
設彩電標價為每臺x元,則售價為0.8x元.
(3)根據(jù)等量關系列出方程,并求解.
0.8x-4 000=4 000×5%
解得:x=5 250
即:彩電的標價為每臺5 250元.
2.交流討論:在銷售問題中進價、售價、利潤、利潤率的關系式有哪些?
【歸納結(jié)論】 銷售問題中的等量關系式有:
①商品利潤=商品售價-商品進價
②商品售價=商品標價×折扣數(shù)
③×100%=商品利潤率
④商品售價=商品進價×(1+利潤率)
3.2011年10月1日,楊明將一筆錢存入某銀行,定期3年,年利率是5%,若到期后取出,他可得到本息和23 000元,求楊明存入的本金是多少元?
(1)引導學生分析、解決問題.
(2)在存款問題中有哪些等量關系式?
【歸納結(jié)論】 存款問題中的等量關系式有:
①利息=本金×年利率×年數(shù)
②本息和=本金+利息
【教學說明】 明確解決銷售問題的關鍵是利用銷售問題的公式,尋找問題中隱藏的相等關系.在平時的學習生活中,要好好把握各種問題的數(shù)量關系,可以作為一種知識的儲備!
三、運用新知,深化理解
1.昨天陳管杰的媽媽到華冠花了69元買了一件衣服,這件衣服是按標價的3折出售的,這件衣服的標價是多少元?
解:設這件羊毛衫的標價是x元,根據(jù)題意,得:=69
解得:x=230
答:這件衣服的標價是230元.
2.商場出售某種文具,每件可盈利2元,為了支援山區(qū),現(xiàn)在按原售價的7折出售給一個山區(qū)學校,結(jié)果每件仍盈利0.2元.問該文具每件的進價是多少元?
基本關系式:進價=標價×折數(shù)-利潤
解:設該文具每件的進價是x元.
根據(jù)題意得:
x= (x+2)-0.2
解方程得:x=4
答:該文具每件的進價是4元.
3.某商品的進價是200元,標價為400元,商店要求利潤率不低于25%的價格出售,求售貨員最低可以打幾折出售此商品?
解:設打x折出售此商品.
400x-200=200×25%
則x=0.625
答:售貨員最低可以打6.25折出售此商品.
4.某企業(yè)存入銀行甲、乙兩種不同性質(zhì)的存款20萬元.甲種存款的年利率為5.5%,乙種存款的年利率為4.5%,該企業(yè)一年可獲利9500元,求甲、乙兩種存款各是多少元?
解:設甲種存款為x元,依題意:
5.5%x+(200 000-x)×4.5%=9 500,
解得:x=50 000,
乙存款:200 000-50 000=150 000(元),
答:甲存款50 000元,乙存款150 000元.
5.兒童節(jié)期間,文具商店搞促銷活動,同時購買一個書包和一個文具盒可以打8折優(yōu)惠,能比標價省13.2元.已知書包標價比文具盒標價的3倍少6元,那么書包和文具盒的標價各是多少元?
解:設一個文具盒標價為x元,則一個書包標價為(3x-6)元,依題意,得
(1-80%)(x+3x-6)=13.2
解此方程,得x=18,
經(jīng)檢驗,符合題意.
3x-6=48(元)
答:書包和文具盒的標價分別是48元/個,18元/個.
6.某商店有兩個進價不同的計算器都賣64元,其中一個虧本20%,另一個盈利60%.請你計算一下,在這次買賣中,這家商店是賺還是賠?若賺,共賺了多少元?若賠,賠了多少元?
解:設一個價錢為x元,另一個價錢為y元,
依題意得:
x(1+60%)=64,
y(1-20%)=64,
所以:x=40,y=80,
則64×2-(x+y)=128-120=8.
故盈利8元.
答:在這次買賣中,這家商店是賺了,共賺了8元.
7.隨著科學技術的發(fā)展,電腦價格不斷下降,某一品牌電腦,每臺先降價m元,后連續(xù)兩次降價,每次降價25%,現(xiàn)售價為n元,那么該電腦原來每臺售價是多少元?
解:設原來的售價是x元.
