線段的垂直平分線一、學(xué)生知識(shí)狀況分析通過對(duì)前面相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)如何證明一個(gè)命題已經(jīng)積累一些經(jīng)驗(yàn)并掌握了必要的方法。但是要證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)對(duì)學(xué)生來說還是較抽象的，因此，教學(xué)時(shí)，教師對(duì)此不要操之過急，應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生理解．二、教學(xué)任務(wù)分析在上一節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)掌握了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理，本節(jié)課的主要任務(wù)是性質(zhì)和判定的應(yīng)用。因此本節(jié)課的目標(biāo)為：1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)2.經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形．3.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．體驗(yàn)解決問題的方法，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)． 4.學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果．  教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：①能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論．  ②已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形． 難點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：例題解析；第三環(huán)節(jié)：引申拓展； 第四環(huán)節(jié)：動(dòng)手操作；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié) ；第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1：情景引入 活動(dòng)內(nèi)容：尺規(guī)作圖作三條邊的垂直平分線。活動(dòng)目的：讓學(xué)生利用自己的動(dòng)手體會(huì)三類三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的正確性。活動(dòng)過程：教師提問：“[利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，當(dāng)作完此題時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么?(教師可用多媒體演示作圖過程)”“三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．”、“這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．”等都是學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。下面請同學(xué)們剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流．教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎？我們還需運(yùn)用公理和已學(xué)過的定理進(jìn)行推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義．”這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論． 上述活動(dòng)中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學(xué)生親自體驗(yàn)和觀察結(jié)論的正確性。2：例題解析（1）教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法。我們要從理論上證明這個(gè)結(jié)論，也就是證明“三線共點(diǎn)”，但這是我們沒有遇到過的．不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示．通過演示和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)同：“兩直線必交于一點(diǎn)，那么要想證明‘“三線共點(diǎn)’，只要證第三條直線過這個(gè)交點(diǎn)或者說這個(gè)點(diǎn)在第三條直線上即可．” 雖然我們已找到證明“三線共點(diǎn)”的突破口，詢問學(xué)生如何知道這個(gè)交點(diǎn)在第三邊的垂直平分線上呢?師生共析，完成證明（2）討論結(jié)束后，學(xué)生書寫證明過程。教師點(diǎn)評(píng)，注意幾何符號(hào)語言的規(guī)范性。已知：在△ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接AP，BP，CP．求證：P點(diǎn)在AC的垂直平分線上．證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P點(diǎn)在AC的垂直平分線上(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn).在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．進(jìn)一步設(shè)問：“從證明三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，你還能得出什么結(jié)論?” （交點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．）（3）多媒體演示我們得出的結(jié)論：定理　　三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等3.引申拓展  (1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎?(2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎? (3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個(gè)?學(xué)生通過小組討論，并嘗試作出草圖，驗(yàn)證自己的結(jié)論。 由學(xué)生思考可得：（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個(gè)，如下圖：已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h(yuǎn)求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h 從上圖我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，先作已知線段BC=a；然后再作BC邊上的高h(yuǎn)，但垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC上或其所在直線上的任意一點(diǎn)D，過此點(diǎn)作BC邊的垂線，最后以D為端點(diǎn)在垂線上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，連接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個(gè)．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．（見幾何畫板課件）（2）如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個(gè)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，因?yàn)橹灰饕阎妊切蔚走叺拇怪逼椒志€，取它上面的任意一點(diǎn)，和底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以得到一個(gè)等腰三角形．另外有學(xué)生補(bǔ)充：“不是底邊垂直平分線上的任意一點(diǎn)都滿足條件，如底邊的中點(diǎn)在底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點(diǎn)從底邊的垂直平分線上挖去．”（3）如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．?         例題學(xué)習(xí)已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．已知：線段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；4．連接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如圖所示)．?         做一做：課本第25頁：教師引導(dǎo)學(xué)生分析作出草圖，注意對(duì)學(xué)生作法敘述的準(zhǔn)確性加以更正。4.動(dòng)手操作（1）例題：已知直線 l 和 l 上一點(diǎn) P，用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn) P.學(xué)生先獨(dú)立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。（2）拓展：如果點(diǎn) P 是直線 l 外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn) P 呢？說說你的作法，并與同伴交流.    5.隨堂練習(xí):：習(xí)題1.8第1、2題。6.課時(shí)小結(jié)  本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”．7.課后作業(yè)習(xí)題1．8第3、4題四、教學(xué)反思本節(jié)課證明了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并能利用尺規(guī)作出已知線段的垂直平分線．已知等腰三角形的底邊和高作出符合條件的等腰三角形，從尺規(guī)作圖，邏輯推理多層次地理解并證明了三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 

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3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊

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