線段的垂直平分線一、學(xué)生知識(shí)狀況分析學(xué)生對(duì)于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因?yàn)樵谄吣昙?jí)學(xué)習(xí)《生活中的軸對(duì)稱》中學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析在七年級(jí)學(xué)生已經(jīng)對(duì)線段的垂直平分線有了初步的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課將進(jìn)一步深入探索線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。同時(shí)，滲透證明一個(gè)圖形上的每個(gè)點(diǎn)都具有某種性質(zhì)的方法：只需在圖形上任取一點(diǎn)作為代表。本節(jié)課目標(biāo)位：1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理．2．經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力．豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)。3.通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)是運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。難點(diǎn)是垂直平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。 三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明；第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定；第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用  ；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字在題中有很重要的作用．線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．進(jìn)一步提問(wèn)：“你能用公理或?qū)W過(guò)的定理證明這一結(jié)論嗎?”第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明教師鼓勵(lì)學(xué)生思考，想辦法來(lái)解決此問(wèn)題。通過(guò)討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫(xiě)出已知、求證的內(nèi)容。已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點(diǎn)．求證：PA=PB．分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等．證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．    ；∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．教師用多媒體完整演示證明過(guò)程． 第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個(gè)命題不是“如果……那么……”的形式，要寫(xiě)出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫(xiě)出．鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”．結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”．此時(shí)，逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái)．“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．”寫(xiě)出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明．引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程，有如下四種證法： 證法一：已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法二：取AB的中點(diǎn)C，過(guò)PC作直線．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法三：過(guò)P點(diǎn)作∠APB的角平分線．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．證法四：過(guò)P作線段AB的垂直平分線PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分線上．從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用    在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。（2）到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此只需做出這樣的兩個(gè)點(diǎn)即可做出線段的垂直平分線。例題：已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC。．證明：∵ AB = AC，∴ 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上.∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過(guò)程。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)課本P23；習(xí)題1.7：第1、2題第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習(xí)題l.7  第3、4題  四、教學(xué)反思在這一節(jié)中，我們作為老師要善于引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法，注意數(shù)學(xué)壓想方法的強(qiáng)化和滲透． 

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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