根據(jù)等式列方程得:(1-25%)2(x-m)=n,
解得x=n+m,
答:原來每臺的售價是(n+m)元.
【教學說明】 通過練習提高學生思維的廣度;培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神.
四、師生互動、課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié),教師作以補充.
【課后作業(yè)】
布置作業(yè):教材“習題3.4”中第1、2題.
第3課時
【教學目標】
知識與技能
進一步體會運用方程解決問題的關鍵是尋找等量關系,提高分析問題、解決問題的能力.
過程與方法
通過自主探究與小組合作交流,能合理清晰地表達自己的思維過程,掌握根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系,列出方程,感悟方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效模型,訓練學生運用新知識解決實際問題的能力.
情感態(tài)度
進一步體會數(shù)學中的化歸思想,引導學生關注生活實際,建立數(shù)學應用意識,熱愛數(shù)學.
教學重點
利用線形示意圖分析行程問題中的數(shù)量關系.
教學難點
找出問題中的等量關系.
【教學過程】
一、情景導入,初步認知
在行程問題中,最基本的等量關系式是什么?
【教學說明】 為本節(jié)課的教學作準備.
二、思考探究,獲取新知
1.探究:星期天早晨,小斌和小強分別騎自行車從家里出發(fā)去參觀雷鋒紀念館,已知他倆的家到紀念館的路程相等,小斌每小時騎10km,他在上午10時到達;小強每小時騎15km,他在上午9時30分到達,求他們的家到雷鋒紀念館的路程.
【教學說明】 引導學生分析題意,找出題目中的等量關系式,并列出方程解答.
2.討論:在行程問題中還存在什么樣的等量關系式?
【歸納結(jié)論】 相遇問題的基本關系:各路程之和=總路程.追及問題的基本關系:追及者的路程-被追者的路程=相距的路程.
3.探究:為鼓勵居民節(jié)約用水,某市出臺了新的家庭用水收費標準,規(guī)定:所交水費分標準內(nèi)水費與超標部分水費兩部分,其中標準內(nèi)水費為1.96元/t,超標部分水費為2.94元/t,某家庭6月份用水12t,需交水費27.44元.求該市規(guī)定的家庭月標準用水量.
本問題首先要分析所交水費27.44元中是否有超標部分,由于1.96×12=23.52(元),小于27.44元,所以含有超標部分的水費,則等量關系式為:
月標準內(nèi)水費+超標部分水費=該月所交水費
設月標準用水量為x t,根據(jù)等量關系,得
1.96x+(12-x)×2.94=27.44
解得:x=8
所以,該市家庭月標準用水量是8噸.
【教學說明】 分段型一元一次方程的應用是指同一個未知量在不同的范圍內(nèi)的限制條件不同的一類應用題.解決這類問題的時候,我們先要確定所給的數(shù)據(jù)所處的分段,然后要根據(jù)它的分段合理地解決.
4.班委會決定,由小敏、小聰兩人負責選購圓珠筆、鋼筆共22支,送給山區(qū)學校的同學.他們?nèi)チ松虉?看到圓珠筆每支5元,鋼筆每支6元.
(1)若他們購買圓珠筆、鋼筆剛好用去120元,問圓珠筆、鋼筆各買了多少支?
(2)若購圓珠筆可9折優(yōu)惠,鋼筆可8折優(yōu)惠,在所需費用不超過100元的前提下,請你寫出一種選購方案.
解:(1)設圓珠筆買了x支,則鋼筆買了(22-x)支,根據(jù)題意得:
5x+6(22-x)=120,
解得:x=12.
所以22-x=22-12=10.
答:圓珠筆、鋼筆分別買了12支、10支.
(2)是一道方案設計題,也是一道開放型題,答案不唯一,根據(jù)題意,圓珠筆的單價為×5=4.5(元);鋼筆的單價為×6=4.8(元),由于圓珠筆的單價小而鋼筆的單價大,因此盡量圓珠筆多買些.
①當買圓珠筆19支,鋼筆3支時,
19×4.5+3×4.8=99.9(元)

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3.4 一元一次方程模型的應用

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